Алгебра Примеры

${(4 + 3 y)}^{4}$

Этап 1

Треугольник Паскаля можно представить в следующем виде:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

Данный треугольник можно использовать для вычисления коэффициентов разложения ${(a + b)}^{n}$ , беря степень $n$ и добавляя $1$ . Коэффициенты соответствуют строке $n + 1$ треугольника Паскаля. Для ${(4 + 3 y)}^{4}$ $n = 4$ , поэтому коэффициенты разложения соответствуют строке $5$ .

Этап 2

Разложение соответствует правилу ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Значения коэффициентов, определяемые треугольником Паскаля: $1 - 4 - 6 - 4 - 1$ .

$1 a^{4} b^{0} + 4 a^{3} b + 6 a^{2} b^{2} + 4 a b^{3} + 1 a^{0} b^{4}$

Этап 3

Подставим известные значения $a$ $4$ и $b$ $3 y$ в выражение.

$1 {(4)}^{4} {(3 y)}^{0} + 4 {(4)}^{3} {(3 y)}^{1} + 6 {(4)}^{2} {(3 y)}^{2} + 4 {(4)}^{1} {(3 y)}^{3} + 1 {(4)}^{0} {(3 y)}^{4}$

Этап 4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим ${(4)}^{4}$ на $1$ .

${(4)}^{4} {(3 y)}^{0} + 4 {(4)}^{3} {(3 y)}^{1} + 6 {(4)}^{2} {(3 y)}^{2} + 4 {(4)}^{1} {(3 y)}^{3} + 1 {(4)}^{0} {(3 y)}^{4}$

Этап 4.2

Возведем $4$ в степень $4$ .

$256 {(3 y)}^{0} + 4 {(4)}^{3} {(3 y)}^{1} + 6 {(4)}^{2} {(3 y)}^{2} + 4 {(4)}^{1} {(3 y)}^{3} + 1 {(4)}^{0} {(3 y)}^{4}$

Этап 4.3

Применим правило умножения к $3 y$ .

$256 (3^{0} y^{0}) + 4 {(4)}^{3} {(3 y)}^{1} + 6 {(4)}^{2} {(3 y)}^{2} + 4 {(4)}^{1} {(3 y)}^{3} + 1 {(4)}^{0} {(3 y)}^{4}$

Этап 4.4

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$256 (1 y^{0}) + 4 {(4)}^{3} {(3 y)}^{1} + 6 {(4)}^{2} {(3 y)}^{2} + 4 {(4)}^{1} {(3 y)}^{3} + 1 {(4)}^{0} {(3 y)}^{4}$

Этап 4.5

Умножим $y^{0}$ на $1$ .

$256 y^{0} + 4 {(4)}^{3} {(3 y)}^{1} + 6 {(4)}^{2} {(3 y)}^{2} + 4 {(4)}^{1} {(3 y)}^{3} + 1 {(4)}^{0} {(3 y)}^{4}$

Этап 4.6

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$256 \cdot 1 + 4 {(4)}^{3} {(3 y)}^{1} + 6 {(4)}^{2} {(3 y)}^{2} + 4 {(4)}^{1} {(3 y)}^{3} + 1 {(4)}^{0} {(3 y)}^{4}$

Этап 4.7

Умножим $256$ на $1$ .

$256 + 4 {(4)}^{3} {(3 y)}^{1} + 6 {(4)}^{2} {(3 y)}^{2} + 4 {(4)}^{1} {(3 y)}^{3} + 1 {(4)}^{0} {(3 y)}^{4}$

Этап 4.8

Умножим $4$ на ${(4)}^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Умножим $4$ на ${(4)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1.1

Возведем $4$ в степень $1$ .

$256 + 4^{1} {(4)}^{3} {(3 y)}^{1} + 6 {(4)}^{2} {(3 y)}^{2} + 4 {(4)}^{1} {(3 y)}^{3} + 1 {(4)}^{0} {(3 y)}^{4}$

Этап 4.8.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$256 + 4^{1 + 3} {(3 y)}^{1} + 6 {(4)}^{2} {(3 y)}^{2} + 4 {(4)}^{1} {(3 y)}^{3} + 1 {(4)}^{0} {(3 y)}^{4}$

Этап 4.8.2

Добавим $1$ и $3$ .

