Алгебра Примеры

$f (x) = x^{2} + 15 x - x^{5}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $x^{2} + 15 x - x^{5}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [15 x] + \frac{d}{d x} [- x^{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [15 x] + \frac{d}{d x} [- x^{5}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [15 x] + \frac{d}{d x} [- x^{5}]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [15 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $15$ является константой относительно $x$ , производная $15 x$ по $x$ равна $15 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 15 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{5}]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 x + 15 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{5}]$

Этап 1.2.3

Умножим $15$ на $1$ .

$2 x + 15 + \frac{d}{d x} [- x^{5}]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{5}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$2 x + 15 - \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$2 x + 15 - (5 x^{4})$

Этап 1.3.3

Умножим $5$ на $- 1$ .

$2 x + 15 - 5 x^{4}$

Этап 1.4

Изменим порядок членов.

$- 5 x^{4} + 2 x + 15$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- 5 x^{4} + 2 x + 15$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [15]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (15)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x^{4}$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = - 5 \frac{d}{d x} x^{4} + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (15)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$f'' (x) = - 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (15)$

Этап 2.2.3

Умножим $4$ на $- 5$ .

$f'' (x) = - 20 x^{3} + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (15)$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 20 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (15)$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - 20 x^{3} + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (15)$

Этап 2.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$f'' (x) = - 20 x^{3} + 2 + \frac{d}{d x} (15)$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $15$ является константой относительно $x$ , производная $15$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - 20 x^{3} + 2 + 0$

Этап 2.4.2

Добавим $- 20 x^{3} + 2$ и $0$ .

$f'' (x) = - 20 x^{3} + 2$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- 5 x^{4} + 2 x + 15 = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

По правилу суммы производная $x^{2} + 15 x - x^{5}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [15 x] + \frac{d}{d x} [- x^{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [15 x] + \frac{d}{d x} [- x^{5}]$

Этап 4.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [15 x] + \frac{d}{d x} [- x^{5}]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [15 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $15$ является константой относительно $x$ , производная $15 x$ по $x$ равна $15 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 15 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{5}]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 x + 15 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{5}]$

Этап 4.1.2.3

Умножим $15$ на $1$ .

$2 x + 15 + \frac{d}{d x} [- x^{5}]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{5}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$2 x + 15 - \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$2 x + 15 - (5 x^{4})$

Этап 4.1.3.3

Умножим $5$ на $- 1$ .

$2 x + 15 - 5 x^{4}$

Этап 4.1.4

Изменим порядок членов.

$f' (x) = - 5 x^{4} + 2 x + 15$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 5 x^{4} + 2 x + 15$ .

$- 5 x^{4} + 2 x + 15$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 5 x^{4} + 2 x + 15 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 5 x^{4} + 2 x + 15 = 0$

Этап 5.2

Построим график каждой части уравнения. Решение — абсцисса (координата x) точки пересечения.

$x \approx - \frac{8 \sqrt{2}}{9}, 1.3725465$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = - \frac{8 \sqrt{2}}{9}, 1.3725465$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = - \frac{8 \sqrt{2}}{9}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 20 {(- \frac{8 \sqrt{2}}{9})}^{3} + 2$

Этап 9

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{8 \sqrt{2}}{9}$ .

$- 20 ({(- 1)}^{3} {(\frac{8 \sqrt{2}}{9})}^{3}) + 2$

Этап 9.1.2

Применим правило умножения к $\frac{8 \sqrt{2}}{9}$ .

$- 20 ({(- 1)}^{3} \frac{{(8 \sqrt{2})}^{3}}{9^{3}}) + 2$

Этап 9.1.3

Применим правило умножения к $8 \sqrt{2}$ .

$- 20 ({(- 1)}^{3} \frac{8^{3} {\sqrt{2}}^{3}}{9^{3}}) + 2$

Этап 9.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$- 20 (- \frac{8^{3} {\sqrt{2}}^{3}}{9^{3}}) + 2$

Этап 9.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Возведем $8$ в степень $3$ .

$- 20 (- \frac{512 {\sqrt{2}}^{3}}{9^{3}}) + 2$

Этап 9.3.2

Перепишем ${\sqrt{2}}^{3}$ в виде $\sqrt{2^{3}}$ .

$- 20 (- \frac{512 \sqrt{2^{3}}}{9^{3}}) + 2$

Этап 9.3.3

Возведем $2$ в степень $3$ .

