Алгебра Примеры

$\frac{k}{x^{n}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $k$ является константой относительно $n$ , производная $\frac{k}{x^{n}}$ по $n$ равна $k \frac{d}{d n} [\frac{1}{x^{n}}]$ .

$k \frac{d}{d n} [\frac{1}{x^{n}}]$

Этап 1.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем $\frac{1}{x^{n}}$ в виде ${(x^{n})}^{- 1}$ .

$k \frac{d}{d n} [{(x^{n})}^{- 1}]$

Этап 1.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{n})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k \frac{d}{d n} [x^{n \cdot - 1}]$

Этап 1.2.2.2

Перенесем $- 1$ влево от $n$ .

$k \frac{d}{d n} [x^{- 1 \cdot n}]$

Этап 1.2.2.3

Перепишем $- 1 n$ в виде $- n$ .

$k \frac{d}{d n} [x^{- n}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя обобщенное правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d n} [f^{g}]$ имеет вид $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ , где $f = x$ и $g = - n$ .

$k (\frac{d}{d n} [x] (- n x^{- n - 1}) + \frac{d}{d n} [- n] (x^{- n} \ln (x)))$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $x$ является константой относительно $n$ , производная $x$ относительно $n$ равна $0$ .

$k (0 (- n x^{- n - 1}) + \frac{d}{d n} [- n] (x^{- n} \ln (x)))$

Этап 3.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$k (0 (n x^{- n - 1}) + \frac{d}{d n} [- n] (x^{- n} \ln (x)))$

Этап 3.2.2

Умножим $n$ на $0$ .

$k (0 x^{- n - 1} + \frac{d}{d n} [- n] (x^{- n} \ln (x)))$

Этап 3.2.3

Умножим $0$ на $x^{- n - 1}$ .

$k (0 + \frac{d}{d n} [- n] (x^{- n} \ln (x)))$

Этап 3.2.4

Добавим $0$ и $\frac{d}{d n} [- n] (x^{- n} \ln (x))$ .

$k (\frac{d}{d n} [- n] (x^{- n} \ln (x)))$

Этап 3.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $n$ , производная $- n$ по $n$ равна $- \frac{d}{d n} [n]$ .

$k (- \frac{d}{d n} [n]) (x^{- n} \ln (x))$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ имеет вид $n \cdot n^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$k (- 1 \cdot 1) (x^{- n} \ln (x))$

Этап 3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$k \cdot - 1 (x^{- n} \ln (x))$

Этап 3.5.2

Перенесем $- 1$ влево от $k$ .

$- 1 \cdot k (x^{- n} \ln (x))$

Этап 3.5.3

Перепишем $- 1 k$ в виде $- k$ .

$- k (x^{- n} \ln (x))$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Изменим порядок множителей в $- k x^{- n} \ln (x)$ .

$- x^{- n} k \ln (x)$

Этап 4.2

Изменим порядок множителей в $- x^{- n} k \ln (x)$ .

$- k x^{- n} \ln (x)$