Алгебра Примеры

$f (x) = 3 x^{2} + 5$ , $x \geq 0$

Этап 1

Найдем множество значений заданной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

$[5, \infty)$

Этап 1.2

Преобразуем $[5, \infty)$ в неравенство.

$y \geq 5$

Этап 2

Найдем обратную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поменяем переменные местами.

$x = 3 y^{2} + 5$

Этап 2.2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем уравнение в виде $3 y^{2} + 5 = x$ .

$3 y^{2} + 5 = x$

Этап 2.2.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$3 y^{2} = x - 5$

Этап 2.2.3

Разделим каждый член $3 y^{2} = x - 5$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Разделим каждый член $3 y^{2} = x - 5$ на $3$ .

$\frac{3 y^{2}}{3} = \frac{x}{3} + \frac{- 5}{3}$

Этап 2.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 y^{2}}{3} = \frac{x}{3} + \frac{- 5}{3}$

Этап 2.2.3.2.1.2

Разделим $y^{2}$ на $1$ .

$y^{2} = \frac{x}{3} + \frac{- 5}{3}$

Этап 2.2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y^{2} = \frac{x}{3} - \frac{5}{3}$

Этап 2.2.4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{\frac{x}{3} - \frac{5}{3}}$

Этап 2.2.5

Упростим $\pm \sqrt{\frac{x}{3} - \frac{5}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \pm \sqrt{\frac{x - 5}{3}}$

Этап 2.2.5.2

Перепишем $\sqrt{\frac{x - 5}{3}}$ в виде $\frac{\sqrt{x - 5}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5}}{\sqrt{3}}$

Этап 2.2.5.3

Умножим $\frac{\sqrt{x - 5}}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Этап 2.2.5.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.4.1

Умножим $\frac{\sqrt{x - 5}}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 2.2.5.4.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Этап 2.2.5.4.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Этап 2.2.5.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 2.2.5.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 2.2.5.4.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.2.5.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.2.5.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.2.5.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.2.5.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Этап 2.2.5.4.6.5

Найдем экспоненту.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{3}}{3}$

Этап 2.2.5.5

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$y = \pm \frac{\sqrt{(x - 5) \cdot 3}}{3}$

Этап 2.2.5.6

Изменим порядок множителей в $\pm \frac{\sqrt{(x - 5) \cdot 3}}{3}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{3 (x - 5)}}{3}$

Этап 2.2.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \frac{\sqrt{3 (x - 5)}}{3}$

Этап 2.2.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \frac{\sqrt{3 (x - 5)}}{3}$

Этап 2.2.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \frac{\sqrt{3 (x - 5)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (x - 5)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{3 (x - 5)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (x - 5)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{3 (x - 5)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (x - 5)}}{3}$

Этап 2.3

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{3 (x - 5)}}{3}, - \frac{\sqrt{3 (x - 5)}}{3}$

Этап 3

Найдем обратную функцию, используя область определения и множество значений исходной функции.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{3 (x - 5)}}{3}, x \geq 5$

Этап 4