$256 + 4^{4} {(3 y)}^{1} + 6 {(4)}^{2} {(3 y)}^{2} + 4 {(4)}^{1} {(3 y)}^{3} + 1 {(4)}^{0} {(3 y)}^{4}$

Этап 4.9

Упростим $4^{4} {(3 y)}^{1}$ .

$256 + 4^{4} (3 y) + 6 {(4)}^{2} {(3 y)}^{2} + 4 {(4)}^{1} {(3 y)}^{3} + 1 {(4)}^{0} {(3 y)}^{4}$

Этап 4.10

Возведем $4$ в степень $4$ .

$256 + 256 (3 y) + 6 {(4)}^{2} {(3 y)}^{2} + 4 {(4)}^{1} {(3 y)}^{3} + 1 {(4)}^{0} {(3 y)}^{4}$

Этап 4.11

Умножим $3$ на $256$ .

$256 + 768 y + 6 {(4)}^{2} {(3 y)}^{2} + 4 {(4)}^{1} {(3 y)}^{3} + 1 {(4)}^{0} {(3 y)}^{4}$

Этап 4.12

Возведем $4$ в степень $2$ .

$256 + 768 y + 6 \cdot 16 {(3 y)}^{2} + 4 {(4)}^{1} {(3 y)}^{3} + 1 {(4)}^{0} {(3 y)}^{4}$

Этап 4.13

Умножим $6$ на $16$ .

$256 + 768 y + 96 {(3 y)}^{2} + 4 {(4)}^{1} {(3 y)}^{3} + 1 {(4)}^{0} {(3 y)}^{4}$

Этап 4.14

Применим правило умножения к $3 y$ .

$256 + 768 y + 96 (3^{2} y^{2}) + 4 {(4)}^{1} {(3 y)}^{3} + 1 {(4)}^{0} {(3 y)}^{4}$

Этап 4.15

Возведем $3$ в степень $2$ .

$256 + 768 y + 96 (9 y^{2}) + 4 {(4)}^{1} {(3 y)}^{3} + 1 {(4)}^{0} {(3 y)}^{4}$

Этап 4.16

Умножим $9$ на $96$ .

$256 + 768 y + 864 y^{2} + 4 {(4)}^{1} {(3 y)}^{3} + 1 {(4)}^{0} {(3 y)}^{4}$

Этап 4.17

Найдем экспоненту.

$256 + 768 y + 864 y^{2} + 4 \cdot 4 {(3 y)}^{3} + 1 {(4)}^{0} {(3 y)}^{4}$

Этап 4.18

Умножим $4$ на $4$ .

$256 + 768 y + 864 y^{2} + 16 {(3 y)}^{3} + 1 {(4)}^{0} {(3 y)}^{4}$

Этап 4.19

Применим правило умножения к $3 y$ .

$256 + 768 y + 864 y^{2} + 16 (3^{3} y^{3}) + 1 {(4)}^{0} {(3 y)}^{4}$

Этап 4.20

Возведем $3$ в степень $3$ .

$256 + 768 y + 864 y^{2} + 16 (27 y^{3}) + 1 {(4)}^{0} {(3 y)}^{4}$

Этап 4.21

Умножим $27$ на $16$ .

$256 + 768 y + 864 y^{2} + 432 y^{3} + 1 {(4)}^{0} {(3 y)}^{4}$

Этап 4.22

Умножим ${(4)}^{0}$ на $1$ .

$256 + 768 y + 864 y^{2} + 432 y^{3} + {(4)}^{0} {(3 y)}^{4}$

Этап 4.23

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$256 + 768 y + 864 y^{2} + 432 y^{3} + 1 {(3 y)}^{4}$

Этап 4.24

Умножим ${(3 y)}^{4}$ на $1$ .

$256 + 768 y + 864 y^{2} + 432 y^{3} + {(3 y)}^{4}$

Этап 4.25

Применим правило умножения к $3 y$ .

$256 + 768 y + 864 y^{2} + 432 y^{3} + 3^{4} y^{4}$

Этап 4.26

Возведем $3$ в степень $4$ .

$256 + 768 y + 864 y^{2} + 432 y^{3} + 81 y^{4}$