Алгебра Примеры

${(1 - x)}^{4}$

Этап 1

Используем формулу биномиального разложения, чтобы найти каждый член. Бином Ньютона имеет вид ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{4} \frac{4!}{(4 - k)! k!} \cdot {(1)}^{4 - k} \cdot {(- x)}^{k}$

Этап 2

Развернем сумму.

$\frac{4!}{(4 - 0)! 0!} \cdot {(1)}^{4 - 0} \cdot {(- x)}^{0} + \frac{4!}{(4 - 1)! 1!} \cdot {(1)}^{4 - 1} \cdot {(- x)}^{1} + \frac{4!}{(4 - 2)! 2!} \cdot {(1)}^{4 - 2} \cdot {(- x)}^{2} + \frac{4!}{(4 - 3)! 3!} \cdot {(1)}^{4 - 3} \cdot {(- x)}^{3} + \frac{4!}{(4 - 4)! 4!} \cdot {(1)}^{4 - 4} \cdot {(- x)}^{4}$

Этап 3

Упростим экспоненты для каждого члена разложения.

$1 \cdot {(1)}^{4} \cdot {(- x)}^{0} + 4 \cdot {(1)}^{3} \cdot {(- x)}^{1} + 6 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(- x)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(- x)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(- x)}^{4}$

Этап 4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $1$ на ${(1)}^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $1$ на ${(1)}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Возведем $1$ в степень $1$ .

$1^{1} \cdot {(1)}^{4} \cdot {(- x)}^{0} + 4 \cdot {(1)}^{3} \cdot {(- x)}^{1} + 6 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(- x)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(- x)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(- x)}^{4}$

Этап 4.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$1^{1 + 4} \cdot {(- x)}^{0} + 4 \cdot {(1)}^{3} \cdot {(- x)}^{1} + 6 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(- x)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(- x)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(- x)}^{4}$

Этап 4.1.2

Добавим $1$ и $4$ .

$1^{5} \cdot {(- x)}^{0} + 4 \cdot {(1)}^{3} \cdot {(- x)}^{1} + 6 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(- x)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(- x)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(- x)}^{4}$

Этап 4.2

Упростим $1^{5} \cdot {(- x)}^{0}$ .

$1^{5} + 4 \cdot {(1)}^{3} \cdot {(- x)}^{1} + 6 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(- x)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(- x)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(- x)}^{4}$

Этап 4.3

Единица в любой степени равна единице.

$1 + 4 \cdot {(1)}^{3} \cdot {(- x)}^{1} + 6 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(- x)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(- x)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(- x)}^{4}$

Этап 4.4

Единица в любой степени равна единице.

$1 + 4 \cdot 1 \cdot {(- x)}^{1} + 6 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(- x)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(- x)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(- x)}^{4}$

Этап 4.5

Умножим $4$ на $1$ .

$1 + 4 \cdot {(- x)}^{1} + 6 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(- x)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(- x)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(- x)}^{4}$

Этап 4.6

Упростим.

$1 + 4 \cdot (- x) + 6 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(- x)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(- x)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(- x)}^{4}$

Этап 4.7

Умножим $- 1$ на $4$ .

$1 - 4 x + 6 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(- x)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(- x)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(- x)}^{4}$

Этап 4.8

Единица в любой степени равна единице.

$1 - 4 x + 6 \cdot 1 \cdot {(- x)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(- x)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(- x)}^{4}$

Этап 4.9

Умножим $6$ на $1$ .

$1 - 4 x + 6 \cdot {(- x)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(- x)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(- x)}^{4}$

Этап 4.10

Применим правило умножения к $- x$ .

$1 - 4 x + 6 \cdot ({(- 1)}^{2} x^{2}) + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(- x)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(- x)}^{4}$

Этап 4.11

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$1 - 4 x + 6 \cdot (1 x^{2}) + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(- x)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(- x)}^{4}$

Этап 4.12

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$1 - 4 x + 6 \cdot x^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(- x)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(- x)}^{4}$

Этап 4.13

Найдем экспоненту.

$1 - 4 x + 6 x^{2} + 4 \cdot 1 \cdot {(- x)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(- x)}^{4}$

Этап 4.14

Умножим $4$ на $1$ .

$1 - 4 x + 6 x^{2} + 4 \cdot {(- x)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(- x)}^{4}$

Этап 4.15

Применим правило умножения к $- x$ .

$1 - 4 x + 6 x^{2} + 4 \cdot ({(- 1)}^{3} x^{3}) + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(- x)}^{4}$

Этап 4.16

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$1 - 4 x + 6 x^{2} + 4 \cdot (- x^{3}) + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(- x)}^{4}$

Этап 4.17

Умножим $- 1$ на $4$ .

$1 - 4 x + 6 x^{2} - 4 x^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(- x)}^{4}$

Этап 4.18

Умножим $1$ на ${(1)}^{0}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.18.1

Умножим $1$ на ${(1)}^{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.18.1.1

Возведем $1$ в степень $1$ .

$1 - 4 x + 6 x^{2} - 4 x^{3} + 1^{1} \cdot {(1)}^{0} \cdot {(- x)}^{4}$

Этап 4.18.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$1 - 4 x + 6 x^{2} - 4 x^{3} + 1^{1 + 0} \cdot {(- x)}^{4}$

Этап 4.18.2

Добавим $1$ и $0$ .

$1 - 4 x + 6 x^{2} - 4 x^{3} + 1^{1} \cdot {(- x)}^{4}$

Этап 4.19

Упростим $1^{1} \cdot {(- x)}^{4}$ .

$1 - 4 x + 6 x^{2} - 4 x^{3} + {(- x)}^{4}$

Этап 4.20

Применим правило умножения к $- x$ .

$1 - 4 x + 6 x^{2} - 4 x^{3} + {(- 1)}^{4} x^{4}$

Этап 4.21

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$1 - 4 x + 6 x^{2} - 4 x^{3} + 1 x^{4}$

Этап 4.22

Умножим $x^{4}$ на $1$ .

$1 - 4 x + 6 x^{2} - 4 x^{3} + x^{4}$