Алгебра Примеры

${(4 x^{4} - 4)}^{4}$

Этап 1

Используем формулу биномиального разложения, чтобы найти каждый член. Бином Ньютона имеет вид ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{4} \frac{4!}{(4 - k)! k!} \cdot {(4 x^{4})}^{4 - k} \cdot {(- 4)}^{k}$

Этап 2

Развернем сумму.

$\frac{4!}{(4 - 0)! 0!} \cdot {(4 x^{4})}^{4 - 0} \cdot {(- 4)}^{0} + \frac{4!}{(4 - 1)! 1!} \cdot {(4 x^{4})}^{4 - 1} \cdot {(- 4)}^{1} + \frac{4!}{(4 - 2)! 2!} \cdot {(4 x^{4})}^{4 - 2} \cdot {(- 4)}^{2} + \frac{4!}{(4 - 3)! 3!} \cdot {(4 x^{4})}^{4 - 3} \cdot {(- 4)}^{3} + \frac{4!}{(4 - 4)! 4!} \cdot {(4 x^{4})}^{4 - 4} \cdot {(- 4)}^{4}$

Этап 3

Упростим экспоненты для каждого члена разложения.

$1 \cdot {(4 x^{4})}^{4} \cdot {(- 4)}^{0} + 4 \cdot {(4 x^{4})}^{3} \cdot {(- 4)}^{1} + 6 \cdot {(4 x^{4})}^{2} \cdot {(- 4)}^{2} + 4 \cdot {(4 x^{4})}^{1} \cdot {(- 4)}^{3} + 1 \cdot {(4 x^{4})}^{0} \cdot {(- 4)}^{4}$

Этап 4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим ${(4 x^{4})}^{4}$ на $1$ .

${(4 x^{4})}^{4} \cdot {(- 4)}^{0} + 4 \cdot {(4 x^{4})}^{3} \cdot {(- 4)}^{1} + 6 \cdot {(4 x^{4})}^{2} \cdot {(- 4)}^{2} + 4 \cdot {(4 x^{4})}^{1} \cdot {(- 4)}^{3} + 1 \cdot {(4 x^{4})}^{0} \cdot {(- 4)}^{4}$

Этап 4.2

Применим правило умножения к $4 x^{4}$ .

$4^{4} {(x^{4})}^{4} \cdot {(- 4)}^{0} + 4 \cdot {(4 x^{4})}^{3} \cdot {(- 4)}^{1} + 6 \cdot {(4 x^{4})}^{2} \cdot {(- 4)}^{2} + 4 \cdot {(4 x^{4})}^{1} \cdot {(- 4)}^{3} + 1 \cdot {(4 x^{4})}^{0} \cdot {(- 4)}^{4}$

Этап 4.3

Возведем $4$ в степень $4$ .

$256 {(x^{4})}^{4} \cdot {(- 4)}^{0} + 4 \cdot {(4 x^{4})}^{3} \cdot {(- 4)}^{1} + 6 \cdot {(4 x^{4})}^{2} \cdot {(- 4)}^{2} + 4 \cdot {(4 x^{4})}^{1} \cdot {(- 4)}^{3} + 1 \cdot {(4 x^{4})}^{0} \cdot {(- 4)}^{4}$

Этап 4.4

Перемножим экспоненты в ${(x^{4})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$256 x^{4 \cdot 4} \cdot {(- 4)}^{0} + 4 \cdot {(4 x^{4})}^{3} \cdot {(- 4)}^{1} + 6 \cdot {(4 x^{4})}^{2} \cdot {(- 4)}^{2} + 4 \cdot {(4 x^{4})}^{1} \cdot {(- 4)}^{3} + 1 \cdot {(4 x^{4})}^{0} \cdot {(- 4)}^{4}$

Этап 4.4.2

Умножим $4$ на $4$ .

