Алгебра Примеры

${(2 x^{2} + 3 x y)}^{3}$

Этап 1

Используем формулу биномиального разложения, чтобы найти каждый член. Бином Ньютона имеет вид ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{3} \frac{3!}{(3 - k)! k!} \cdot {(2 x^{2})}^{3 - k} \cdot {(3 x y)}^{k}$

Этап 2

Развернем сумму.

$\frac{3!}{(3 - 0)! 0!} \cdot {(2 x^{2})}^{3 - 0} \cdot {(3 x y)}^{0} + \frac{3!}{(3 - 1)! 1!} \cdot {(2 x^{2})}^{3 - 1} \cdot {(3 x y)}^{1} + \frac{3!}{(3 - 2)! 2!} \cdot {(2 x^{2})}^{3 - 2} \cdot {(3 x y)}^{2} + \frac{3!}{(3 - 3)! 3!} \cdot {(2 x^{2})}^{3 - 3} \cdot {(3 x y)}^{3}$

Этап 3

Упростим экспоненты для каждого члена разложения.

$1 \cdot {(2 x^{2})}^{3} \cdot {(3 x y)}^{0} + 3 \cdot {(2 x^{2})}^{2} \cdot {(3 x y)}^{1} + 3 \cdot {(2 x^{2})}^{1} \cdot {(3 x y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x^{2})}^{0} \cdot {(3 x y)}^{3}$

Этап 4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим ${(2 x^{2})}^{3}$ на $1$ .

${(2 x^{2})}^{3} \cdot {(3 x y)}^{0} + 3 \cdot {(2 x^{2})}^{2} \cdot {(3 x y)}^{1} + 3 \cdot {(2 x^{2})}^{1} \cdot {(3 x y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x^{2})}^{0} \cdot {(3 x y)}^{3}$

Этап 4.2

Применим правило умножения к $2 x^{2}$ .

$2^{3} {(x^{2})}^{3} \cdot {(3 x y)}^{0} + 3 \cdot {(2 x^{2})}^{2} \cdot {(3 x y)}^{1} + 3 \cdot {(2 x^{2})}^{1} \cdot {(3 x y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x^{2})}^{0} \cdot {(3 x y)}^{3}$

Этап 4.3

Возведем $2$ в степень $3$ .

$8 {(x^{2})}^{3} \cdot {(3 x y)}^{0} + 3 \cdot {(2 x^{2})}^{2} \cdot {(3 x y)}^{1} + 3 \cdot {(2 x^{2})}^{1} \cdot {(3 x y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x^{2})}^{0} \cdot {(3 x y)}^{3}$

Этап 4.4

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 x^{2 \cdot 3} \cdot {(3 x y)}^{0} + 3 \cdot {(2 x^{2})}^{2} \cdot {(3 x y)}^{1} + 3 \cdot {(2 x^{2})}^{1} \cdot {(3 x y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x^{2})}^{0} \cdot {(3 x y)}^{3}$

Этап 4.4.2

Умножим $2$ на $3$ .

$8 x^{6} \cdot {(3 x y)}^{0} + 3 \cdot {(2 x^{2})}^{2} \cdot {(3 x y)}^{1} + 3 \cdot {(2 x^{2})}^{1} \cdot {(3 x y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x^{2})}^{0} \cdot {(3 x y)}^{3}$

Этап 4.5

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Применим правило умножения к $3 x y$ .

$8 x^{6} \cdot ({(3 x)}^{0} y^{0}) + 3 \cdot {(2 x^{2})}^{2} \cdot {(3 x y)}^{1} + 3 \cdot {(2 x^{2})}^{1} \cdot {(3 x y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x^{2})}^{0} \cdot {(3 x y)}^{3}$

Этап 4.5.2

Применим правило умножения к $3 x$ .

$8 x^{6} \cdot (3^{0} x^{0} y^{0}) + 3 \cdot {(2 x^{2})}^{2} \cdot {(3 x y)}^{1} + 3 \cdot {(2 x^{2})}^{1} \cdot {(3 x y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x^{2})}^{0} \cdot {(3 x y)}^{3}$

Этап 4.6

Умножим $x^{6}$ на $x^{0}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Перенесем $x^{0}$ .

$8 (x^{0} x^{6}) \cdot (3^{0} y^{0}) + 3 \cdot {(2 x^{2})}^{2} \cdot {(3 x y)}^{1} + 3 \cdot {(2 x^{2})}^{1} \cdot {(3 x y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x^{2})}^{0} \cdot {(3 x y)}^{3}$

Этап 4.6.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$8 x^{0 + 6} \cdot (3^{0} y^{0}) + 3 \cdot {(2 x^{2})}^{2} \cdot {(3 x y)}^{1} + 3 \cdot {(2 x^{2})}^{1} \cdot {(3 x y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x^{2})}^{0} \cdot {(3 x y)}^{3}$

Этап 4.6.3

Добавим $0$ и $6$ .

