Алгебра Примеры

$8 x^{2} - 3 = \sqrt{16 x + 9}$

Этап 1

Поскольку радикал находится в правой части уравнения, поменяем стороны, чтобы он оказался в левой части.

$\sqrt{16 x + 9} = 8 x^{2} - 3$

Этап 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{16 x + 9}}^{2} = {(8 x^{2} - 3)}^{2}$

Этап 3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{16 x + 9}$ в виде ${(16 x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(16 x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(8 x^{2} - 3)}^{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${({(16 x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(16 x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(16 x + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(8 x^{2} - 3)}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(16 x + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(8 x^{2} - 3)}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(16 x + 9)}^{1} = {(8 x^{2} - 3)}^{2}$

Этап 3.2.1.2

Упростим.

$16 x + 9 = {(8 x^{2} - 3)}^{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим ${(8 x^{2} - 3)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем ${(8 x^{2} - 3)}^{2}$ в виде $(8 x^{2} - 3) (8 x^{2} - 3)$ .

$16 x + 9 = (8 x^{2} - 3) (8 x^{2} - 3)$

Этап 3.3.1.2

Развернем $(8 x^{2} - 3) (8 x^{2} - 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$16 x + 9 = 8 x^{2} (8 x^{2} - 3) - 3 (8 x^{2} - 3)$

Этап 3.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$16 x + 9 = 8 x^{2} (8 x^{2}) + 8 x^{2} \cdot - 3 - 3 (8 x^{2} - 3)$

Этап 3.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$16 x + 9 = 8 x^{2} (8 x^{2}) + 8 x^{2} \cdot - 3 - 3 (8 x^{2}) - 3 \cdot - 3$

Этап 3.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$16 x + 9 = 8 \cdot 8 x^{2} x^{2} + 8 x^{2} \cdot - 3 - 3 (8 x^{2}) - 3 \cdot - 3$

Этап 3.3.1.3.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$16 x + 9 = 8 \cdot 8 (x^{2} x^{2}) + 8 x^{2} \cdot - 3 - 3 (8 x^{2}) - 3 \cdot - 3$

Этап 3.3.1.3.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$16 x + 9 = 8 \cdot 8 x^{2 + 2} + 8 x^{2} \cdot - 3 - 3 (8 x^{2}) - 3 \cdot - 3$

Этап 3.3.1.3.1.2.3

Добавим $2$ и $2$ .

$16 x + 9 = 8 \cdot 8 x^{4} + 8 x^{2} \cdot - 3 - 3 (8 x^{2}) - 3 \cdot - 3$

Этап 3.3.1.3.1.3

Умножим $8$ на $8$ .

$16 x + 9 = 64 x^{4} + 8 x^{2} \cdot - 3 - 3 (8 x^{2}) - 3 \cdot - 3$

Этап 3.3.1.3.1.4

Умножим $- 3$ на $8$ .

$16 x + 9 = 64 x^{4} - 24 x^{2} - 3 (8 x^{2}) - 3 \cdot - 3$

Этап 3.3.1.3.1.5

Умножим $8$ на $- 3$ .

$16 x + 9 = 64 x^{4} - 24 x^{2} - 24 x^{2} - 3 \cdot - 3$

Этап 3.3.1.3.1.6

Умножим $- 3$ на $- 3$ .

$16 x + 9 = 64 x^{4} - 24 x^{2} - 24 x^{2} + 9$

Этап 3.3.1.3.2

Вычтем $24 x^{2}$ из $- 24 x^{2}$ .

$16 x + 9 = 64 x^{4} - 48 x^{2} + 9$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$64 x^{4} - 48 x^{2} + 9 = 16 x + 9$

Этап 4.2

Вычтем $16 x$ из обеих частей уравнения.

$64 x^{4} - 48 x^{2} + 9 - 16 x = 9$

Этап 4.3

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$64 x^{4} - 48 x^{2} + 9 - 16 x - 9 = 0$

Этап 4.4

Объединим противоположные члены в $64 x^{4} - 48 x^{2} + 9 - 16 x - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Вычтем $9$ из $9$ .

$64 x^{4} - 48 x^{2} - 16 x + 0 = 0$

Этап 4.4.2

Добавим $64 x^{4} - 48 x^{2} - 16 x$ и $0$ .

$64 x^{4} - 48 x^{2} - 16 x = 0$

Этап 4.5

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Вынесем множитель $16 x$ из $64 x^{4} - 48 x^{2} - 16 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.1

Вынесем множитель $16 x$ из $64 x^{4}$ .

$16 x (4 x^{3}) - 48 x^{2} - 16 x = 0$

Этап 4.5.1.2

Вынесем множитель $16 x$ из $- 48 x^{2}$ .

$16 x (4 x^{3}) + 16 x (- 3 x) - 16 x = 0$

Этап 4.5.1.3

Вынесем множитель $16 x$ из $- 16 x$ .

$16 x (4 x^{3}) + 16 x (- 3 x) + 16 x (- 1) = 0$

Этап 4.5.1.4

Вынесем множитель $16 x$ из $16 x (4 x^{3}) + 16 x (- 3 x)$ .

$16 x (4 x^{3} - 3 x) + 16 x (- 1) = 0$

Этап 4.5.1.5

Вынесем множитель $16 x$ из $16 x (4 x^{3} - 3 x) + 16 x (- 1)$ .

$16 x (4 x^{3} - 3 x - 1) = 0$

Этап 4.5.2

Разложим $4 x^{3} - 3 x - 1$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

Этап 4.5.2.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5$

Этап 4.5.2.3

Подставим $- 0.5$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 0.5$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.3.1

Подставим $- 0.5$ в многочлен.

