Алгебра Примеры

$\log_{2} (\sqrt[3]{x}) (x + 1)$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) (x + 1)]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \log_{2} (x^{\frac{1}{3}})$ и $g (x) = x + 1$ .

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} [x + 1] + (x + 1) \frac{d}{d x} [\log_{2} (x^{\frac{1}{3}})]$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [\log_{2} (x^{\frac{1}{3}})]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) (1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [\log_{2} (x^{\frac{1}{3}})]$

Этап 3.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) (1 + 0) + (x + 1) \frac{d}{d x} [\log_{2} (x^{\frac{1}{3}})]$

Этап 3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) \cdot 1 + (x + 1) \frac{d}{d x} [\log_{2} (x^{\frac{1}{3}})]$

Этап 3.4.2

Умножим $\log_{2} (x^{\frac{1}{3}})$ на $1$ .

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + (x + 1) \frac{d}{d x} [\log_{2} (x^{\frac{1}{3}})]$

Этап 4

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \log_{2} (x)$ и $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + (x + 1) (\frac{d}{d u} [\log_{2} (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

Этап 4.2

Производная $\log_{2} (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u \ln (2)}$ .

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + (x + 1) (\frac{1}{u \ln (2)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

Этап 4.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + (x + 1) (\frac{1}{x^{\frac{1}{3}} \ln (2)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

Этап 5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{3}$ .

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + (x + 1) \frac{1}{x^{\frac{1}{3}} \ln (2)} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Этап 6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + (x + 1) \frac{1}{x^{\frac{1}{3}} \ln (2)} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Этап 7

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + (x + 1) \frac{1}{x^{\frac{1}{3}} \ln (2)} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Этап 8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + (x + 1) \frac{1}{x^{\frac{1}{3}} \ln (2)} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Этап 9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + (x + 1) \frac{1}{x^{\frac{1}{3}} \ln (2)} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Этап 9.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + (x + 1) \frac{1}{x^{\frac{1}{3}} \ln (2)} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Этап 10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + (x + 1) \frac{1}{x^{\frac{1}{3}} \ln (2)} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Этап 11

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + (x + 1) \frac{1}{x^{\frac{1}{3}} \ln (2)} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Этап 12

Умножим $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ на $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}} \ln (2)}$ .

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + (x + 1) \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3 (x^{\frac{1}{3}} \ln (2))}$

Этап 13

Перенесем $x^{- \frac{2}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + (x + 1) \frac{1}{3 x^{\frac{1}{3}} \ln (2) x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 14

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Умножим $x^{\frac{1}{3}}$ на $x^{\frac{2}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.1

Перенесем $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + (x + 1) \frac{1}{3 (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}}) \ln (2)}$

Этап 14.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + (x + 1) \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} \ln (2)}$

Этап 14.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + (x + 1) \frac{1}{3 x^{\frac{2 + 1}{3}} \ln (2)}$

Этап 14.1.4

Добавим $2$ и $1$ .

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + (x + 1) \frac{1}{3 x^{\frac{3}{3}} \ln (2)}$

Этап 14.1.5

Разделим $3$ на $3$ .

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + (x + 1) \frac{1}{3 x^{1} \ln (2)}$

Этап 14.2

Упростим $3 x^{1} \ln (2)$ .

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + (x + 1) \frac{1}{3 x \ln (2)}$

Этап 15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + x \frac{1}{3 x \ln (2)} + 1 \frac{1}{3 x \ln (2)}$

Этап 15.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Объединим $x$ и $\frac{1}{3 x \ln (2)}$ .

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + \frac{x}{3 x \ln (2)} + 1 \frac{1}{3 x \ln (2)}$

Этап 15.2.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + \frac{x}{3 x \ln (2)} + 1 \frac{1}{3 x \ln (2)}$

Этап 15.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + \frac{1}{3 \ln (2)} + 1 \frac{1}{3 x \ln (2)}$

Этап 15.2.3

Умножим $\frac{1}{3 x \ln (2)}$ на $1$ .

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + \frac{1}{3 \ln (2)} + \frac{1}{3 x \ln (2)}$

Этап 15.3

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{3 x \ln (2)} + \log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + \frac{1}{3 \ln (2)}$