$256 x^{16} \cdot {(- 4)}^{0} + 4 \cdot {(4 x^{4})}^{3} \cdot {(- 4)}^{1} + 6 \cdot {(4 x^{4})}^{2} \cdot {(- 4)}^{2} + 4 \cdot {(4 x^{4})}^{1} \cdot {(- 4)}^{3} + 1 \cdot {(4 x^{4})}^{0} \cdot {(- 4)}^{4}$

Этап 4.5

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$256 x^{16} \cdot 1 + 4 \cdot {(4 x^{4})}^{3} \cdot {(- 4)}^{1} + 6 \cdot {(4 x^{4})}^{2} \cdot {(- 4)}^{2} + 4 \cdot {(4 x^{4})}^{1} \cdot {(- 4)}^{3} + 1 \cdot {(4 x^{4})}^{0} \cdot {(- 4)}^{4}$

Этап 4.6

Умножим $256$ на $1$ .

$256 x^{16} + 4 \cdot {(4 x^{4})}^{3} \cdot {(- 4)}^{1} + 6 \cdot {(4 x^{4})}^{2} \cdot {(- 4)}^{2} + 4 \cdot {(4 x^{4})}^{1} \cdot {(- 4)}^{3} + 1 \cdot {(4 x^{4})}^{0} \cdot {(- 4)}^{4}$

Этап 4.7

Применим правило умножения к $4 x^{4}$ .

$256 x^{16} + 4 \cdot (4^{3} {(x^{4})}^{3}) \cdot {(- 4)}^{1} + 6 \cdot {(4 x^{4})}^{2} \cdot {(- 4)}^{2} + 4 \cdot {(4 x^{4})}^{1} \cdot {(- 4)}^{3} + 1 \cdot {(4 x^{4})}^{0} \cdot {(- 4)}^{4}$

Этап 4.8

Умножим $4$ на $4^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Перенесем $4^{3}$ .

$256 x^{16} + 4^{3} \cdot 4 \cdot {(x^{4})}^{3} \cdot {(- 4)}^{1} + 6 \cdot {(4 x^{4})}^{2} \cdot {(- 4)}^{2} + 4 \cdot {(4 x^{4})}^{1} \cdot {(- 4)}^{3} + 1 \cdot {(4 x^{4})}^{0} \cdot {(- 4)}^{4}$

Этап 4.8.2

Умножим $4^{3}$ на $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.2.1

Возведем $4$ в степень $1$ .

$256 x^{16} + 4^{3} \cdot 4^{1} \cdot {(x^{4})}^{3} \cdot {(- 4)}^{1} + 6 \cdot {(4 x^{4})}^{2} \cdot {(- 4)}^{2} + 4 \cdot {(4 x^{4})}^{1} \cdot {(- 4)}^{3} + 1 \cdot {(4 x^{4})}^{0} \cdot {(- 4)}^{4}$

Этап 4.8.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$256 x^{16} + 4^{3 + 1} \cdot {(x^{4})}^{3} \cdot {(- 4)}^{1} + 6 \cdot {(4 x^{4})}^{2} \cdot {(- 4)}^{2} + 4 \cdot {(4 x^{4})}^{1} \cdot {(- 4)}^{3} + 1 \cdot {(4 x^{4})}^{0} \cdot {(- 4)}^{4}$

Этап 4.8.3

Добавим $3$ и $1$ .

$256 x^{16} + 4^{4} \cdot {(x^{4})}^{3} \cdot {(- 4)}^{1} + 6 \cdot {(4 x^{4})}^{2} \cdot {(- 4)}^{2} + 4 \cdot {(4 x^{4})}^{1} \cdot {(- 4)}^{3} + 1 \cdot {(4 x^{4})}^{0} \cdot {(- 4)}^{4}$

Этап 4.9

Упростим $4^{4} \cdot {(x^{4})}^{3} \cdot {(- 4)}^{1}$ .