$8 x^{6} \cdot (3^{0} y^{0}) + 3 \cdot {(2 x^{2})}^{2} \cdot {(3 x y)}^{1} + 3 \cdot {(2 x^{2})}^{1} \cdot {(3 x y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x^{2})}^{0} \cdot {(3 x y)}^{3}$

Этап 4.7

Упростим $8 x^{6} \cdot (3^{0} y^{0})$ .

$8 x^{6} + 3 \cdot {(2 x^{2})}^{2} \cdot {(3 x y)}^{1} + 3 \cdot {(2 x^{2})}^{1} \cdot {(3 x y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x^{2})}^{0} \cdot {(3 x y)}^{3}$

Этап 4.8

Применим правило умножения к $2 x^{2}$ .

$8 x^{6} + 3 \cdot (2^{2} {(x^{2})}^{2}) \cdot {(3 x y)}^{1} + 3 \cdot {(2 x^{2})}^{1} \cdot {(3 x y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x^{2})}^{0} \cdot {(3 x y)}^{3}$

Этап 4.9

Возведем $2$ в степень $2$ .

$8 x^{6} + 3 \cdot (4 {(x^{2})}^{2}) \cdot {(3 x y)}^{1} + 3 \cdot {(2 x^{2})}^{1} \cdot {(3 x y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x^{2})}^{0} \cdot {(3 x y)}^{3}$

Этап 4.10

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 x^{6} + 3 \cdot (4 x^{2 \cdot 2}) \cdot {(3 x y)}^{1} + 3 \cdot {(2 x^{2})}^{1} \cdot {(3 x y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x^{2})}^{0} \cdot {(3 x y)}^{3}$

Этап 4.10.2

Умножим $2$ на $2$ .

$8 x^{6} + 3 \cdot (4 x^{4}) \cdot {(3 x y)}^{1} + 3 \cdot {(2 x^{2})}^{1} \cdot {(3 x y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x^{2})}^{0} \cdot {(3 x y)}^{3}$

Этап 4.11

Умножим $4$ на $3$ .

$8 x^{6} + 12 x^{4} \cdot {(3 x y)}^{1} + 3 \cdot {(2 x^{2})}^{1} \cdot {(3 x y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x^{2})}^{0} \cdot {(3 x y)}^{3}$

Этап 4.12

Упростим.

$8 x^{6} + 12 x^{4} \cdot (3 x y) + 3 \cdot {(2 x^{2})}^{1} \cdot {(3 x y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x^{2})}^{0} \cdot {(3 x y)}^{3}$

Этап 4.13

Умножим $x^{4}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.13.1

Перенесем $x$ .

$8 x^{6} + 12 (x \cdot x^{4}) \cdot (3 y) + 3 \cdot {(2 x^{2})}^{1} \cdot {(3 x y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x^{2})}^{0} \cdot {(3 x y)}^{3}$

Этап 4.13.2

Умножим $x$ на $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.13.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$8 x^{6} + 12 (x^{1} x^{4}) \cdot (3 y) + 3 \cdot {(2 x^{2})}^{1} \cdot {(3 x y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x^{2})}^{0} \cdot {(3 x y)}^{3}$

Этап 4.13.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$8 x^{6} + 12 x^{1 + 4} \cdot (3 y) + 3 \cdot {(2 x^{2})}^{1} \cdot {(3 x y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x^{2})}^{0} \cdot {(3 x y)}^{3}$

Этап 4.13.3

Добавим $1$ и $4$ .

$8 x^{6} + 12 x^{5} \cdot (3 y) + 3 \cdot {(2 x^{2})}^{1} \cdot {(3 x y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x^{2})}^{0} \cdot {(3 x y)}^{3}$

Этап 4.14

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$8 x^{6} + 12 \cdot 3 x^{5} y + 3 \cdot {(2 x^{2})}^{1} \cdot {(3 x y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x^{2})}^{0} \cdot {(3 x y)}^{3}$

Этап 4.15

Умножим $12$ на $3$ .

$8 x^{6} + 36 x^{5} y + 3 \cdot {(2 x^{2})}^{1} \cdot {(3 x y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x^{2})}^{0} \cdot {(3 x y)}^{3}$

Этап 4.16

Упростим.

$8 x^{6} + 36 x^{5} y + 3 \cdot (2 x^{2}) \cdot {(3 x y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x^{2})}^{0} \cdot {(3 x y)}^{3}$

Этап 4.17

Умножим $2$ на $3$ .

