Алгебра Примеры

$f (x) = - 2 (x - 1) {(x + 3)}^{3}$

Этап 1

Определим степень функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим и упорядочим многочлен.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(- 2 x - 2 \cdot - 1) {(x + 3)}^{3}$

Этап 1.1.1.2

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$(- 2 x + 2) {(x + 3)}^{3}$

Этап 1.1.2

Воспользуемся бином Ньютона.

$(- 2 x + 2) (x^{3} + 3 x^{2} \cdot 3 + 3 x \cdot 3^{2} + 3^{3})$

Этап 1.1.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Умножим $3$ на $3$ .

$(- 2 x + 2) (x^{3} + 9 x^{2} + 3 x \cdot 3^{2} + 3^{3})$

Этап 1.1.3.2

Умножим $3$ на $3^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1

Перенесем $3^{2}$ .

$(- 2 x + 2) (x^{3} + 9 x^{2} + 3^{2} \cdot 3 x + 3^{3})$

Этап 1.1.3.2.2

Умножим $3^{2}$ на $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.2.1

Возведем $3$ в степень $1$ .

$(- 2 x + 2) (x^{3} + 9 x^{2} + 3^{2} \cdot 3^{1} x + 3^{3})$

Этап 1.1.3.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(- 2 x + 2) (x^{3} + 9 x^{2} + 3^{2 + 1} x + 3^{3})$

Этап 1.1.3.2.3

Добавим $2$ и $1$ .

$(- 2 x + 2) (x^{3} + 9 x^{2} + 3^{3} x + 3^{3})$

Этап 1.1.3.3

Возведем $3$ в степень $3$ .

$(- 2 x + 2) (x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 3^{3})$

Этап 1.1.3.4

Возведем $3$ в степень $3$ .

$(- 2 x + 2) (x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27)$

Этап 1.1.4

Развернем $(- 2 x + 2) (x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$- 2 x \cdot x^{3} - 2 x (9 x^{2}) - 2 x (27 x) - 2 x \cdot 27 + 2 x^{3} + 2 (9 x^{2}) + 2 (27 x) + 2 \cdot 27$

Этап 1.1.5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Объединим противоположные члены в $- 2 x \cdot x^{3} - 2 x (9 x^{2}) - 2 x (27 x) - 2 x \cdot 27 + 2 x^{3} + 2 (9 x^{2}) + 2 (27 x) + 2 \cdot 27$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1.1

Изменим порядок множителей в членах $- 2 x \cdot 27$ и $2 (27 x)$ .

$- 2 x \cdot x^{3} - 2 x (9 x^{2}) - 2 x (27 x) - 2 \cdot 27 x + 2 x^{3} + 2 (9 x^{2}) + 2 \cdot 27 x + 2 \cdot 27$

Этап 1.1.5.1.2

Добавим $- 2 \cdot 27 x$ и $2 \cdot 27 x$ .

$- 2 x \cdot x^{3} - 2 x (9 x^{2}) - 2 x (27 x) + 2 x^{3} + 2 (9 x^{2}) + 0 + 2 \cdot 27$

Этап 1.1.5.1.3

Добавим $- 2 x \cdot x^{3} - 2 x (9 x^{2}) - 2 x (27 x) + 2 x^{3} + 2 (9 x^{2})$ и $0$ .

$- 2 x \cdot x^{3} - 2 x (9 x^{2}) - 2 x (27 x) + 2 x^{3} + 2 (9 x^{2}) + 2 \cdot 27$

Этап 1.1.5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.2.1

Умножим $x$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.2.1.1

Перенесем $x^{3}$ .

$- 2 (x^{3} x) - 2 x (9 x^{2}) - 2 x (27 x) + 2 x^{3} + 2 (9 x^{2}) + 2 \cdot 27$

Этап 1.1.5.2.1.2

Умножим $x^{3}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.2.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 2 (x^{3} x^{1}) - 2 x (9 x^{2}) - 2 x (27 x) + 2 x^{3} + 2 (9 x^{2}) + 2 \cdot 27$

Этап 1.1.5.2.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 2 x^{3 + 1} - 2 x (9 x^{2}) - 2 x (27 x) + 2 x^{3} + 2 (9 x^{2}) + 2 \cdot 27$

Этап 1.1.5.2.1.3

Добавим $3$ и $1$ .

