Алгебра Примеры

$y = - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{14}{5} x + \frac{17}{53}$

Этап 1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Объединим $x^{2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{14}{5} x + \frac{17}{53}$

Этап 1.1.2

Объединим $\frac{14}{5}$ и $x$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{14 x}{5} + \frac{17}{53}$

Этап 1.2

Составим полный квадрат для $- \frac{x^{2}}{2} + \frac{14 x}{5} + \frac{17}{53}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = - \frac{1}{2}$

$b = \frac{14}{5}$

$c = \frac{17}{53}$

Этап 1.2.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.2.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{14}{5}}{2 (- \frac{1}{2})}$

Этап 1.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$d = \frac{14}{5} \cdot \frac{1}{2 (- \frac{1}{2})}$

Этап 1.2.3.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $14$ .

$d = \frac{2 (7)}{5} \cdot \frac{1}{2 (- \frac{1}{2})}$

Этап 1.2.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 7}{5} \cdot \frac{1}{2 (- \frac{1}{2})}$

Этап 1.2.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{7}{5} \cdot \frac{1}{- \frac{1}{2}}$

Этап 1.2.3.2.3

Умножим $\frac{7}{5}$ на $\frac{1}{- \frac{1}{2}}$ .

$d = \frac{7}{5 (- \frac{1}{2})}$

Этап 1.2.3.2.4

Умножим $- 1$ на $5$ .

$d = \frac{7}{- 5 (\frac{1}{2})}$

Этап 1.2.3.2.5

Объединим $- 5$ и $\frac{1}{2}$ .

$d = \frac{7}{\frac{- 5}{2}}$

Этап 1.2.3.2.6

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$d = 7 (\frac{2}{- 5})$

Этап 1.2.3.2.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$d = 7 (- \frac{2}{5})$

Этап 1.2.3.2.8

Умножим $7 (- \frac{2}{5})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.8.1

Умножим $- 1$ на $7$ .

$d = - 7 (\frac{2}{5})$

Этап 1.2.3.2.8.2

Объединим $- 7$ и $\frac{2}{5}$ .

$d = \frac{- 7 \cdot 2}{5}$

Этап 1.2.3.2.8.3

Умножим $- 7$ на $2$ .

$d = \frac{- 14}{5}$

Этап 1.2.3.2.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$d = - \frac{14}{5}$

Этап 1.2.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = \frac{17}{53} - \frac{{(\frac{14}{5})}^{2}}{4 (- \frac{1}{2})}$

Этап 1.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1.1

Применим правило умножения к $\frac{14}{5}$ .

$e = \frac{17}{53} - \frac{\frac{14^{2}}{5^{2}}}{4 (- \frac{1}{2})}$

Этап 1.2.4.2.1.1.2

Возведем $14$ в степень $2$ .

$e = \frac{17}{53} - \frac{\frac{196}{5^{2}}}{4 (- \frac{1}{2})}$

Этап 1.2.4.2.1.1.3

Возведем $5$ в степень $2$ .

$e = \frac{17}{53} - \frac{\frac{196}{25}}{4 (- \frac{1}{2})}$

Этап 1.2.4.2.1.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.2.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$e = \frac{17}{53} - \frac{\frac{196}{25}}{- 4 (\frac{1}{2})}$

Этап 1.2.4.2.1.2.2

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{2}$ .

$e = \frac{17}{53} - \frac{\frac{196}{25}}{\frac{- 4}{2}}$

Этап 1.2.4.2.1.3

Разделим $- 4$ на $2$ .

$e = \frac{17}{53} - \frac{\frac{196}{25}}{- 2}$

Этап 1.2.4.2.1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$e = \frac{17}{53} - (\frac{196}{25} \cdot \frac{1}{- 2})$

Этап 1.2.4.2.1.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.5.1

Вынесем множитель $2$ из $196$ .

$e = \frac{17}{53} - (\frac{2 (98)}{25} \cdot \frac{1}{- 2})$

Этап 1.2.4.2.1.5.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$e = \frac{17}{53} - (\frac{2 \cdot 98}{25} \cdot \frac{1}{2 \cdot - 1})$

Этап 1.2.4.2.1.5.3

Сократим общий множитель.