$8 x^{6} + 36 x^{5} y + 6 x^{2} \cdot {(3 x y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x^{2})}^{0} \cdot {(3 x y)}^{3}$

Этап 4.18

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.18.1

Применим правило умножения к $3 x y$ .

$8 x^{6} + 36 x^{5} y + 6 x^{2} \cdot ({(3 x)}^{2} y^{2}) + 1 \cdot {(2 x^{2})}^{0} \cdot {(3 x y)}^{3}$

Этап 4.18.2

Применим правило умножения к $3 x$ .

$8 x^{6} + 36 x^{5} y + 6 x^{2} \cdot (3^{2} x^{2} y^{2}) + 1 \cdot {(2 x^{2})}^{0} \cdot {(3 x y)}^{3}$

Этап 4.19

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.19.1

Перенесем $x^{2}$ .

$8 x^{6} + 36 x^{5} y + 6 (x^{2} x^{2}) \cdot (3^{2} y^{2}) + 1 \cdot {(2 x^{2})}^{0} \cdot {(3 x y)}^{3}$

Этап 4.19.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$8 x^{6} + 36 x^{5} y + 6 x^{2 + 2} \cdot (3^{2} y^{2}) + 1 \cdot {(2 x^{2})}^{0} \cdot {(3 x y)}^{3}$

Этап 4.19.3

Добавим $2$ и $2$ .

$8 x^{6} + 36 x^{5} y + 6 x^{4} \cdot (3^{2} y^{2}) + 1 \cdot {(2 x^{2})}^{0} \cdot {(3 x y)}^{3}$

Этап 4.20

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$8 x^{6} + 36 x^{5} y + 6 \cdot 3^{2} x^{4} y^{2} + 1 \cdot {(2 x^{2})}^{0} \cdot {(3 x y)}^{3}$

Этап 4.21

Возведем $3$ в степень $2$ .

$8 x^{6} + 36 x^{5} y + 6 \cdot 9 x^{4} y^{2} + 1 \cdot {(2 x^{2})}^{0} \cdot {(3 x y)}^{3}$

Этап 4.22

Умножим $6$ на $9$ .

$8 x^{6} + 36 x^{5} y + 54 x^{4} y^{2} + 1 \cdot {(2 x^{2})}^{0} \cdot {(3 x y)}^{3}$

Этап 4.23

Умножим ${(2 x^{2})}^{0}$ на $1$ .

$8 x^{6} + 36 x^{5} y + 54 x^{4} y^{2} + {(2 x^{2})}^{0} \cdot {(3 x y)}^{3}$

Этап 4.24

Применим правило умножения к $2 x^{2}$ .

$8 x^{6} + 36 x^{5} y + 54 x^{4} y^{2} + 2^{0} {(x^{2})}^{0} \cdot {(3 x y)}^{3}$

Этап 4.25

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$8 x^{6} + 36 x^{5} y + 54 x^{4} y^{2} + 1 {(x^{2})}^{0} \cdot {(3 x y)}^{3}$

Этап 4.26

Умножим ${(x^{2})}^{0}$ на $1$ .

$8 x^{6} + 36 x^{5} y + 54 x^{4} y^{2} + {(x^{2})}^{0} \cdot {(3 x y)}^{3}$

Этап 4.27

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.27.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 x^{6} + 36 x^{5} y + 54 x^{4} y^{2} + x^{2 \cdot 0} \cdot {(3 x y)}^{3}$

Этап 4.27.2

Умножим $2$ на $0$ .

$8 x^{6} + 36 x^{5} y + 54 x^{4} y^{2} + x^{0} \cdot {(3 x y)}^{3}$

Этап 4.28

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$8 x^{6} + 36 x^{5} y + 54 x^{4} y^{2} + 1 \cdot {(3 x y)}^{3}$

Этап 4.29

Умножим ${(3 x y)}^{3}$ на $1$ .

$8 x^{6} + 36 x^{5} y + 54 x^{4} y^{2} + {(3 x y)}^{3}$

Этап 4.30

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.30.1

Применим правило умножения к $3 x y$ .

$8 x^{6} + 36 x^{5} y + 54 x^{4} y^{2} + {(3 x)}^{3} y^{3}$

Этап 4.30.2

Применим правило умножения к $3 x$ .

$8 x^{6} + 36 x^{5} y + 54 x^{4} y^{2} + 3^{3} x^{3} y^{3}$

Этап 4.31

Возведем $3$ в степень $3$ .

$8 x^{6} + 36 x^{5} y + 54 x^{4} y^{2} + 27 x^{3} y^{3}$