$- 2 x^{4} - 2 x (9 x^{2}) - 2 x (27 x) + 2 x^{3} + 2 (9 x^{2}) + 2 \cdot 27$

Этап 1.1.5.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 2 x^{4} - 2 \cdot 9 x \cdot x^{2} - 2 x (27 x) + 2 x^{3} + 2 (9 x^{2}) + 2 \cdot 27$

Этап 1.1.5.2.3

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.2.3.1

Перенесем $x^{2}$ .

$- 2 x^{4} - 2 \cdot 9 (x^{2} x) - 2 x (27 x) + 2 x^{3} + 2 (9 x^{2}) + 2 \cdot 27$

Этап 1.1.5.2.3.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.2.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 2 x^{4} - 2 \cdot 9 (x^{2} x^{1}) - 2 x (27 x) + 2 x^{3} + 2 (9 x^{2}) + 2 \cdot 27$

Этап 1.1.5.2.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 2 x^{4} - 2 \cdot 9 x^{2 + 1} - 2 x (27 x) + 2 x^{3} + 2 (9 x^{2}) + 2 \cdot 27$

Этап 1.1.5.2.3.3

Добавим $2$ и $1$ .

$- 2 x^{4} - 2 \cdot 9 x^{3} - 2 x (27 x) + 2 x^{3} + 2 (9 x^{2}) + 2 \cdot 27$

Этап 1.1.5.2.4

Умножим $- 2$ на $9$ .

$- 2 x^{4} - 18 x^{3} - 2 x (27 x) + 2 x^{3} + 2 (9 x^{2}) + 2 \cdot 27$

Этап 1.1.5.2.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 2 x^{4} - 18 x^{3} - 2 \cdot 27 x \cdot x + 2 x^{3} + 2 (9 x^{2}) + 2 \cdot 27$

Этап 1.1.5.2.6

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.2.6.1

Перенесем $x$ .

$- 2 x^{4} - 18 x^{3} - 2 \cdot 27 (x \cdot x) + 2 x^{3} + 2 (9 x^{2}) + 2 \cdot 27$

Этап 1.1.5.2.6.2

Умножим $x$ на $x$ .

$- 2 x^{4} - 18 x^{3} - 2 \cdot 27 x^{2} + 2 x^{3} + 2 (9 x^{2}) + 2 \cdot 27$

Этап 1.1.5.2.7

Умножим $- 2$ на $27$ .

$- 2 x^{4} - 18 x^{3} - 54 x^{2} + 2 x^{3} + 2 (9 x^{2}) + 2 \cdot 27$

Этап 1.1.5.2.8

Умножим $9$ на $2$ .

$- 2 x^{4} - 18 x^{3} - 54 x^{2} + 2 x^{3} + 18 x^{2} + 2 \cdot 27$

Этап 1.1.5.2.9

Умножим $2$ на $27$ .

$- 2 x^{4} - 18 x^{3} - 54 x^{2} + 2 x^{3} + 18 x^{2} + 54$

Этап 1.1.5.3

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.3.1

Добавим $- 18 x^{3}$ и $2 x^{3}$ .

$- 2 x^{4} - 16 x^{3} - 54 x^{2} + 18 x^{2} + 54$

Этап 1.1.5.3.2

Добавим $- 54 x^{2}$ и $18 x^{2}$ .

$- 2 x^{4} - 16 x^{3} - 36 x^{2} + 54$

Этап 1.2

Наибольший показатель степени называется степенью многочлена.

$4$

Этап 2

Поскольку степень четная, края функции будут указывать одно направление.

Четные

Этап 3

Определим старший коэффициент.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим многочлен и упорядочим его слева направо, начиная с члена с наивысшей степенью.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(- 2 x - 2 \cdot - 1) {(x + 3)}^{3}$

Этап 3.1.1.2

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$(- 2 x + 2) {(x + 3)}^{3}$

Этап 3.1.2

Воспользуемся бином Ньютона.