$4 {(- 0.5)}^{3} - 3 \cdot - 0.5 - 1$

Этап 4.5.2.3.2

Возведем $- 0.5$ в степень $3$ .

$4 \cdot - 0.125 - 3 \cdot - 0.5 - 1$

Этап 4.5.2.3.3

Умножим $4$ на $- 0.125$ .

$- 0.5 - 3 \cdot - 0.5 - 1$

Этап 4.5.2.3.4

Умножим $- 3$ на $- 0.5$ .

$- 0.5 + 1.5 - 1$

Этап 4.5.2.3.5

Добавим $- 0.5$ и $1.5$ .

$1 - 1$

Этап 4.5.2.3.6

Вычтем $1$ из $1$ .

$0$

Этап 4.5.2.4

Поскольку $- 0.5$ — известный корень, разделим многочлен на $2 x + 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{4 x^{3} - 3 x - 1}{2 x + 1}$

Этап 4.5.2.5

Разделим $4 x^{3} - 3 x - 1$ на $2 x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$2 x$

$1$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$1$

Этап 4.5.2.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $4 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

					$2 x^{2}$
	$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$

Этап 4.5.2.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$2 x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			+	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Этап 4.5.2.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $4 x^{3} + 2 x^{2}$ .

				$2 x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Этап 4.5.2.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$2 x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Этап 4.5.2.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$2 x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$

Этап 4.5.2.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 2 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

				$2 x^{2}$	-	$x$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$

Этап 4.5.2.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$2 x^{2}$	-	$x$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$x$

Этап 4.5.2.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 2 x^{2} - x$ .

				$2 x^{2}$	-	$x$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$x$

Этап 4.5.2.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$2 x^{2}$	-	$x$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$

Этап 4.5.2.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$2 x^{2}$	-	$x$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	-	$1$

Этап 4.5.2.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 2 x$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

				$2 x^{2}$	-	$x$	-	$1$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	-	$1$

Этап 4.5.2.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$2 x^{2}$	-	$x$	-	$1$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	-	$1$
							-	$2 x$	-	$1$

Этап 4.5.2.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 2 x - 1$ .

				$2 x^{2}$	-	$x$	-	$1$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	-	$1$
							+	$2 x$	+	$1$

Этап 4.5.2.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$2 x^{2}$	-	$x$	-	$1$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	-	$1$
							+	$2 x$	+	$1$
										$0$

Этап 4.5.2.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$2 x^{2} - x - 1$

Этап 4.5.2.6

Запишем $4 x^{3} - 3 x - 1$ в виде набора множителей.

$16 x ((2 x + 1) (2 x^{2} - x - 1)) = 0$

Этап 4.5.3

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.3.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.3.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ , а сумма — $b = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.3.1.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$16 x ((2 x + 1) (2 x^{2} - (x) - 1)) = 0$

Этап 4.5.3.1.1.2

Запишем $- 1$ как $1$ плюс $- 2$

$16 x ((2 x + 1) (2 x^{2} + (1 - 2) x - 1)) = 0$

Этап 4.5.3.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$16 x ((2 x + 1) (2 x^{2} + 1 x - 2 x - 1)) = 0$

Этап 4.5.3.1.1.4

Умножим $x$ на $1$ .

$16 x ((2 x + 1) (2 x^{2} + x - 2 x - 1)) = 0$

Этап 4.5.3.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.3.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$16 x ((2 x + 1) ((2 x^{2} + x) - 2 x - 1)) = 0$

Этап 4.5.3.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$16 x ((2 x + 1) (x (2 x + 1) - (2 x + 1))) = 0$

Этап 4.5.3.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x + 1$ .

$16 x ((2 x + 1) ((2 x + 1) (x - 1))) = 0$

Этап 4.5.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$16 x ((2 x + 1) (2 x + 1) (x - 1)) = 0$

Этап 4.5.4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.4.1

Объединим подобные множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.4.1.1

Возведем $2 x + 1$ в степень $1$ .

$16 x ((2 x + 1) (2 x + 1) (x - 1)) = 0$

Этап 4.5.4.1.2

Возведем $2 x + 1$ в степень $1$ .

$16 x ((2 x + 1) (2 x + 1) (x - 1)) = 0$

Этап 4.5.4.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$16 x ({(2 x + 1)}^{1 + 1} (x - 1)) = 0$

Этап 4.5.4.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$16 x ({(2 x + 1)}^{2} (x - 1)) = 0$

Этап 4.5.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$16 x {(2 x + 1)}^{2} (x - 1) = 0$

Этап 4.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

${(2 x + 1)}^{2} = 0$

$x - 1 = 0$

Этап 4.7

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 4.8

Приравняем ${(2 x + 1)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Приравняем ${(2 x + 1)}^{2}$ к $0$ .

${(2 x + 1)}^{2} = 0$

Этап 4.8.2

Решим ${(2 x + 1)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.2.1

Приравняем $2 x + 1$ к $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Этап 4.8.2.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.2.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - 1$

Этап 4.8.2.2.2

Разделим каждый член $2 x = - 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.2.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = - 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 4.8.2.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.2.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.2.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 4.8.2.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Этап 4.8.2.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.2.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{2}$

Этап 4.9

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 4.9.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 4.10

Окончательным решением являются все значения, при которых $16 x {(2 x + 1)}^{2} (x - 1) = 0$ верно.

$x = 0, - \frac{1}{2}, 1$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $8 x^{2} - 3 = \sqrt{16 x + 9}$ истинным.

$x = 1$