Алгебра Примеры

$f (x) = 0.25 {(2 x - 15)}^{2} + 150$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${(2 x - 15)}^{2}$ в виде $(2 x - 15) (2 x - 15)$ .

$f (x) = 0.25 ((2 x - 15) (2 x - 15)) + 150$

Этап 1.2

Развернем $(2 x - 15) (2 x - 15)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x) = 0.25 (2 x (2 x - 15) - 15 (2 x - 15)) + 150$

Этап 1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x) = 0.25 (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 15 - 15 (2 x - 15)) + 150$

Этап 1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x) = 0.25 (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 15 - 15 (2 x) - 15 \cdot - 15) + 150$

Этап 1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f (x) = 0.25 (2 \cdot (2 x \cdot x) + 2 x \cdot - 15 - 15 (2 x) - 15 \cdot - 15) + 150$

Этап 1.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$f (x) = 0.25 (2 \cdot (2 (x \cdot x)) + 2 x \cdot - 15 - 15 (2 x) - 15 \cdot - 15) + 150$

Этап 1.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f (x) = 0.25 (2 \cdot (2 x^{2}) + 2 x \cdot - 15 - 15 (2 x) - 15 \cdot - 15) + 150$

Этап 1.3.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$f (x) = 0.25 (4 x^{2} + 2 x \cdot - 15 - 15 (2 x) - 15 \cdot - 15) + 150$

Этап 1.3.1.4

Умножим $- 15$ на $2$ .

$f (x) = 0.25 (4 x^{2} - 30 x - 15 (2 x) - 15 \cdot - 15) + 150$

Этап 1.3.1.5

Умножим $2$ на $- 15$ .

$f (x) = 0.25 (4 x^{2} - 30 x - 30 x - 15 \cdot - 15) + 150$

Этап 1.3.1.6

Умножим $- 15$ на $- 15$ .

$f (x) = 0.25 (4 x^{2} - 30 x - 30 x + 225) + 150$

Этап 1.3.2

Вычтем $30 x$ из $- 30 x$ .

$f (x) = 0.25 (4 x^{2} - 60 x + 225) + 150$

Этап 1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x) = 0.25 (4 x^{2}) + 0.25 (- 60 x) + 0.25 \cdot 225 + 150$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Умножим $0.25 (4 x^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Умножим $4$ на $0.25$ .

$f (x) = 1 x^{2} + 0.25 (- 60 x) + 0.25 \cdot 225 + 150$

Этап 1.5.1.2

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$f (x) = x^{2} + 0.25 (- 60 x) + 0.25 \cdot 225 + 150$

Этап 1.5.2

Умножим $- 60$ на $0.25$ .

$f (x) = x^{2} - 15 x + 0.25 \cdot 225 + 150$

Этап 1.5.3

Умножим $0.25$ на $225$ .

$f (x) = x^{2} - 15 x + 56.25 + 150$

Этап 2

Добавим $56.25$ и $150$ .

$f (x) = x^{2} - 15 x + 206.25$

Этап 3

Квадратичная функция достигает минимума в $x = - \frac{b}{2 a}$ . Если $a$ принимает положительные значения, то минимальным значением функции будет $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{минимум}$ $x = a x^{2} + b x + c$ входит в $x = - \frac{b}{2 a}$

Этап 4

Найдем значение $x = - \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим в значения $a$ и $b$ .

$x = - \frac{- 15}{2 (1)}$

Этап 4.2

Избавимся от скобок.

$x = - \frac{- 15}{2 (1)}$

Этап 4.3

Упростим $- \frac{- 15}{2 (1)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $2$ на $1$ .

$x = - \frac{- 15}{2}$

Этап 4.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - - \frac{15}{2}$

Этап 4.3.3

Умножим $- - \frac{15}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x = 1 (\frac{15}{2})$

Этап 4.3.3.2

Умножим $\frac{15}{2}$ на $1$ .

$x = \frac{15}{2}$

Этап 5

Найдем значение $f (\frac{15}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{15}{2}$ .

$f (\frac{15}{2}) = {(\frac{15}{2})}^{2} - 15 (\frac{15}{2}) + 206.25$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{15}{2}$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{15^{2}}{2^{2}} - 15 (\frac{15}{2}) + 206.25$

Этап 5.2.1.2

Возведем $15$ в степень $2$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{225}{2^{2}} - 15 (\frac{15}{2}) + 206.25$

Этап 5.2.1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{225}{4} - 15 (\frac{15}{2}) + 206.25$

Этап 5.2.1.4

Умножим $- 15 (\frac{15}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.4.1

Объединим $- 15$ и $\frac{15}{2}$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{225}{4} + \frac{- 15 \cdot 15}{2} + 206.25$

Этап 5.2.1.4.2

Умножим $- 15$ на $15$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{225}{4} + \frac{- 225}{2} + 206.25$

Этап 5.2.1.5

Сократим общий множитель $- 225$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.5.1

Перепишем $- 225$ в виде $1 (- 225)$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{225}{4} + \frac{1 (- 225)}{2} + 206.25$

Этап 5.2.1.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.5.2.1

Перепишем $2$ в виде $1 (2)$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{225}{4} + \frac{1 \cdot - 225}{1 \cdot 2} + 206.25$

Этап 5.2.1.5.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{15}{2}) = \frac{225}{4} + \frac{1 \cdot - 225}{1 \cdot 2} + 206.25$

Этап 5.2.1.5.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{15}{2}) = \frac{225}{4} + \frac{- 225}{2} + 206.25$

Этап 5.2.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{15}{2}) = \frac{225}{4} - \frac{225}{2} + 206.25$

Этап 5.2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Умножим $\frac{225}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{225}{4} - (\frac{225}{2} \cdot \frac{2}{2}) + 206.25$

Этап 5.2.2.2

Умножим $\frac{225}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{225}{4} - \frac{225 \cdot 2}{2 \cdot 2} + 206.25$

Этап 5.2.2.3

Запишем $206.25$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{225}{4} - \frac{225 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{206.25}{1}$

Этап 5.2.2.4

Умножим $\frac{206.25}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{225}{4} - \frac{225 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{206.25}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Этап 5.2.2.5

Умножим $\frac{206.25}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{225}{4} - \frac{225 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{206.25 \cdot 4}{4}$

Этап 5.2.2.6

Умножим $2$ на $2$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{225}{4} - \frac{225 \cdot 2}{4} + \frac{206.25 \cdot 4}{4}$

Этап 5.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{15}{2}) = \frac{225 - 225 \cdot 2 + 206.25 \cdot 4}{4}$

Этап 5.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Умножим $- 225$ на $2$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{225 - 450 + 206.25 \cdot 4}{4}$

Этап 5.2.4.2

Умножим $206.25$ на $4$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{225 - 450 + 825}{4}$

Этап 5.2.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Вычтем $450$ из $225$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{- 225 + 825}{4}$

Этап 5.2.5.2

Добавим $- 225$ и $825$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{600}{4}$

Этап 5.2.5.3

Разделим $600$ на $4$ .

$f (\frac{15}{2}) = 150$

Этап 5.2.6

Окончательный ответ: $150$ .

$150$

Этап 6

Используем значения $x$ и $y$ , чтобы найти, где достигается минимум.

$(\frac{15}{2}, 150)$

Этап 7