Алгебра Примеры

$\ln (\sqrt{\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}}})$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}}}$ в виде ${(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d c} [\ln ({(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{1}{2}})]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d c} [f (g (c))]$ имеет вид $f' (g (c)) g' (c)$ , где $f (c) = \ln (c)$ и $g (c) = {(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как ${(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d c} [{(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2.2

Производная $\ln (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d c} [{(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на ${(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d c} [{(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d c} [f (g (c))]$ имеет вид $f' (g (c)) g' (c)$ , где $f (c) = c^{\frac{1}{2}}$ и $g (c) = \frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}}$ .

$\frac{1}{{(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d c} [\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}}])$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{{(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d c} [\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}}])$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}}$ .

$\frac{1}{{(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d c} [\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}}])$

Этап 4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d c} [\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}}])$

Этап 5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d c} [\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}}])$

Этап 6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{{(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d c} [\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}}])$

Этап 7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{{(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d c} [\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}}])$

Этап 7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{{(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d c} [\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}}])$

Этап 8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{{(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d c} [\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}}])$

Этап 9

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d c} [\frac{f (c)}{g (c)}]$ имеет вид $\frac{g (c) \frac{d}{d c} [f (c)] - f (c) \frac{d}{d c} [g (c)]}{{g (c)}^{2}}$ , где $f (c) = c^{2} - z^{2}$ и $g (c) = c^{2} + z^{2}$ .

$\frac{1}{{(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(c^{2} + z^{2}) \frac{d}{d c} [c^{2} - z^{2}] - (c^{2} - z^{2}) \frac{d}{d c} [c^{2} + z^{2}]}{{(c^{2} + z^{2})}^{2}})$

Этап 10

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

По правилу суммы производная $c^{2} - z^{2}$ по $c$ имеет вид $\frac{d}{d c} [c^{2}] + \frac{d}{d c} [- z^{2}]$ .

$\frac{1}{{(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(c^{2} + z^{2}) (\frac{d}{d c} [c^{2}] + \frac{d}{d c} [- z^{2}]) - (c^{2} - z^{2}) \frac{d}{d c} [c^{2} + z^{2}]}{{(c^{2} + z^{2})}^{2}})$

Этап 10.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d c} [c^{n}]$ имеет вид $n c^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{{(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(c^{2} + z^{2}) (2 c + \frac{d}{d c} [- z^{2}]) - (c^{2} - z^{2}) \frac{d}{d c} [c^{2} + z^{2}]}{{(c^{2} + z^{2})}^{2}})$

Этап 10.3

Поскольку $- z^{2}$ является константой относительно $c$ , производная $- z^{2}$ относительно $c$ равна $0$ .

$\frac{1}{{(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(c^{2} + z^{2}) (2 c + 0) - (c^{2} - z^{2}) \frac{d}{d c} [c^{2} + z^{2}]}{{(c^{2} + z^{2})}^{2}})$

Этап 10.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Добавим $2 c$ и $0$ .

$\frac{1}{{(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(c^{2} + z^{2}) (2 c) - (c^{2} - z^{2}) \frac{d}{d c} [c^{2} + z^{2}]}{{(c^{2} + z^{2})}^{2}})$

Этап 10.4.2

Перенесем $2$ влево от $c^{2} + z^{2}$ .

$\frac{1}{{(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 \cdot (c^{2} + z^{2}) c - (c^{2} - z^{2}) \frac{d}{d c} [c^{2} + z^{2}]}{{(c^{2} + z^{2})}^{2}})$

Этап 10.5

По правилу суммы производная $c^{2} + z^{2}$ по $c$ имеет вид $\frac{d}{d c} [c^{2}] + \frac{d}{d c} [z^{2}]$ .

$\frac{1}{{(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (c^{2} + z^{2}) c - (c^{2} - z^{2}) (\frac{d}{d c} [c^{2}] + \frac{d}{d c} [z^{2}])}{{(c^{2} + z^{2})}^{2}})$

Этап 10.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d c} [c^{n}]$ имеет вид $n c^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{{(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (c^{2} + z^{2}) c - (c^{2} - z^{2}) (2 c + \frac{d}{d c} [z^{2}])}{{(c^{2} + z^{2})}^{2}})$

Этап 10.7

Поскольку $z^{2}$ является константой относительно $c$ , производная $z^{2}$ относительно $c$ равна $0$ .

Этап 10.8

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.8.1

Добавим $2 c$ и $0$ .

