Алгебра Примеры

$f (x) = 2 x^{3} + x^{2} - 4 x - 2$

Этап 1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 2$

Этап 2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 2$

Этап 3

Подставим возможные корни поочередно в многочлен, чтобы найти фактические корни. Упростим и убедимся, что это значение равно $0$ , значит, это корень.

$2 {(- \frac{1}{2})}^{3} + {(- \frac{1}{2})}^{2} - 4 (- \frac{1}{2}) - 2$

Этап 4

Упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $x = - \frac{1}{2}$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{2}$ .

$2 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3}) + {(- \frac{1}{2})}^{2} - 4 (- \frac{1}{2}) - 2$

Этап 4.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$2 ({(- 1)}^{3} \frac{1^{3}}{2^{3}}) + {(- \frac{1}{2})}^{2} - 4 (- \frac{1}{2}) - 2$

Этап 4.1.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$2 (- \frac{1^{3}}{2^{3}}) + {(- \frac{1}{2})}^{2} - 4 (- \frac{1}{2}) - 2$

Этап 4.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$2 (- \frac{1}{2^{3}}) + {(- \frac{1}{2})}^{2} - 4 (- \frac{1}{2}) - 2$

Этап 4.1.4

Возведем $2$ в степень $3$ .

$2 (- \frac{1}{8}) + {(- \frac{1}{2})}^{2} - 4 (- \frac{1}{2}) - 2$

Этап 4.1.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{8}$ в числитель.

$2 (\frac{- 1}{8}) + {(- \frac{1}{2})}^{2} - 4 (- \frac{1}{2}) - 2$

Этап 4.1.5.2

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$2 \frac{- 1}{2 (4)} + {(- \frac{1}{2})}^{2} - 4 (- \frac{1}{2}) - 2$

Этап 4.1.5.3

Сократим общий множитель.

$2 \frac{- 1}{2 \cdot 4} + {(- \frac{1}{2})}^{2} - 4 (- \frac{1}{2}) - 2$

Этап 4.1.5.4

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{4} + {(- \frac{1}{2})}^{2} - 4 (- \frac{1}{2}) - 2$

Этап 4.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{4} + {(- \frac{1}{2})}^{2} - 4 (- \frac{1}{2}) - 2$

Этап 4.1.7

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{4} + {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2} - 4 (- \frac{1}{2}) - 2$

Этап 4.1.7.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{4} + {(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}} - 4 (- \frac{1}{2}) - 2$

Этап 4.1.8

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$- \frac{1}{4} + 1 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 4 (- \frac{1}{2}) - 2$

Этап 4.1.9

Умножим $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ на $1$ .

$- \frac{1}{4} + \frac{1^{2}}{2^{2}} - 4 (- \frac{1}{2}) - 2$

Этап 4.1.10

Единица в любой степени равна единице.

$- \frac{1}{4} + \frac{1}{2^{2}} - 4 (- \frac{1}{2}) - 2$

Этап 4.1.11

Возведем $2$ в степень $2$ .

$- \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - 4 (- \frac{1}{2}) - 2$

Этап 4.1.12

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.12.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2}$ в числитель.

$- \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - 4 (\frac{- 1}{2}) - 2$

Этап 4.1.12.2

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$- \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + 2 (- 2) \frac{- 1}{2} - 2$

Этап 4.1.12.3

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + 2 \cdot - 2 \frac{- 1}{2} - 2$

Этап 4.1.12.4

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - 2 \cdot - 1 - 2$

Этап 4.1.13

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$- \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + 2 - 2$

Этап 4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 - 2 + \frac{- 1 + 1}{4}$

Этап 4.2.2

Добавим $- 1$ и $1$ .

$2 - 2 + \frac{0}{4}$

Этап 4.3

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Запишем $2$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{2}{1} - 2 + \frac{0}{4}$

Этап 4.3.2

Умножим $\frac{2}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2}{1} \cdot \frac{4}{4} - 2 + \frac{0}{4}$

Этап 4.3.3

Умножим $\frac{2}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2 \cdot 4}{4} - 2 + \frac{0}{4}$

Этап 4.3.4

Запишем $- 2$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{2 \cdot 4}{4} + \frac{- 2}{1} + \frac{0}{4}$

Этап 4.3.5

Умножим $\frac{- 2}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2 \cdot 4}{4} + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{0}{4}$

Этап 4.3.6

Умножим $\frac{- 2}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2 \cdot 4}{4} + \frac{- 2 \cdot 4}{4} + \frac{0}{4}$

Этап 4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 \cdot 4 - 2 \cdot 4}{4}$

Этап 4.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{8 - 2 \cdot 4}{4}$

Этап 4.5.2

Умножим $- 2$ на $4$ .