$- 20 (- \frac{512 \sqrt{8}}{9^{3}}) + 2$

Этап 9.3.4

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.4.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$- 20 (- \frac{512 \sqrt{4 (2)}}{9^{3}}) + 2$

Этап 9.3.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$- 20 (- \frac{512 \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{9^{3}}) + 2$

Этап 9.3.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$- 20 (- \frac{512 \cdot 2 \sqrt{2}}{9^{3}}) + 2$

Этап 9.3.6

Умножим $512$ на $2$ .

$- 20 (- \frac{1024 \sqrt{2}}{9^{3}}) + 2$

Этап 9.4

Возведем $9$ в степень $3$ .

$- 20 (- \frac{1024 \sqrt{2}}{729}) + 2$

Этап 9.5

Умножим $- 20 (- \frac{1024 \sqrt{2}}{729})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Умножим $- 1$ на $- 20$ .

$20 \frac{1024 \sqrt{2}}{729} + 2$

Этап 9.5.2

Объединим $20$ и $\frac{1024 \sqrt{2}}{729}$ .

$\frac{20 (1024 \sqrt{2})}{729} + 2$

Этап 9.5.3

Умножим $1024$ на $20$ .

$\frac{20480 \sqrt{2}}{729} + 2$

Этап 10

$x = - \frac{8 \sqrt{2}}{9}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = - \frac{8 \sqrt{2}}{9}$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = - \frac{8 \sqrt{2}}{9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{8 \sqrt{2}}{9}$ .

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = {(- \frac{8 \sqrt{2}}{9})}^{2} + 15 (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) - {(- \frac{8 \sqrt{2}}{9})}^{5}$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{8 \sqrt{2}}{9}$ .

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = {(- 1)}^{2} {(\frac{8 \sqrt{2}}{9})}^{2} + 15 (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) - {(- \frac{8 \sqrt{2}}{9})}^{5}$

Этап 11.2.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{8 \sqrt{2}}{9}$ .

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = {(- 1)}^{2} (\frac{{(8 \sqrt{2})}^{2}}{9^{2}}) + 15 (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) - {(- \frac{8 \sqrt{2}}{9})}^{5}$

Этап 11.2.1.1.3

Применим правило умножения к $8 \sqrt{2}$ .

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = {(- 1)}^{2} (\frac{8^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{9^{2}}) + 15 (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) - {(- \frac{8 \sqrt{2}}{9})}^{5}$

Этап 11.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = 1 (\frac{8^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{9^{2}}) + 15 (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) - {(- \frac{8 \sqrt{2}}{9})}^{5}$

Этап 11.2.1.3

Умножим $\frac{8^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{9^{2}}$ на $1$ .

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{8^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{9^{2}} + 15 (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) - {(- \frac{8 \sqrt{2}}{9})}^{5}$

Этап 11.2.1.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.4.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{64 {\sqrt{2}}^{2}}{9^{2}} + 15 (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) - {(- \frac{8 \sqrt{2}}{9})}^{5}$

Этап 11.2.1.4.2

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.4.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{64 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9^{2}} + 15 (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) - {(- \frac{8 \sqrt{2}}{9})}^{5}$

Этап 11.2.1.4.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{64 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9^{2}} + 15 (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) - {(- \frac{8 \sqrt{2}}{9})}^{5}$

Этап 11.2.1.4.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{64 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{9^{2}} + 15 (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) - {(- \frac{8 \sqrt{2}}{9})}^{5}$

Этап 11.2.1.4.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.4.2.4.1

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{64 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{9^{2}} + 15 (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) - {(- \frac{8 \sqrt{2}}{9})}^{5}$

Этап 11.2.1.4.2.4.2

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{64 \cdot 2}{9^{2}} + 15 (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) - {(- \frac{8 \sqrt{2}}{9})}^{5}$

Этап 11.2.1.4.2.5

Найдем экспоненту.

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{64 \cdot 2}{9^{2}} + 15 (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) - {(- \frac{8 \sqrt{2}}{9})}^{5}$

Этап 11.2.1.5

Возведем $9$ в степень $2$ .

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{64 \cdot 2}{81} + 15 (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) - {(- \frac{8 \sqrt{2}}{9})}^{5}$

Этап 11.2.1.6

Умножим $64$ на $2$ .

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{128}{81} + 15 (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) - {(- \frac{8 \sqrt{2}}{9})}^{5}$

Этап 11.2.1.7

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.7.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{8 \sqrt{2}}{9}$ в числитель.

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{128}{81} + 15 (\frac{- 8 \sqrt{2}}{9}) - {(- \frac{8 \sqrt{2}}{9})}^{5}$

Этап 11.2.1.7.2

Вынесем множитель $3$ из $15$ .