Этап 10.8.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{1}{{(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (c^{2} + z^{2}) c - 2 (c^{2} - z^{2}) c}{{(c^{2} + z^{2})}^{2}})$

Этап 10.8.3

Умножим $\frac{2 (c^{2} + z^{2}) c - 2 (c^{2} - z^{2}) c}{{(c^{2} + z^{2})}^{2}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{{(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 (c^{2} + z^{2}) c - 2 (c^{2} - z^{2}) c}{{(c^{2} + z^{2})}^{2} \cdot 2} {(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{- \frac{1}{2}})$

Этап 10.8.4

Перенесем $2$ влево от ${(c^{2} + z^{2})}^{2}$ .

$\frac{1}{{(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 (c^{2} + z^{2}) c - 2 (c^{2} - z^{2}) c}{2 \cdot {(c^{2} + z^{2})}^{2}} {(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{- \frac{1}{2}})$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Изменим знак экспоненты, переписав основание в виде обратной величины.

$\frac{1}{{(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 (c^{2} + z^{2}) c - 2 (c^{2} - z^{2}) c}{2 {(c^{2} + z^{2})}^{2}} {(\frac{c^{2} + z^{2}}{c^{2} - z^{2}})}^{\frac{1}{2}})$

Этап 11.2

Применим правило умножения к $\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}}$ .

$\frac{1}{\frac{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}} (\frac{2 (c^{2} + z^{2}) c - 2 (c^{2} - z^{2}) c}{2 {(c^{2} + z^{2})}^{2}} {(\frac{c^{2} + z^{2}}{c^{2} - z^{2}})}^{\frac{1}{2}})$

Этап 11.3

Применим правило умножения к $\frac{c^{2} + z^{2}}{c^{2} - z^{2}}$ .

$\frac{1}{\frac{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}} (\frac{2 (c^{2} + z^{2}) c - 2 (c^{2} - z^{2}) c}{2 {(c^{2} + z^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 11.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{\frac{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}} (\frac{(2 c^{2} + 2 z^{2}) c - 2 (c^{2} - z^{2}) c}{2 {(c^{2} + z^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 11.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{\frac{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}} (\frac{2 c^{2} c + 2 z^{2} c - 2 (c^{2} - z^{2}) c}{2 {(c^{2} + z^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 11.6

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{\frac{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}} (\frac{2 c^{2} c + 2 z^{2} c + (- 2 c^{2} - 2 (- z^{2})) c}{2 {(c^{2} + z^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 11.7

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{\frac{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}} (\frac{2 c^{2} c + 2 z^{2} c - 2 c^{2} c - 2 (- z^{2}) c}{2 {(c^{2} + z^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 11.8

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.8.1

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$1 \frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 c^{2} c + 2 z^{2} c - 2 c^{2} c - 2 (- z^{2}) c}{2 {(c^{2} + z^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 11.8.2

Умножим $\frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ на $1$ .

$\frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 c^{2} c + 2 z^{2} c - 2 c^{2} c - 2 (- z^{2}) c}{2 {(c^{2} + z^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 11.8.3

Возведем $c$ в степень $1$ .

$\frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 (c^{1} c^{2}) + 2 z^{2} c - 2 c^{2} c - 2 (- z^{2}) c}{2 {(c^{2} + z^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 11.8.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 c^{1 + 2} + 2 z^{2} c - 2 c^{2} c - 2 (- z^{2}) c}{2 {(c^{2} + z^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 11.8.5

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 c^{3} + 2 z^{2} c - 2 c^{2} c - 2 (- z^{2}) c}{2 {(c^{2} + z^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 11.8.6

Возведем $c$ в степень $1$ .

$\frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 c^{3} + 2 z^{2} c - 2 (c^{1} c^{2}) - 2 (- z^{2}) c}{2 {(c^{2} + z^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 11.8.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 c^{3} + 2 z^{2} c - 2 c^{1 + 2} - 2 (- z^{2}) c}{2 {(c^{2} + z^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 11.8.8

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 c^{3} + 2 z^{2} c - 2 c^{3} - 2 (- z^{2}) c}{2 {(c^{2} + z^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 11.8.9

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$\frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 c^{3} + 2 z^{2} c - 2 c^{3} + 2 z^{2} c}{2 {(c^{2} + z^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 11.8.10

Вычтем $2 c^{3}$ из $2 c^{3}$ .

$\frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 z^{2} c + 0 + 2 z^{2} c}{2 {(c^{2} + z^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 11.8.11

Добавим $2 z^{2} c$ и $0$ .

$\frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 z^{2} c + 2 z^{2} c}{2 {(c^{2} + z^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 11.8.12

Добавим $2 z^{2} c$ и $2 z^{2} c$ .