$256 x^{16} + 4^{4} \cdot {(x^{4})}^{3} \cdot - 4 + 6 \cdot {(4 x^{4})}^{2} \cdot {(- 4)}^{2} + 4 \cdot {(4 x^{4})}^{1} \cdot {(- 4)}^{3} + 1 \cdot {(4 x^{4})}^{0} \cdot {(- 4)}^{4}$

Этап 4.10

Возведем $4$ в степень $4$ .

$256 x^{16} + 256 \cdot {(x^{4})}^{3} \cdot - 4 + 6 \cdot {(4 x^{4})}^{2} \cdot {(- 4)}^{2} + 4 \cdot {(4 x^{4})}^{1} \cdot {(- 4)}^{3} + 1 \cdot {(4 x^{4})}^{0} \cdot {(- 4)}^{4}$

Этап 4.11

Перемножим экспоненты в ${(x^{4})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.11.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$256 x^{16} + 256 \cdot x^{4 \cdot 3} \cdot - 4 + 6 \cdot {(4 x^{4})}^{2} \cdot {(- 4)}^{2} + 4 \cdot {(4 x^{4})}^{1} \cdot {(- 4)}^{3} + 1 \cdot {(4 x^{4})}^{0} \cdot {(- 4)}^{4}$

Этап 4.11.2

Умножим $4$ на $3$ .

$256 x^{16} + 256 \cdot x^{12} \cdot - 4 + 6 \cdot {(4 x^{4})}^{2} \cdot {(- 4)}^{2} + 4 \cdot {(4 x^{4})}^{1} \cdot {(- 4)}^{3} + 1 \cdot {(4 x^{4})}^{0} \cdot {(- 4)}^{4}$

Этап 4.12

Умножим $- 4$ на $256$ .

$256 x^{16} - 1024 x^{12} + 6 \cdot {(4 x^{4})}^{2} \cdot {(- 4)}^{2} + 4 \cdot {(4 x^{4})}^{1} \cdot {(- 4)}^{3} + 1 \cdot {(4 x^{4})}^{0} \cdot {(- 4)}^{4}$

Этап 4.13

Применим правило умножения к $4 x^{4}$ .

$256 x^{16} - 1024 x^{12} + 6 \cdot (4^{2} {(x^{4})}^{2}) \cdot {(- 4)}^{2} + 4 \cdot {(4 x^{4})}^{1} \cdot {(- 4)}^{3} + 1 \cdot {(4 x^{4})}^{0} \cdot {(- 4)}^{4}$

Этап 4.14

Возведем $4$ в степень $2$ .

$256 x^{16} - 1024 x^{12} + 6 \cdot (16 {(x^{4})}^{2}) \cdot {(- 4)}^{2} + 4 \cdot {(4 x^{4})}^{1} \cdot {(- 4)}^{3} + 1 \cdot {(4 x^{4})}^{0} \cdot {(- 4)}^{4}$

Этап 4.15

Перемножим экспоненты в ${(x^{4})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.15.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$256 x^{16} - 1024 x^{12} + 6 \cdot (16 x^{4 \cdot 2}) \cdot {(- 4)}^{2} + 4 \cdot {(4 x^{4})}^{1} \cdot {(- 4)}^{3} + 1 \cdot {(4 x^{4})}^{0} \cdot {(- 4)}^{4}$

Этап 4.15.2

Умножим $4$ на $2$ .

$256 x^{16} - 1024 x^{12} + 6 \cdot (16 x^{8}) \cdot {(- 4)}^{2} + 4 \cdot {(4 x^{4})}^{1} \cdot {(- 4)}^{3} + 1 \cdot {(4 x^{4})}^{0} \cdot {(- 4)}^{4}$

Этап 4.16

Умножим $16$ на $6$ .