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{128}{81} + 3 (5) (\frac{- 8 \sqrt{2}}{9}) - {(- \frac{8 \sqrt{2}}{9})}^{5}$

Этап 11.2.1.7.3

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{128}{81} + 3 \cdot (5 (\frac{- 8 \sqrt{2}}{3 \cdot 3})) - {(- \frac{8 \sqrt{2}}{9})}^{5}$

Этап 11.2.1.7.4

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{128}{81} + 3 \cdot (5 (\frac{- 8 \sqrt{2}}{3 \cdot 3})) - {(- \frac{8 \sqrt{2}}{9})}^{5}$

Этап 11.2.1.7.5

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{128}{81} + 5 (\frac{- 8 \sqrt{2}}{3}) - {(- \frac{8 \sqrt{2}}{9})}^{5}$

Этап 11.2.1.8

Объединим $5$ и $\frac{- 8 \sqrt{2}}{3}$ .

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{128}{81} + \frac{5 (- 8 \sqrt{2})}{3} - {(- \frac{8 \sqrt{2}}{9})}^{5}$

Этап 11.2.1.9

Умножим $- 8$ на $5$ .

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{128}{81} + \frac{- 40 \sqrt{2}}{3} - {(- \frac{8 \sqrt{2}}{9})}^{5}$

Этап 11.2.1.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{128}{81} - \frac{40 \sqrt{2}}{3} - {(- \frac{8 \sqrt{2}}{9})}^{5}$

Этап 11.2.1.11

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.11.1

Применим правило умножения к $- \frac{8 \sqrt{2}}{9}$ .

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{128}{81} - \frac{40 \sqrt{2}}{3} - ({(- 1)}^{5} {(\frac{8 \sqrt{2}}{9})}^{5})$

Этап 11.2.1.11.2

Применим правило умножения к $\frac{8 \sqrt{2}}{9}$ .

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{128}{81} - \frac{40 \sqrt{2}}{3} - ({(- 1)}^{5} (\frac{{(8 \sqrt{2})}^{5}}{9^{5}}))$

Этап 11.2.1.11.3

Применим правило умножения к $8 \sqrt{2}$ .

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{128}{81} - \frac{40 \sqrt{2}}{3} - ({(- 1)}^{5} (\frac{8^{5} {\sqrt{2}}^{5}}{9^{5}}))$

Этап 11.2.1.12

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{5}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.12.1

Перенесем ${(- 1)}^{5}$ .

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{128}{81} - \frac{40 \sqrt{2}}{3} + {(- 1)}^{5} \cdot (- 1 \frac{8^{5} {\sqrt{2}}^{5}}{9^{5}})$

Этап 11.2.1.12.2

Умножим ${(- 1)}^{5}$ на $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.12.2.1

Возведем $- 1$ в степень $1$ .

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{128}{81} - \frac{40 \sqrt{2}}{3} + {(- 1)}^{5} \cdot ((- 1) (\frac{8^{5} {\sqrt{2}}^{5}}{9^{5}}))$

Этап 11.2.1.12.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{128}{81} - \frac{40 \sqrt{2}}{3} + {(- 1)}^{5 + 1} (\frac{8^{5} {\sqrt{2}}^{5}}{9^{5}})$

Этап 11.2.1.12.3

Добавим $5$ и $1$ .

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{128}{81} - \frac{40 \sqrt{2}}{3} + {(- 1)}^{6} (\frac{8^{5} {\sqrt{2}}^{5}}{9^{5}})$

Этап 11.2.1.13

Возведем $- 1$ в степень $6$ .

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{128}{81} - \frac{40 \sqrt{2}}{3} + 1 (\frac{8^{5} {\sqrt{2}}^{5}}{9^{5}})$

Этап 11.2.1.14

Умножим $\frac{8^{5} {\sqrt{2}}^{5}}{9^{5}}$ на $1$ .

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{128}{81} - \frac{40 \sqrt{2}}{3} + \frac{8^{5} {\sqrt{2}}^{5}}{9^{5}}$

Этап 11.2.1.15

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.15.1

Возведем $8$ в степень $5$ .

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{128}{81} - \frac{40 \sqrt{2}}{3} + \frac{32768 {\sqrt{2}}^{5}}{9^{5}}$

Этап 11.2.1.15.2

Перепишем ${\sqrt{2}}^{5}$ в виде $\sqrt{2^{5}}$ .

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{128}{81} - \frac{40 \sqrt{2}}{3} + \frac{32768 \sqrt{2^{5}}}{9^{5}}$

Этап 11.2.1.15.3

Возведем $2$ в степень $5$ .

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{128}{81} - \frac{40 \sqrt{2}}{3} + \frac{32768 \sqrt{32}}{9^{5}}$

Этап 11.2.1.15.4

Перепишем $32$ в виде $4^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.15.4.1

Вынесем множитель $16$ из $32$ .

