Алгебра Примеры

$g (x) = \frac{x^{2} - 16}{x^{2} - 9}$

Этап 1

Определим, является ли функция нечетной, четной или ни той, ни другой, чтобы найти симметрию.

1. Нечетная функция симметрична относительно начала координат.

2. Четная функция симметрична относительно оси y.

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} - 4^{2}}{x^{2} - 9}$

Этап 2.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 4$ .

$g (x) = \frac{(x + 4) (x - 4)}{x^{2} - 9}$

Этап 2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$g (x) = \frac{(x + 4) (x - 4)}{x^{2} - 3^{2}}$

Этап 2.2.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 3$ .

$g (x) = \frac{(x + 4) (x - 4)}{(x + 3) (x - 3)}$

Этап 3

Найдем $f (- x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем $g (- x)$ , подставив $- x$ для всех вхождений $x$ в $g (x)$ .

$g (- x) = \frac{((- x) + 4) ((- x) - 4)}{((- x) + 3) ((- x) - 3)}$

Этап 3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$g (- x) = \frac{(- (x) + 4) (- x - 4)}{(- x + 3) (- x - 3)}$

Этап 3.3

Перепишем $4$ в виде $- 1 (- 4)$ .

$g (- x) = \frac{(- (x) - 1 \cdot - 4) (- x - 4)}{(- x + 3) (- x - 3)}$

Этап 3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (- 4)$ .

$g (- x) = \frac{- (x - 4) (- x - 4)}{(- x + 3) (- x - 3)}$

Этап 3.5

Перепишем $- (x - 4)$ в виде $- 1 (x - 4)$ .

$g (- x) = \frac{- 1 (x - 4) (- x - 4)}{(- x + 3) (- x - 3)}$

Этап 3.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$g (- x) = \frac{- 1 (x - 4) (- (x) - 4)}{(- x + 3) (- x - 3)}$

Этап 3.7

Перепишем $- 4$ в виде $- 1 (4)$ .

$g (- x) = \frac{- 1 (x - 4) (- (x) - 1 \cdot 4)}{(- x + 3) (- x - 3)}$

Этап 3.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (4)$ .

$g (- x) = \frac{- 1 (x - 4) (- (x + 4))}{(- x + 3) (- x - 3)}$

Этап 3.9

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Перепишем $- (x + 4)$ в виде $- 1 (x + 4)$ .

$g (- x) = \frac{- 1 (x - 4) (- 1 (x + 4))}{(- x + 3) (- x - 3)}$

Этап 3.9.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$g (- x) = \frac{1 (x - 4) (x + 4)}{(- x + 3) (- x - 3)}$

Этап 3.9.3

Умножим $x - 4$ на $1$ .

$g (- x) = \frac{(x - 4) (x + 4)}{(- x + 3) (- x - 3)}$

Этап 3.10

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$g (- x) = \frac{(x - 4) (x + 4)}{(- (x) + 3) (- x - 3)}$

Этап 3.11

Перепишем $3$ в виде $- 1 (- 3)$ .

$g (- x) = \frac{(x - 4) (x + 4)}{(- (x) - 1 \cdot - 3) (- x - 3)}$

Этап 3.12

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (- 3)$ .

$g (- x) = \frac{(x - 4) (x + 4)}{- (x - 3) (- x - 3)}$

Этап 3.13

Перепишем $- (x - 3)$ в виде $- 1 (x - 3)$ .

$g (- x) = \frac{(x - 4) (x + 4)}{- 1 (x - 3) (- x - 3)}$

Этап 3.14

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$g (- x) = \frac{(x - 4) (x + 4)}{- 1 (x - 3) (- (x) - 3)}$

Этап 3.15

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$g (- x) = \frac{(x - 4) (x + 4)}{- 1 (x - 3) (- (x) - 1 \cdot 3)}$

Этап 3.16

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (3)$ .

$g (- x) = \frac{(x - 4) (x + 4)}{- 1 (x - 3) (- (x + 3))}$

Этап 3.17

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.17.1

Перепишем $- (x + 3)$ в виде $- 1 (x + 3)$ .

$g (- x) = \frac{(x - 4) (x + 4)}{- 1 (x - 3) (- 1 (x + 3))}$

Этап 3.17.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$g (- x) = \frac{(x - 4) (x + 4)}{1 (x - 3) (x + 3)}$

Этап 3.17.3

Умножим $x - 3$ на $1$ .

$g (- x) = \frac{(x - 4) (x + 4)}{(x - 3) (x + 3)}$

Этап 4

Функция является четной, если $f (- x) = f (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Проверим, верно ли $f (- x) = f (x)$ .

Этап 4.2

Так как $\frac{(x - 4) (x + 4)}{(x - 3) (x + 3)} = \frac{(x + 4) (x - 4)}{(x + 3) (x - 3)}$ , эта функция является четной.

Функция является четной.

Этап 5

Поскольку данная функция не является нечетной, она не симметрична относительно начала координат.

Нет симметрии относительно начала координат

Этап 6

Поскольку данная функция является четной, она симметрична относительно оси Y.

Симметрия относительно оси y

Этап 7