$\frac{8 - 8}{4}$

Этап 4.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Вычтем $8$ из $8$ .

$\frac{0}{4}$

Этап 4.6.2

Разделим $0$ на $4$ .

$0$

Этап 5

Поскольку $- \frac{1}{2}$ — известный корень, разделим многочлен на $x + \frac{1}{2}$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{2 x^{3} + x^{2} - 4 x - 2}{x + \frac{1}{2}}$

Этап 6

Затем найдем корни оставшегося многочлена. Порядок многочлена был уменьшен на $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$- \frac{1}{2}$	$2$	$1$	$- 4$	$- 2$

Этап 6.2

Первое число в делимом $(2)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$- \frac{1}{2}$	$2$	$1$	$- 4$	$- 2$

	$2$

Этап 6.3

Умножим последний элемент в области результата $(2)$ на делитель $(- \frac{1}{2})$ и запишем их произведение $(- 1)$ под следующим членом делимого $(1)$ .

$- \frac{1}{2}$	$2$	$1$	$- 4$	$- 2$
		$- 1$
	$2$

Этап 6.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- \frac{1}{2}$	$2$	$1$	$- 4$	$- 2$
		$- 1$
	$2$	$0$

Этап 6.5

Умножим последний элемент в области результата $(0)$ на делитель $(- \frac{1}{2})$ и запишем их произведение $(0)$ под следующим членом делимого $(- 4)$ .

$- \frac{1}{2}$	$2$	$1$	$- 4$	$- 2$
		$- 1$	$0$
	$2$	$0$

Этап 6.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- \frac{1}{2}$	$2$	$1$	$- 4$	$- 2$
		$- 1$	$0$
	$2$	$0$	$- 4$

Этап 6.7

Умножим последний элемент в области результата $(- 4)$ на делитель $(- \frac{1}{2})$ и запишем их произведение $(2)$ под следующим членом делимого $(- 2)$ .

$- \frac{1}{2}$	$2$	$1$	$- 4$	$- 2$
		$- 1$	$0$	$2$
	$2$	$0$	$- 4$

Этап 6.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- \frac{1}{2}$	$2$	$1$	$- 4$	$- 2$
		$- 1$	$0$	$2$
	$2$	$0$	$- 4$	$0$

Этап 6.9

Все числа, кроме последнего, становятся коэффициентами фактор-многочлена. Последнее значение в строке результатов — это остаток.

$2 x^{2} + 0 x - 4$

Этап 6.10

Упростим частное многочленов.

$2 x^{2} - 4$

Этап 7

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2} - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2}$ .

$(x + \frac{1}{2}) (2 (x^{2}) - 4)$

Этап 7.2

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$(x + \frac{1}{2}) (2 x^{2} + 2 \cdot - 2)$

Этап 7.3

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2} + 2 \cdot - 2$ .

$(x + \frac{1}{2}) (2 (x^{2} - 2))$

Этап 8

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(2 x^{3} + x^{2}) - 4 x - 2 = 0$

Этап 8.1.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x^{2} (2 x + 1) - 2 (2 x + 1) = 0$

Этап 8.2

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x + 1$ .

$(2 x + 1) (x^{2} - 2) = 0$

Этап 9

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$x^{2} - 2 = 0$

Этап 10

Приравняем $2 x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Приравняем $2 x + 1$ к $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Этап 10.2

Решим $2 x + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - 1$

Этап 10.2.2

Разделим каждый член $2 x = - 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = - 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 10.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 10.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Этап 10.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{2}$

Этап 11

Приравняем $x^{2} - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Приравняем $x^{2} - 2$ к $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

Этап 11.2

Решим $x^{2} - 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 2$

Этап 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2}$

Этап 11.2.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{2}$

Этап 11.2.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{2}$

Этап 11.2.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Этап 12

Окончательным решением являются все значения, при которых $(2 x + 1) (x^{2} - 2) = 0$ верно.

$x = - \frac{1}{2}, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Этап 13

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = - \frac{1}{2}, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Десятичная форма:

$x = - 0.5, 1.41421356 \dots, - 1.41421356 \dots$

Этап 14