$\frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{4 z^{2} c}{2 {(c^{2} + z^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 11.8.13

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.8.13.1

Вынесем множитель $2$ из $4 z^{2} c$ .

$\frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 (2 z^{2} c)}{2 {(c^{2} + z^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 11.8.13.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.8.13.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(c^{2} + z^{2})}^{2}$ .

$\frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 (2 z^{2} c)}{2 ({(c^{2} + z^{2})}^{2})} \cdot \frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 11.8.13.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 (2 z^{2} c)}{2 {(c^{2} + z^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 11.8.13.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 z^{2} c}{{(c^{2} + z^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 11.8.14

Умножим $\frac{2 z^{2} c}{{(c^{2} + z^{2})}^{2}}$ на $\frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2 z^{2} c {(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} + z^{2})}^{2} {(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 11.8.15

Перенесем ${(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2 z^{2} c}{{(c^{2} + z^{2})}^{2} {(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}} {(c^{2} + z^{2})}^{- \frac{1}{2}}}$

Этап 11.8.16

Умножим ${(c^{2} + z^{2})}^{2}$ на ${(c^{2} + z^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.8.16.1

Перенесем ${(c^{2} + z^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2 z^{2} c}{{(c^{2} + z^{2})}^{- \frac{1}{2}} {(c^{2} + z^{2})}^{2} {(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 11.8.16.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2 z^{2} c}{{(c^{2} + z^{2})}^{- \frac{1}{2} + 2} {(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 11.8.16.3

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2 z^{2} c}{{(c^{2} + z^{2})}^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} {(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 11.8.16.4

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2 z^{2} c}{{(c^{2} + z^{2})}^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} {(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 11.8.16.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2 z^{2} c}{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}} {(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 11.8.16.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.8.16.6.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2 z^{2} c}{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{- 1 + 4}{2}} {(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 11.8.16.6.2

Добавим $- 1$ и $4$ .

$\frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2 z^{2} c}{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}} {(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 11.8.17

Умножим $\frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{2 z^{2} c}{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}} {(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 z^{2} c)}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}} ({(c^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}} {(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Этап 11.8.18

Умножим ${(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}$ на ${(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.8.18.1

Перенесем ${(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 z^{2} c)}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}} {(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}} {(c^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 11.8.18.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 z^{2} c)}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} {(c^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 11.8.18.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 z^{2} c)}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}} {(c^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 11.8.18.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 z^{2} c)}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{2}{2}} {(c^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 11.8.18.5

Разделим $2$ на $2$ .

$\frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 z^{2} c)}{{(c^{2} - z^{2})}^{1} {(c^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 11.8.19

Упростим ${(c^{2} - z^{2})}^{1} {(c^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 z^{2} c)}{(c^{2} - z^{2}) {(c^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 11.8.20

Перенесем $2$ влево от ${(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot {(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}} z^{2} c}{(c^{2} - z^{2}) {(c^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 11.8.21

Перенесем ${(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{2 z^{2} c}{(c^{2} - z^{2}) {(c^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}} {(c^{2} + z^{2})}^{- \frac{1}{2}}}$

Этап 11.8.22

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.8.22.1

Умножим ${(c^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}$ на ${(c^{2} + z^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.8.22.1.1

Перенесем ${(c^{2} + z^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 z^{2} c}{(c^{2} - z^{2}) ({(c^{2} + z^{2})}^{- \frac{1}{2}} {(c^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}})}$

Этап 11.8.22.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 z^{2} c}{(c^{2} - z^{2}) {(c^{2} + z^{2})}^{- \frac{1}{2} + \frac{3}{2}}}$

Этап 11.8.22.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 z^{2} c}{(c^{2} - z^{2}) {(c^{2} + z^{2})}^{\frac{- 1 + 3}{2}}}$

Этап 11.8.22.1.4

Добавим $- 1$ и $3$ .

$\frac{2 z^{2} c}{(c^{2} - z^{2}) {(c^{2} + z^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 11.8.22.1.5

Разделим $2$ на $2$ .

$\frac{2 z^{2} c}{(c^{2} - z^{2}) {(c^{2} + z^{2})}^{1}}$

Этап 11.8.22.2

Упростим $(c^{2} - z^{2}) {(c^{2} + z^{2})}^{1}$ .

$\frac{2 z^{2} c}{(c^{2} - z^{2}) (c^{2} + z^{2})}$

Этап 11.9

Изменим порядок членов.

$\frac{2 z^{2} c}{(c^{2} + z^{2}) (c^{2} - z^{2})}$

Этап 11.10

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = c$ и $b = z$ .

$\frac{2 z^{2} c}{(c^{2} + z^{2}) (c + z) (c - z)}$