Алгебра Примеры

$3 x^{2} + 4 x - 5$

Этап 1

Квадратичная функция достигает минимума в $x = - \frac{b}{2 a}$ . Если $a$ принимает положительные значения, то минимальным значением функции будет $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{минимум}$ $x = a x^{2} + b x + c$ входит в $x = - \frac{b}{2 a}$

Этап 2

Найдем значение $x = - \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подставим в значения $a$ и $b$ .

$x = - \frac{4}{2 (3)}$

Этап 2.2

Избавимся от скобок.

$x = - \frac{4}{2 (3)}$

Этап 2.3

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$x = - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}$

Этап 2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 3$ .

$x = - \frac{2 \cdot 2}{2 (3)}$

Этап 2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$x = - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}$

Этап 2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$x = - \frac{2}{3}$

Этап 3

Найдем значение $f (- \frac{2}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 4 (- \frac{2}{3}) - 5$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 ({(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2}) + 4 (- \frac{2}{3}) - 5$

Этап 3.2.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 ({(- 1)}^{2} (\frac{2^{2}}{3^{2}})) + 4 (- \frac{2}{3}) - 5$

Этап 3.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (1 (\frac{2^{2}}{3^{2}})) + 4 (- \frac{2}{3}) - 5$

Этап 3.2.1.3

Умножим $\frac{2^{2}}{3^{2}}$ на $1$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{2^{2}}{3^{2}}) + 4 (- \frac{2}{3}) - 5$

Этап 3.2.1.4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{4}{3^{2}}) + 4 (- \frac{2}{3}) - 5$

Этап 3.2.1.5

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{4}{9}) + 4 (- \frac{2}{3}) - 5$

Этап 3.2.1.6

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.6.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{4}{3 (3)}) + 4 (- \frac{2}{3}) - 5$

Этап 3.2.1.6.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{4}{3 \cdot 3}) + 4 (- \frac{2}{3}) - 5$

Этап 3.2.1.6.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4}{3} + 4 (- \frac{2}{3}) - 5$

Этап 3.2.1.7

Умножим $4 (- \frac{2}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.7.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4}{3} - 4 (\frac{2}{3}) - 5$

Этап 3.2.1.7.2

Объединим $- 4$ и $\frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4}{3} + \frac{- 4 \cdot 2}{3} - 5$

Этап 3.2.1.7.3

Умножим $- 4$ на $2$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4}{3} + \frac{- 8}{3} - 5$

Этап 3.2.1.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4}{3} - \frac{8}{3} - 5$

Этап 3.2.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{2}{3}) = - 5 + \frac{4 - 8}{3}$

Этап 3.2.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Вычтем $8$ из $4$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - 5 + \frac{- 4}{3}$

Этап 3.2.2.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{2}{3}) = - 5 - \frac{4}{3}$

Этап 3.2.3

Чтобы записать $- 5$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - 5 \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3}$

Этап 3.2.4

Объединим $- 5$ и $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{- 5 \cdot 3}{3} - \frac{4}{3}$

Этап 3.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{- 5 \cdot 3 - 4}{3}$

Этап 3.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1

Умножим $- 5$ на $3$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{- 15 - 4}{3}$

Этап 3.2.6.2

Вычтем $4$ из $- 15$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{- 19}{3}$

Этап 3.2.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{19}{3}$

Этап 3.2.8

Окончательный ответ: $- \frac{19}{3}$ .

$- \frac{19}{3}$

Этап 4

Используем значения $x$ и $y$ , чтобы найти, где достигается минимум.

$(- \frac{2}{3}, - \frac{19}{3})$

Этап 5