Алгебра Примеры

$\frac{{(y - 2)}^{2}}{1^{2}} - \frac{{(x - 4)}^{2}}{3^{2}} = 1$

Этап 1

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

${(y - 2)}^{2} - \frac{{(x - 4)}^{2}}{9} = 1$

Этап 2

Это формула гиперболы. Используем эту формулу для определения значений, требуемых для нахождения асимптот гиперболы.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры гиперболы со значениями в стандартной форме. Переменная $h$ представляет сдвиг по оси X от начала координат, $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат, $a$ .

$a = 1$

$b = 3$

$k = 2$

$h = 4$

Этап 4

Асимптоты имеют вид $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ , так как ветви этой гиперболы направлены вверх и вниз.

$y = \pm \frac{1}{3} \cdot (x - (4)) + 2$

Этап 5

Упростим, чтобы найти первую асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Избавимся от скобок.

$y = \frac{1}{3} \cdot (x - (4)) + 2$

Этап 5.2

Упростим $\frac{1}{3} \cdot (x - (4)) + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$y = \frac{1}{3} \cdot (x - 4) + 2$

Этап 5.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{1}{3} x + \frac{1}{3} \cdot - 4 + 2$

Этап 5.2.1.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x$ .

$y = \frac{x}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 4 + 2$

Этап 5.2.1.4

Объединим $\frac{1}{3}$ и $- 4$ .

$y = \frac{x}{3} + \frac{- 4}{3} + 2$

Этап 5.2.1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{x}{3} - \frac{4}{3} + 2$

Этап 5.2.2

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x}{3} - \frac{4}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}$

Этап 5.2.3

Объединим $2$ и $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x}{3} - \frac{4}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}$

Этап 5.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{x}{3} + \frac{- 4 + 2 \cdot 3}{3}$

Этап 5.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Умножим $2$ на $3$ .

$y = \frac{x}{3} + \frac{- 4 + 6}{3}$

Этап 5.2.5.2

Добавим $- 4$ и $6$ .

$y = \frac{x}{3} + \frac{2}{3}$

Этап 6

Упростим, чтобы найти вторую асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Избавимся от скобок.

$y = - \frac{1}{3} \cdot (x - (4)) + 2$

Этап 6.2

Упростим $- \frac{1}{3} \cdot (x - (4)) + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$y = - \frac{1}{3} \cdot (x - 4) + 2$

Этап 6.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - \frac{1}{3} x - \frac{1}{3} \cdot - 4 + 2$

Этап 6.2.1.3

Объединим $x$ и $\frac{1}{3}$ .

$y = - \frac{x}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 4 + 2$

Этап 6.2.1.4

Умножим $- \frac{1}{3} \cdot - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.4.1

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$y = - \frac{x}{3} + 4 (\frac{1}{3}) + 2$

Этап 6.2.1.4.2

Объединим $4$ и $\frac{1}{3}$ .

$y = - \frac{x}{3} + \frac{4}{3} + 2$

Этап 6.2.2

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{x}{3} + \frac{4}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}$

Этап 6.2.3

Объединим $2$ и $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{x}{3} + \frac{4}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}$

Этап 6.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = - \frac{x}{3} + \frac{4 + 2 \cdot 3}{3}$

Этап 6.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.1

Умножим $2$ на $3$ .

$y = - \frac{x}{3} + \frac{4 + 6}{3}$

Этап 6.2.5.2

Добавим $4$ и $6$ .

$y = - \frac{x}{3} + \frac{10}{3}$

Этап 7

Эта гипербола имеет две асимптоты.

$y = \frac{x}{3} + \frac{2}{3}, y = - \frac{x}{3} + \frac{10}{3}$

Этап 8

Асимптоты: $y = \frac{x}{3} + \frac{2}{3}$ и $y = - \frac{x}{3} + \frac{10}{3}$ .

Асимптоты: $y = \frac{x}{3} + \frac{2}{3}, y = - \frac{x}{3} + \frac{10}{3}$

Этап 9