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{128}{81} - \frac{40 \sqrt{2}}{3} + \frac{32768 \sqrt{16 (2)}}{9^{5}}$

Этап 11.2.1.15.4.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{128}{81} - \frac{40 \sqrt{2}}{3} + \frac{32768 \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{9^{5}}$

Этап 11.2.1.15.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{128}{81} - \frac{40 \sqrt{2}}{3} + \frac{32768 \cdot (4 \sqrt{2})}{9^{5}}$

Этап 11.2.1.15.6

Умножим $32768$ на $4$ .

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{128}{81} - \frac{40 \sqrt{2}}{3} + \frac{131072 \sqrt{2}}{9^{5}}$

Этап 11.2.1.16

Возведем $9$ в степень $5$ .

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{128}{81} - \frac{40 \sqrt{2}}{3} + \frac{131072 \sqrt{2}}{59049}$

Этап 11.2.2

Чтобы записать $- \frac{40 \sqrt{2}}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{19683}{19683}$ .

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{128}{81} - \frac{40 \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{19683}{19683} + \frac{131072 \sqrt{2}}{59049}$

Этап 11.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $59049$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.1

Умножим $\frac{40 \sqrt{2}}{3}$ на $\frac{19683}{19683}$ .

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{128}{81} - \frac{40 \sqrt{2} \cdot 19683}{3 \cdot 19683} + \frac{131072 \sqrt{2}}{59049}$

Этап 11.2.3.2

Умножим $3$ на $19683$ .

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{128}{81} - \frac{40 \sqrt{2} \cdot 19683}{59049} + \frac{131072 \sqrt{2}}{59049}$

Этап 11.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{128}{81} + \frac{- 40 \sqrt{2} \cdot 19683 + 131072 \sqrt{2}}{59049}$

Этап 11.2.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.5.1.1

Умножим $19683$ на $- 40$ .

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{128}{81} + \frac{- 787320 \sqrt{2} + 131072 \sqrt{2}}{59049}$

Этап 11.2.5.1.2

Добавим $- 787320 \sqrt{2}$ и $131072 \sqrt{2}$ .

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{128}{81} + \frac{- 656248 \sqrt{2}}{59049}$

Этап 11.2.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{128}{81} - \frac{656248 \sqrt{2}}{59049}$

Этап 11.2.6

Окончательный ответ: $\frac{128}{81} - \frac{656248 \sqrt{2}}{59049}$ .

$y = \frac{128}{81} - \frac{656248 \sqrt{2}}{59049}$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = 1.3725465$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 20 {(1.3725465)}^{3} + 2$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Возведем $1.3725465$ в степень $3$ .

$- 20 \cdot 2.58571828 + 2$

Этап 13.1.2

Умножим $- 20$ на $2.58571828$ .

$- 51.71436573 + 2$

Этап 13.2

Добавим $- 51.71436573$ и $2$ .

$- 49.71436573$

Этап 14

$x = 1.3725465$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = 1.3725465$ — локальный максимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = 1.3725465$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1.3725465$ .

$f (1.3725465) = {(1.3725465)}^{2} + 15 (1.3725465) - {(1.3725465)}^{5}$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1

Возведем $1.3725465$ в степень $2$ .

$f (1.3725465) = 1.88388391 + 15 (1.3725465) - {(1.3725465)}^{5}$

Этап 15.2.1.2

Умножим $15$ на $1.3725465$ .

$f (1.3725465) = 1.88388391 + 20.5881976 - {(1.3725465)}^{5}$

Этап 15.2.1.3

Возведем $1.3725465$ в степень $5$ .

$f (1.3725465) = 1.88388391 + 20.5881976 - 1 \cdot 4.87119308$

Этап 15.2.1.4

Умножим $- 1$ на $4.87119308$ .

$f (1.3725465) = 1.88388391 + 20.5881976 - 4.87119308$

Этап 15.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.1

Добавим $1.88388391$ и $20.5881976$ .

$f (1.3725465) = 22.47208152 - 4.87119308$

Этап 15.2.2.2

Вычтем $4.87119308$ из $22.47208152$ .

$f (1.3725465) = 17.60088843$

Этап 15.2.3

Окончательный ответ: $17.60088843$ .

$y = 17.60088843$

Этап 16

Это локальные экстремумы $f (x) = x^{2} + 15 x - x^{5}$ .

$(- \frac{8 \sqrt{2}}{9}, \frac{128}{81} - \frac{656248 \sqrt{2}}{59049})$ — локальный минимум

$(1.3725465, 17.60088843)$ — локальный максимум

Этап 17