Алгебра Примеры

$f (x) = 4 x^{2} + 6 x - 7$

Этап 1

Квадратичная функция достигает минимума в $x = - \frac{b}{2 a}$ . Если $a$ принимает положительные значения, то минимальным значением функции будет $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{минимум}$ $x = a x^{2} + b x + c$ входит в $x = - \frac{b}{2 a}$

Этап 2

Найдем значение $x = - \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подставим в значения $a$ и $b$ .

$x = - \frac{6}{2 (4)}$

Этап 2.2

Избавимся от скобок.

$x = - \frac{6}{2 (4)}$

Этап 2.3

Сократим общий множитель $6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$x = - \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 4}$

Этап 2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 4$ .

$x = - \frac{2 \cdot 3}{2 (4)}$

Этап 2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$x = - \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 4}$

Этап 2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$x = - \frac{3}{4}$

Этап 3

Найдем значение $f (- \frac{3}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{3}{4}$ .

$f (- \frac{3}{4}) = 4 {(- \frac{3}{4})}^{2} + 6 (- \frac{3}{4}) - 7$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{3}{4}$ .

$f (- \frac{3}{4}) = 4 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{4})}^{2}) + 6 (- \frac{3}{4}) - 7$

Этап 3.2.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{3}{4}$ .

$f (- \frac{3}{4}) = 4 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{4^{2}})) + 6 (- \frac{3}{4}) - 7$

Этап 3.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- \frac{3}{4}) = 4 (1 (\frac{3^{2}}{4^{2}})) + 6 (- \frac{3}{4}) - 7$

Этап 3.2.1.3

Умножим $\frac{3^{2}}{4^{2}}$ на $1$ .

$f (- \frac{3}{4}) = 4 (\frac{3^{2}}{4^{2}}) + 6 (- \frac{3}{4}) - 7$

Этап 3.2.1.4

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (- \frac{3}{4}) = 4 (\frac{9}{4^{2}}) + 6 (- \frac{3}{4}) - 7$

Этап 3.2.1.5

Возведем $4$ в степень $2$ .

$f (- \frac{3}{4}) = 4 (\frac{9}{16}) + 6 (- \frac{3}{4}) - 7$

Этап 3.2.1.6

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.6.1

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$f (- \frac{3}{4}) = 4 (\frac{9}{4 (4)}) + 6 (- \frac{3}{4}) - 7$

Этап 3.2.1.6.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{3}{4}) = 4 (\frac{9}{4 \cdot 4}) + 6 (- \frac{3}{4}) - 7$

Этап 3.2.1.6.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{4} + 6 (- \frac{3}{4}) - 7$

Этап 3.2.1.7

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.7.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{3}{4}$ в числитель.

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{4} + 6 (\frac{- 3}{4}) - 7$

Этап 3.2.1.7.2

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{4} + 2 (3) (\frac{- 3}{4}) - 7$

Этап 3.2.1.7.3

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{4} + 2 \cdot (3 (\frac{- 3}{2 \cdot 2})) - 7$

Этап 3.2.1.7.4

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{4} + 2 \cdot (3 (\frac{- 3}{2 \cdot 2})) - 7$

Этап 3.2.1.7.5

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{4} + 3 (\frac{- 3}{2}) - 7$

Этап 3.2.1.8

Объединим $3$ и $\frac{- 3}{2}$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{4} + \frac{3 \cdot - 3}{2} - 7$

Этап 3.2.1.9

Умножим $3$ на $- 3$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{4} + \frac{- 9}{2} - 7$

Этап 3.2.1.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} - 7$

Этап 3.2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Умножим $\frac{9}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{4} - (\frac{9}{2} \cdot \frac{2}{2}) - 7$

Этап 3.2.2.2

Умножим $\frac{9}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2} - 7$

Этап 3.2.2.3

Запишем $- 7$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 7}{1}$

Этап 3.2.2.4

Умножим $\frac{- 7}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 7}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Этап 3.2.2.5

Умножим $\frac{- 7}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 7 \cdot 4}{4}$

Этап 3.2.2.6

Умножим $2$ на $2$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{4} + \frac{- 7 \cdot 4}{4}$

Этап 3.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9 - 9 \cdot 2 - 7 \cdot 4}{4}$

Этап 3.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Умножим $- 9$ на $2$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9 - 18 - 7 \cdot 4}{4}$

Этап 3.2.4.2

Умножим $- 7$ на $4$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9 - 18 - 28}{4}$

Этап 3.2.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Вычтем $18$ из $9$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{- 9 - 28}{4}$

Этап 3.2.5.2

Вычтем $28$ из $- 9$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{- 37}{4}$

Этап 3.2.5.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{3}{4}) = - \frac{37}{4}$

Этап 3.2.6

Окончательный ответ: $- \frac{37}{4}$ .

$- \frac{37}{4}$

Этап 4

Используем значения $x$ и $y$ , чтобы найти, где достигается минимум.

$(- \frac{3}{4}, - \frac{37}{4})$

Этап 5