Алгебра Примеры

$\frac{5}{2 x - 1} < x - 2$

Этап 1

Решим $- \frac{1}{2} < x < \frac{1}{2} or x > 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перенесем все выражения в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вычтем $x$ из обеих частей неравенства.

$\frac{5}{2 x - 1} - x < - 2$

Этап 1.1.2

Добавим $2$ к обеим частям неравенства.

$\frac{5}{2 x - 1} - x + 2 < 0$

Этап 1.2

Упростим $\frac{5}{2 x - 1} - x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы записать $- x$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ .

$\frac{5}{2 x - 1} - x \cdot \frac{2 x - 1}{2 x - 1} + 2 < 0$

Этап 1.2.2

Объединим $- x$ и $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ .

$\frac{5}{2 x - 1} + \frac{- x (2 x - 1)}{2 x - 1} + 2 < 0$

Этап 1.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{5 - x (2 x - 1)}{2 x - 1} + 2 < 0$

Этап 1.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5 - x (2 x) - x \cdot - 1}{2 x - 1} + 2 < 0$

Этап 1.2.4.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{5 - 1 \cdot 2 x \cdot x - x \cdot - 1}{2 x - 1} + 2 < 0$

Этап 1.2.4.3

Умножим $- x \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{5 - 1 \cdot 2 x \cdot x + 1 x}{2 x - 1} + 2 < 0$

Этап 1.2.4.3.2

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{5 - 1 \cdot 2 x \cdot x + x}{2 x - 1} + 2 < 0$

Этап 1.2.4.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.4.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.4.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{5 - 1 \cdot 2 (x \cdot x) + x}{2 x - 1} + 2 < 0$

Этап 1.2.4.4.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{5 - 1 \cdot 2 x^{2} + x}{2 x - 1} + 2 < 0$

Этап 1.2.4.4.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{5 - 2 x^{2} + x}{2 x - 1} + 2 < 0$

Этап 1.2.4.5

Изменим порядок членов.

$\frac{- 2 x^{2} + x + 5}{2 x - 1} + 2 < 0$

Этап 1.2.5

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + x + 5}{2 x - 1} + \frac{2 (2 x - 1)}{2 x - 1} < 0$

Этап 1.2.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 2 x^{2} + x + 5 + 2 (2 x - 1)}{2 x - 1} < 0$

Этап 1.2.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 2 x^{2} + x + 5 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 1}{2 x - 1} < 0$

Этап 1.2.7.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{- 2 x^{2} + x + 5 + 4 x + 2 \cdot - 1}{2 x - 1} < 0$

Этап 1.2.7.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{- 2 x^{2} + x + 5 + 4 x - 2}{2 x - 1} < 0$

Этап 1.2.7.4

Добавим $x$ и $4 x$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 5 x + 5 - 2}{2 x - 1} < 0$

Этап 1.2.7.5

Вычтем $2$ из $5$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 5 x + 3}{2 x - 1} < 0$

Этап 1.2.7.6

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.6.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 2 \cdot 3 = - 6$ , а сумма — $b = 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.6.1.1

Вынесем множитель $5$ из $5 x$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 5 (x) + 3}{2 x - 1} < 0$

Этап 1.2.7.6.1.2

Запишем $5$ как $- 1$ плюс $6$

$\frac{- 2 x^{2} + (- 1 + 6) x + 3}{2 x - 1} < 0$

Этап 1.2.7.6.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 2 x^{2} - 1 x + 6 x + 3}{2 x - 1} < 0$

Этап 1.2.7.6.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.6.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(- 2 x^{2} - 1 x) + 6 x + 3}{2 x - 1} < 0$

Этап 1.2.7.6.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{x (- 2 x - 1) - 3 (- 2 x - 1)}{2 x - 1} < 0$

Этап 1.2.7.6.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- 2 x - 1$ .

$\frac{(- 2 x - 1) (x - 3)}{2 x - 1} < 0$

Этап 1.2.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 x$ .

$\frac{(- (2 x) - 1) (x - 3)}{2 x - 1} < 0$

Этап 1.2.9

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$\frac{(- (2 x) - 1 (1)) (x - 3)}{2 x - 1} < 0$

Этап 1.2.10

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 x) - 1 (1)$ .

$\frac{- (2 x + 1) (x - 3)}{2 x - 1} < 0$

Этап 1.2.11

Перепишем $- (2 x + 1)$ в виде $- 1 (2 x + 1)$ .

$\frac{- 1 (2 x + 1) (x - 3)}{2 x - 1} < 0$

Этап 1.2.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{(2 x + 1) (x - 3)}{2 x - 1} < 0$

Этап 1.3

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$2 x + 1 = 0$

$x - 3 = 0$

$2 x - 1 = 0$

Этап 1.4

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - 1$

Этап 1.5

Разделим каждый член $2 x = - 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Разделим каждый член $2 x = - 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 1.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 1.5.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Этап 1.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{2}$

Этап 1.6

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 1.7

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 1$

Этап 1.8

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 1.8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 1.8.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Этап 1.9

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = - \frac{1}{2}$

$x = 3$

$x = \frac{1}{2}$

Этап 1.10

Объединим решения.

$x = - \frac{1}{2}, 3, \frac{1}{2}$

Этап 1.11

Найдем область определения $- \frac{(2 x + 1) (x - 3)}{2 x - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.11.1

Зададим знаменатель в $\frac{(2 x + 1) (x - 3)}{2 x - 1}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$2 x - 1 = 0$

Этап 1.11.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.11.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 1$

Этап 1.11.2.2

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.11.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 1.11.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.11.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.11.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 1.11.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Этап 1.11.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

Этап 1.12

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - \frac{1}{2}$

$- \frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} < x < 3$

$x > 3$

Этап 1.13

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.13.1

Проверим значение на интервале $x < - \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.13.1.1

Выберем значение на интервале $x < - \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 3$

Этап 1.13.1.2

Заменим $x$ на $- 3$ в исходном неравенстве.

$\frac{5}{2 (- 3) - 1} < (- 3) - 2$

Этап 1.13.1.3

Левая часть $- 0.\overline{714285}$ не меньше правой части $- 5$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 1.13.2

Проверим значение на интервале $- \frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.13.2.1

Выберем значение на интервале $- \frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 1.13.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{5}{2 (0) - 1} < (0) - 2$

Этап 1.13.2.3

Левая часть $- 5$ меньше правой части $- 2$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 1.13.3

Проверим значение на интервале $\frac{1}{2} < x < 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.13.3.1

Выберем значение на интервале $\frac{1}{2} < x < 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 1.13.3.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

$\frac{5}{2 (2) - 1} < (2) - 2$

Этап 1.13.3.3

Левая часть $1.\overline{6}$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 1.13.4

Проверим значение на интервале $x > 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.13.4.1

Выберем значение на интервале $x > 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 1.13.4.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

$\frac{5}{2 (6) - 1} < (6) - 2$

Этап 1.13.4.3

Левая часть $0.\overline{45}$ меньше правой части $4$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 1.13.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - \frac{1}{2}$ Ложь

$- \frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$ Истина

$\frac{1}{2} < x < 3$ Ложь

$x > 3$ Истина

$x < - \frac{1}{2}$ Ложь

$- \frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$ Истина

$\frac{1}{2} < x < 3$ Ложь

$x > 3$ Истина

Этап 1.14

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- \frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$ или $x > 3$

Этап 2

Используем неравенство $- \frac{1}{2} < x < \frac{1}{2} or x > 3$ для построения формы записи множества.

${x | - \frac{1}{2} < x < \frac{1}{2} or x > 3}$

Этап 3