$e = \frac{17}{53} - (\frac{2 \cdot 98}{25} \cdot \frac{1}{2 \cdot - 1})$

Этап 1.2.4.2.1.5.4

Перепишем это выражение.

$e = \frac{17}{53} - (\frac{98}{25} \cdot \frac{1}{- 1})$

Этап 1.2.4.2.1.6

Умножим $\frac{98}{25}$ на $\frac{1}{- 1}$ .

$e = \frac{17}{53} - \frac{98}{25 \cdot - 1}$

Этап 1.2.4.2.1.7

Умножим $25$ на $- 1$ .

$e = \frac{17}{53} - \frac{98}{- 25}$

Этап 1.2.4.2.1.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e = \frac{17}{53} - - \frac{98}{25}$

Этап 1.2.4.2.1.9

Умножим $- - \frac{98}{25}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.9.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$e = \frac{17}{53} + 1 (\frac{98}{25})$

Этап 1.2.4.2.1.9.2

Умножим $\frac{98}{25}$ на $1$ .

$e = \frac{17}{53} + \frac{98}{25}$

Этап 1.2.4.2.2

Чтобы записать $\frac{17}{53}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{25}{25}$ .

$e = \frac{17}{53} \cdot \frac{25}{25} + \frac{98}{25}$

Этап 1.2.4.2.3

Чтобы записать $\frac{98}{25}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{53}{53}$ .

$e = \frac{17}{53} \cdot \frac{25}{25} + \frac{98}{25} \cdot \frac{53}{53}$

Этап 1.2.4.2.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $1325$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.4.1

Умножим $\frac{17}{53}$ на $\frac{25}{25}$ .

$e = \frac{17 \cdot 25}{53 \cdot 25} + \frac{98}{25} \cdot \frac{53}{53}$

Этап 1.2.4.2.4.2

Умножим $53$ на $25$ .

$e = \frac{17 \cdot 25}{1325} + \frac{98}{25} \cdot \frac{53}{53}$

Этап 1.2.4.2.4.3

Умножим $\frac{98}{25}$ на $\frac{53}{53}$ .

$e = \frac{17 \cdot 25}{1325} + \frac{98 \cdot 53}{25 \cdot 53}$

Этап 1.2.4.2.4.4

Умножим $25$ на $53$ .

$e = \frac{17 \cdot 25}{1325} + \frac{98 \cdot 53}{1325}$

Этап 1.2.4.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$e = \frac{17 \cdot 25 + 98 \cdot 53}{1325}$

Этап 1.2.4.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.6.1

Умножим $17$ на $25$ .

$e = \frac{425 + 98 \cdot 53}{1325}$

Этап 1.2.4.2.6.2

Умножим $98$ на $53$ .

$e = \frac{425 + 5194}{1325}$

Этап 1.2.4.2.6.3

Добавим $425$ и $5194$ .

$e = \frac{5619}{1325}$

Этап 1.2.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $- \frac{1}{2} {(x - \frac{14}{5})}^{2} + \frac{5619}{1325}$ .

$- \frac{1}{2} {(x - \frac{14}{5})}^{2} + \frac{5619}{1325}$

Этап 1.3

Приравняем $y$ к новой правой части.

$y = - \frac{1}{2} \cdot {(x - \frac{14}{5})}^{2} + \frac{5619}{1325}$

Этап 2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = - \frac{1}{2}$

$h = \frac{14}{5}$

$k = \frac{5619}{1325}$

Этап 3

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(\frac{14}{5}, \frac{5619}{1325})$

Этап 4

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 4.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{2})}$

Этап 4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Сократим общий множитель $1$ и $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{2})}$

Этап 4.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{2})}$

Этап 4.3.2

Объединим $4$ и $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{2}}$

Этап 4.3.3

Разделим $4$ на $2$ .

$- \frac{1}{2}$

Этап 5

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Директриса параболы ― это горизонтальная прямая, которую можно найти вычитанием $p$ из y-координаты вершины $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$y = k - p$

Этап 5.2

Подставим известные значения $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$y = \frac{12563}{2650}$

Этап 6