$256 x^{16} - 1024 x^{12} + 96 x^{8} \cdot {(- 4)}^{2} + 4 \cdot {(4 x^{4})}^{1} \cdot {(- 4)}^{3} + 1 \cdot {(4 x^{4})}^{0} \cdot {(- 4)}^{4}$

Этап 4.17

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$256 x^{16} - 1024 x^{12} + 96 x^{8} \cdot 16 + 4 \cdot {(4 x^{4})}^{1} \cdot {(- 4)}^{3} + 1 \cdot {(4 x^{4})}^{0} \cdot {(- 4)}^{4}$

Этап 4.18

Умножим $16$ на $96$ .

$256 x^{16} - 1024 x^{12} + 1536 x^{8} + 4 \cdot {(4 x^{4})}^{1} \cdot {(- 4)}^{3} + 1 \cdot {(4 x^{4})}^{0} \cdot {(- 4)}^{4}$

Этап 4.19

Упростим.

$256 x^{16} - 1024 x^{12} + 1536 x^{8} + 4 \cdot (4 x^{4}) \cdot {(- 4)}^{3} + 1 \cdot {(4 x^{4})}^{0} \cdot {(- 4)}^{4}$

Этап 4.20

Умножим $4$ на $4$ .

$256 x^{16} - 1024 x^{12} + 1536 x^{8} + 16 x^{4} \cdot {(- 4)}^{3} + 1 \cdot {(4 x^{4})}^{0} \cdot {(- 4)}^{4}$

Этап 4.21

Возведем $- 4$ в степень $3$ .

$256 x^{16} - 1024 x^{12} + 1536 x^{8} + 16 x^{4} \cdot - 64 + 1 \cdot {(4 x^{4})}^{0} \cdot {(- 4)}^{4}$

Этап 4.22

Умножим $- 64$ на $16$ .

$256 x^{16} - 1024 x^{12} + 1536 x^{8} - 1024 x^{4} + 1 \cdot {(4 x^{4})}^{0} \cdot {(- 4)}^{4}$

Этап 4.23

Умножим ${(4 x^{4})}^{0}$ на $1$ .

$256 x^{16} - 1024 x^{12} + 1536 x^{8} - 1024 x^{4} + {(4 x^{4})}^{0} \cdot {(- 4)}^{4}$

Этап 4.24

Применим правило умножения к $4 x^{4}$ .

$256 x^{16} - 1024 x^{12} + 1536 x^{8} - 1024 x^{4} + 4^{0} {(x^{4})}^{0} \cdot {(- 4)}^{4}$

Этап 4.25

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$256 x^{16} - 1024 x^{12} + 1536 x^{8} - 1024 x^{4} + 1 {(x^{4})}^{0} \cdot {(- 4)}^{4}$

Этап 4.26

Умножим ${(x^{4})}^{0}$ на $1$ .

$256 x^{16} - 1024 x^{12} + 1536 x^{8} - 1024 x^{4} + {(x^{4})}^{0} \cdot {(- 4)}^{4}$

Этап 4.27

Перемножим экспоненты в ${(x^{4})}^{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.27.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$256 x^{16} - 1024 x^{12} + 1536 x^{8} - 1024 x^{4} + x^{4 \cdot 0} \cdot {(- 4)}^{4}$

Этап 4.27.2

Умножим $4$ на $0$ .

$256 x^{16} - 1024 x^{12} + 1536 x^{8} - 1024 x^{4} + x^{0} \cdot {(- 4)}^{4}$

Этап 4.28

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$256 x^{16} - 1024 x^{12} + 1536 x^{8} - 1024 x^{4} + 1 \cdot {(- 4)}^{4}$

Этап 4.29

Умножим ${(- 4)}^{4}$ на $1$ .

$256 x^{16} - 1024 x^{12} + 1536 x^{8} - 1024 x^{4} + {(- 4)}^{4}$

Этап 4.30

Возведем $- 4$ в степень $4$ .

$256 x^{16} - 1024 x^{12} + 1536 x^{8} - 1024 x^{4} + 256$