Алгебра Примеры

$f (x) = \frac{1}{2} {(x + 5)}^{2} - 9$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${(x + 5)}^{2}$ в виде $(x + 5) (x + 5)$ .

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot ((x + 5) (x + 5)) - 9$

Этап 1.2

Развернем $(x + 5) (x + 5)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot (x (x + 5) + 5 (x + 5)) - 9$

Этап 1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 (x + 5)) - 9$

Этап 1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5) - 9$

Этап 1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5) - 9$

Этап 1.3.1.2

Перенесем $5$ влево от $x$ .

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + 5 \cdot x + 5 x + 5 \cdot 5) - 9$

Этап 1.3.1.3

Умножим $5$ на $5$ .

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + 5 x + 5 x + 25) - 9$

Этап 1.3.2

Добавим $5 x$ и $5 x$ .

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + 10 x + 25) - 9$

Этап 1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \cdot (10 x) + \frac{1}{2} \cdot 25 - 9$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot (10 x) + \frac{1}{2} \cdot 25 - 9$

Этап 1.5.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $10 x$ .

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 (5 x)) + \frac{1}{2} \cdot 25 - 9$

Этап 1.5.2.2

Сократим общий множитель.

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 (5 x)) + \frac{1}{2} \cdot 25 - 9$

Этап 1.5.2.3

Перепишем это выражение.

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} + 5 x + \frac{1}{2} \cdot 25 - 9$

Этап 1.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $25$ .

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} + 5 x + \frac{25}{2} - 9$

Этап 2

Чтобы записать $- 9$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} + 5 x + \frac{25}{2} - 9 \cdot \frac{2}{2}$

Этап 3

Объединим $- 9$ и $\frac{2}{2}$ .

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} + 5 x + \frac{25}{2} + \frac{- 9 \cdot 2}{2}$

Этап 4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} + 5 x + \frac{25 - 9 \cdot 2}{2}$

Этап 5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $- 9$ на $2$ .

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} + 5 x + \frac{25 - 18}{2}$

Этап 5.2

Вычтем $18$ из $25$ .

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} + 5 x + \frac{7}{2}$

Этап 6

Квадратичная функция достигает минимума в $x = - \frac{b}{2 a}$ . Если $a$ принимает положительные значения, то минимальным значением функции будет $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{минимум}$ $x = a x^{2} + b x + c$ входит в $x = - \frac{b}{2 a}$

Этап 7

Найдем значение $x = - \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Подставим в значения $a$ и $b$ .

$x = - \frac{5}{2 (0.5)}$

Этап 7.2

Избавимся от скобок.

$x = - \frac{5}{2 (0.5)}$

Этап 7.3

Упростим $- \frac{5}{2 (0.5)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Умножим $2$ на $0.5$ .

$x = - \frac{5}{1}$

Этап 7.3.2

Разделим $5$ на $1$ .

$x = - 1 \cdot 5$

Этап 7.3.3

Умножим $- 1$ на $5$ .

$x = - 5$

Этап 8

Найдем значение $f (- 5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 5$ .

$f (- 5) = \frac{{(- 5)}^{2}}{2} + 5 (- 5) + \frac{7}{2}$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- 5) = 5 (- 5) + \frac{{(- 5)}^{2} + 7}{2}$

Этап 8.2.1.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.2.1

Возведем $- 5$ в степень $2$ .

$f (- 5) = 5 (- 5) + \frac{25 + 7}{2}$

Этап 8.2.1.2.2

Добавим $25$ и $7$ .

$f (- 5) = 5 (- 5) + \frac{32}{2}$

Этап 8.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Умножим $5$ на $- 5$ .

$f (- 5) = - 25 + \frac{32}{2}$

Этап 8.2.2.2

Разделим $32$ на $2$ .

$f (- 5) = - 25 + 16$

Этап 8.2.3

Добавим $- 25$ и $16$ .

$f (- 5) = - 9$

Этап 8.2.4

Окончательный ответ: $- 9$ .

$- 9$

Этап 9

Используем значения $x$ и $y$ , чтобы найти, где достигается минимум.

$(- 5, - 9)$

Этап 10