Алгебра Примеры

$f (x) = \frac{2 x^{2} + 3 x - 5}{2 x^{2} - 5 x}$

Этап 1

Определим, является ли функция нечетной, четной или ни той, ни другой, чтобы найти симметрию.

1. Нечетная функция симметрична относительно начала координат.

2. Четная функция симметрична относительно оси y.

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 5 = - 10$ , а сумма — $b = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x$ .

$f (x) = \frac{2 x^{2} + 3 (x) - 5}{2 x^{2} - 5 x}$

Этап 2.1.1.2

Запишем $3$ как $- 2$ плюс $5$

$f (x) = \frac{2 x^{2} + (- 2 + 5) x - 5}{2 x^{2} - 5 x}$

Этап 2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x) = \frac{2 x^{2} - 2 x + 5 x - 5}{2 x^{2} - 5 x}$

Этап 2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$f (x) = \frac{(2 x^{2} - 2 x) + 5 x - 5}{2 x^{2} - 5 x}$

Этап 2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$f (x) = \frac{2 x (x - 1) + 5 (x - 1)}{2 x^{2} - 5 x}$

Этап 2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $x - 1$ .

$f (x) = \frac{(x - 1) (2 x + 5)}{2 x^{2} - 5 x}$

Этап 2.2

Вынесем множитель $x$ из $2 x^{2} - 5 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x^{2}$ .

$f (x) = \frac{(x - 1) (2 x + 5)}{x (2 x) - 5 x}$

Этап 2.2.2

Вынесем множитель $x$ из $- 5 x$ .

$f (x) = \frac{(x - 1) (2 x + 5)}{x (2 x) + x \cdot - 5}$

Этап 2.2.3

Вынесем множитель $x$ из $x (2 x) + x \cdot - 5$ .

$f (x) = \frac{(x - 1) (2 x + 5)}{x (2 x - 5)}$

Этап 3

Найдем $f (- x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем $f (- x)$ , подставив $- x$ для всех вхождений $x$ в $f (x)$ .

$f (- x) = \frac{((- x) - 1) (2 (- x) + 5)}{(- x) (2 (- x) - 5)}$

Этап 3.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f (- x) = \frac{(- x - 1) (- 2 x + 5)}{- x (2 (- x) - 5)}$

Этап 3.2.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f (- x) = \frac{(- x - 1) (- 2 x + 5)}{- x (- 2 x - 5)}$

Этап 3.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- x) = - \frac{(- x - 1) (- 2 x + 5)}{x (- 2 x - 5)}$

Этап 3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$f (- x) = - \frac{(- (x) - 1) (- 2 x + 5)}{x (- 2 x - 5)}$

Этап 3.4

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$f (- x) = - \frac{(- (x) - 1 \cdot 1) (- 2 x + 5)}{x (- 2 x - 5)}$

Этап 3.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (1)$ .

$f (- x) = - \frac{- (x + 1) (- 2 x + 5)}{x (- 2 x - 5)}$

Этап 3.6

Перепишем $- (x + 1)$ в виде $- 1 (x + 1)$ .

$f (- x) = - \frac{- 1 (x + 1) (- 2 x + 5)}{x (- 2 x - 5)}$

Этап 3.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 x$ .

$f (- x) = - \frac{- 1 (x + 1) (- (2 x) + 5)}{x (- 2 x - 5)}$

Этап 3.8

Перепишем $5$ в виде $- 1 (- 5)$ .

$f (- x) = - \frac{- 1 (x + 1) (- (2 x) - 1 \cdot - 5)}{x (- 2 x - 5)}$

Этап 3.9

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 x) - 1 (- 5)$ .

$f (- x) = - \frac{- 1 (x + 1) (- (2 x - 5))}{x (- 2 x - 5)}$

Этап 3.10

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Перепишем $- (2 x - 5)$ в виде $- 1 (2 x - 5)$ .

$f (- x) = - \frac{- 1 (x + 1) (- 1 (2 x - 5))}{x (- 2 x - 5)}$

Этап 3.10.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (- x) = - \frac{1 (x + 1) (2 x - 5)}{x (- 2 x - 5)}$

Этап 3.10.3

Умножим $x + 1$ на $1$ .

$f (- x) = - \frac{(x + 1) (2 x - 5)}{x (- 2 x - 5)}$

Этап 3.11

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 x$ .

$f (- x) = - \frac{(x + 1) (2 x - 5)}{x (- (2 x) - 5)}$

Этап 3.12

Перепишем $- 5$ в виде $- 1 (5)$ .

$f (- x) = - \frac{(x + 1) (2 x - 5)}{x (- (2 x) - 1 \cdot 5)}$

Этап 3.13

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 x) - 1 (5)$ .

$f (- x) = - \frac{(x + 1) (2 x - 5)}{x (- (2 x + 5))}$

Этап 3.14

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.14.1

Перепишем $- (2 x + 5)$ в виде $- 1 (2 x + 5)$ .

$f (- x) = - \frac{(x + 1) (2 x - 5)}{x (- 1 (2 x + 5))}$

Этап 3.14.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- x) = \frac{(x + 1) (2 x - 5)}{x (2 x + 5)}$

Этап 3.14.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (- x) = 1 (\frac{(x + 1) (2 x - 5)}{x (2 x + 5)})$

Этап 3.14.4

Умножим $\frac{(x + 1) (2 x - 5)}{x (2 x + 5)}$ на $1$ .

$f (- x) = \frac{(x + 1) (2 x - 5)}{x (2 x + 5)}$

Этап 4

Функция является четной, если $f (- x) = f (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Проверим, верно ли $f (- x) = f (x)$ .

Этап 4.2

Так как $\frac{(x + 1) (2 x - 5)}{x (2 x + 5)}$ $\neq$ $\frac{(x - 1) (2 x + 5)}{x (2 x - 5)}$ , эта функция не является четной.

Функция является четной

Этап 5

Функция является нечетной, если $f (- x) = - f (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $- 1$ на $\frac{(x - 1) (2 x + 5)}{x (2 x - 5)}$ .

$- f (x) = - \frac{(x - 1) (2 x + 5)}{x (2 x - 5)}$

Этап 5.2

Так как $\frac{(x + 1) (2 x - 5)}{x (2 x + 5)}$ $\neq$ $- \frac{(x - 1) (2 x + 5)}{x (2 x - 5)}$ , эта функция не является нечетной.

Функция является нечетной

Этап 6

Функция не является ни четной, ни нечетной

Этап 7

Поскольку данная функция не является нечетной, она не симметрична относительно начала координат.

Нет симметрии относительно начала координат

Этап 8

Поскольку данная функция не является четной, она не симметрична относительно оси Y.

Нет симметрии относительно оси y

Этап 9

Поскольку данная функция не является ни четной, ни нечетной, она не симметрична ни относительно начала координат, ни относительно оси Y.

Функция не симметрична

Этап 10