$(- 2 x + 2) (x^{3} + 3 x^{2} \cdot 3 + 3 x \cdot 3^{2} + 3^{3})$

Этап 3.1.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Умножим $3$ на $3$ .

$(- 2 x + 2) (x^{3} + 9 x^{2} + 3 x \cdot 3^{2} + 3^{3})$

Этап 3.1.3.2

Умножим $3$ на $3^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.2.1

Перенесем $3^{2}$ .

$(- 2 x + 2) (x^{3} + 9 x^{2} + 3^{2} \cdot 3 x + 3^{3})$

Этап 3.1.3.2.2

Умножим $3^{2}$ на $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.2.2.1

Возведем $3$ в степень $1$ .

$(- 2 x + 2) (x^{3} + 9 x^{2} + 3^{2} \cdot 3^{1} x + 3^{3})$

Этап 3.1.3.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(- 2 x + 2) (x^{3} + 9 x^{2} + 3^{2 + 1} x + 3^{3})$

Этап 3.1.3.2.3

Добавим $2$ и $1$ .

$(- 2 x + 2) (x^{3} + 9 x^{2} + 3^{3} x + 3^{3})$

Этап 3.1.3.3

Возведем $3$ в степень $3$ .

$(- 2 x + 2) (x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 3^{3})$

Этап 3.1.3.4

Возведем $3$ в степень $3$ .

$(- 2 x + 2) (x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27)$

Этап 3.1.4

$- 2 x \cdot x^{3} - 2 x (9 x^{2}) - 2 x (27 x) - 2 x \cdot 27 + 2 x^{3} + 2 (9 x^{2}) + 2 (27 x) + 2 \cdot 27$

Этап 3.1.5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.5.1

Объединим противоположные члены в $- 2 x \cdot x^{3} - 2 x (9 x^{2}) - 2 x (27 x) - 2 x \cdot 27 + 2 x^{3} + 2 (9 x^{2}) + 2 (27 x) + 2 \cdot 27$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.5.1.1

Изменим порядок множителей в членах $- 2 x \cdot 27$ и $2 (27 x)$ .

$- 2 x \cdot x^{3} - 2 x (9 x^{2}) - 2 x (27 x) - 2 \cdot 27 x + 2 x^{3} + 2 (9 x^{2}) + 2 \cdot 27 x + 2 \cdot 27$

Этап 3.1.5.1.2

Добавим $- 2 \cdot 27 x$ и $2 \cdot 27 x$ .

$- 2 x \cdot x^{3} - 2 x (9 x^{2}) - 2 x (27 x) + 2 x^{3} + 2 (9 x^{2}) + 0 + 2 \cdot 27$

Этап 3.1.5.1.3

Добавим $- 2 x \cdot x^{3} - 2 x (9 x^{2}) - 2 x (27 x) + 2 x^{3} + 2 (9 x^{2})$ и $0$ .

$- 2 x \cdot x^{3} - 2 x (9 x^{2}) - 2 x (27 x) + 2 x^{3} + 2 (9 x^{2}) + 2 \cdot 27$

Этап 3.1.5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.5.2.1

Умножим $x$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.5.2.1.1

Перенесем $x^{3}$ .

$- 2 (x^{3} x) - 2 x (9 x^{2}) - 2 x (27 x) + 2 x^{3} + 2 (9 x^{2}) + 2 \cdot 27$

Этап 3.1.5.2.1.2

Умножим $x^{3}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.5.2.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 2 (x^{3} x^{1}) - 2 x (9 x^{2}) - 2 x (27 x) + 2 x^{3} + 2 (9 x^{2}) + 2 \cdot 27$

Этап 3.1.5.2.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 2 x^{3 + 1} - 2 x (9 x^{2}) - 2 x (27 x) + 2 x^{3} + 2 (9 x^{2}) + 2 \cdot 27$

Этап 3.1.5.2.1.3

Добавим $3$ и $1$ .

$- 2 x^{4} - 2 x (9 x^{2}) - 2 x (27 x) + 2 x^{3} + 2 (9 x^{2}) + 2 \cdot 27$

Этап 3.1.5.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 2 x^{4} - 2 \cdot 9 x \cdot x^{2} - 2 x (27 x) + 2 x^{3} + 2 (9 x^{2}) + 2 \cdot 27$

Этап 3.1.5.2.3

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.5.2.3.1

Перенесем $x^{2}$ .

$- 2 x^{4} - 2 \cdot 9 (x^{2} x) - 2 x (27 x) + 2 x^{3} + 2 (9 x^{2}) + 2 \cdot 27$

Этап 3.1.5.2.3.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.5.2.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 2 x^{4} - 2 \cdot 9 (x^{2} x^{1}) - 2 x (27 x) + 2 x^{3} + 2 (9 x^{2}) + 2 \cdot 27$

Этап 3.1.5.2.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 2 x^{4} - 2 \cdot 9 x^{2 + 1} - 2 x (27 x) + 2 x^{3} + 2 (9 x^{2}) + 2 \cdot 27$

Этап 3.1.5.2.3.3

Добавим $2$ и $1$ .

$- 2 x^{4} - 2 \cdot 9 x^{3} - 2 x (27 x) + 2 x^{3} + 2 (9 x^{2}) + 2 \cdot 27$

Этап 3.1.5.2.4

Умножим $- 2$ на $9$ .

$- 2 x^{4} - 18 x^{3} - 2 x (27 x) + 2 x^{3} + 2 (9 x^{2}) + 2 \cdot 27$

Этап 3.1.5.2.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 2 x^{4} - 18 x^{3} - 2 \cdot 27 x \cdot x + 2 x^{3} + 2 (9 x^{2}) + 2 \cdot 27$

Этап 3.1.5.2.6

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.5.2.6.1

Перенесем $x$ .

$- 2 x^{4} - 18 x^{3} - 2 \cdot 27 (x \cdot x) + 2 x^{3} + 2 (9 x^{2}) + 2 \cdot 27$

Этап 3.1.5.2.6.2

Умножим $x$ на $x$ .

$- 2 x^{4} - 18 x^{3} - 2 \cdot 27 x^{2} + 2 x^{3} + 2 (9 x^{2}) + 2 \cdot 27$

Этап 3.1.5.2.7

Умножим $- 2$ на $27$ .

$- 2 x^{4} - 18 x^{3} - 54 x^{2} + 2 x^{3} + 2 (9 x^{2}) + 2 \cdot 27$

Этап 3.1.5.2.8

Умножим $9$ на $2$ .

$- 2 x^{4} - 18 x^{3} - 54 x^{2} + 2 x^{3} + 18 x^{2} + 2 \cdot 27$

Этап 3.1.5.2.9

Умножим $2$ на $27$ .

$- 2 x^{4} - 18 x^{3} - 54 x^{2} + 2 x^{3} + 18 x^{2} + 54$

Этап 3.1.5.3

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.5.3.1

Добавим $- 18 x^{3}$ и $2 x^{3}$ .

$- 2 x^{4} - 16 x^{3} - 54 x^{2} + 18 x^{2} + 54$

Этап 3.1.5.3.2

Добавим $- 54 x^{2}$ и $18 x^{2}$ .

$- 2 x^{4} - 16 x^{3} - 36 x^{2} + 54$

Этап 3.2

Старший член многочлена — это член с наивысшим показателем степени.

$- 2 x^{4}$

Этап 3.3

Старший коэффициент многочлена — это коэффициент его старшего члена.

$- 2$

Этап 4

Поскольку старший коэффициент отрицателен, график снижается вправо.

Отрицательные

Этап 5

Используем степень и знак старшего коэффициента для определения поведения функции.

1. Четный и положительный: поднимается влево и поднимается вправо.

2. Четный и отрицательный: опускается влево и опускается вправо.

3. Нечетный и положительный: опускается влево и поднимается вправо.

4. Нечетный и отрицательный: поднимается влево и опускается вправо

Этап 6

Определим поведение.

Убывает влево и убывает вправо

Этап 7