Алгебра Примеры

$\frac{2 x^{3} + 28000}{x}$

Этап 1

Запишем $\frac{2 x^{3} + 28000}{x}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{2 x^{3} + 28000}{x}$

Этап 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 2 x^{3} + 28000$ и $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 28000] - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $2 x^{3} + 28000$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [28000]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [28000]) - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 2.2.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{3}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{x (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [28000]) - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 2.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{x (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [28000]) - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 2.2.4

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{x (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [28000]) - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 2.2.5

Поскольку $28000$ является константой относительно $x$ , производная $28000$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x (6 x^{2} + 0) - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 2.2.6

Добавим $6 x^{2}$ и $0$ .

$\frac{x (6 x^{2}) - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 2.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{6 (x^{1} x^{2}) - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{6 x^{1 + 2} - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 2.5

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{6 x^{3} - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{6 x^{3} - (2 x^{3} + 28000) \cdot 1}{x^{2}}$

Этап 2.7

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{6 x^{3} - (2 x^{3} + 28000)}{x^{2}}$

Этап 2.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{6 x^{3} - (2 x^{3}) - 1 \cdot 28000}{x^{2}}$

Этап 2.8.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{6 x^{3} - 2 x^{3} - 1 \cdot 28000}{x^{2}}$

Этап 2.8.2.1.2

Умножим $- 1$ на $28000$ .

$\frac{6 x^{3} - 2 x^{3} - 28000}{x^{2}}$

Этап 2.8.2.2

Вычтем $2 x^{3}$ из $6 x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3} - 28000}{x^{2}}$

Этап 2.8.3

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{3} - 28000$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.3.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{3}$ .

$\frac{4 (x^{3}) - 28000}{x^{2}}$

Этап 2.8.3.2

Вынесем множитель $4$ из $- 28000$ .

$\frac{4 x^{3} + 4 \cdot - 7000}{x^{2}}$

Этап 2.8.3.3

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{3} + 4 \cdot - 7000$ .

$\frac{4 (x^{3} - 7000)}{x^{2}}$

Этап 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{4 (x^{3} - 7000)}{x^{2}}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3} - 7000}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\frac{x^{3} - 7000}{x^{2}})$

Этап 3.2

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{2} \frac{d}{d x} (x^{3} - 7000) - (x^{3} - 7000) \frac{d}{d x} x^{2}}{{(x^{2})}^{2}})$

Этап 3.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{2} \frac{d}{d x} (x^{3} - 7000) - (x^{3} - 7000) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{2 \cdot 2}})$

Этап 3.3.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{2} \frac{d}{d x} (x^{3} - 7000) - (x^{3} - 7000) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}})$

Этап 3.3.2

По правилу суммы производная $x^{3} - 7000$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7000]$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 7000)) - (x^{3} - 7000) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}})$

Этап 3.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{2} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 7000)) - (x^{3} - 7000) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}})$

Этап 3.3.4

Поскольку $- 7000$ является константой относительно $x$ , производная $- 7000$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{2} (3 x^{2} + 0) - (x^{3} - 7000) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}})$

Этап 3.3.5

Добавим $3 x^{2}$ и $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{2} (3 x^{2}) - (x^{3} - 7000) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}})$

Этап 3.4

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перенесем $x^{2}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{2} x^{2} \cdot 3 - (x^{3} - 7000) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}})$

Этап 3.4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{2 + 2} \cdot 3 - (x^{3} - 7000) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}})$

Этап 3.4.3

Добавим $2$ и $2$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{4} \cdot 3 - (x^{3} - 7000) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}})$

Этап 3.5

Перенесем $3$ влево от $x^{4}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 \cdot x^{4} - (x^{3} - 7000) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}})$

Этап 3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 x^{4} - (x^{3} - 7000) (2 x)}{x^{4}})$

Этап 3.7

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 x^{4} - 2 (x^{3} - 7000) x}{x^{4}})$

Этап 3.7.2

Вынесем множитель $x$ из $3 x^{4} - 2 (x^{3} - 7000) x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1

Вынесем множитель $x$ из $3 x^{4}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x (3 x^{3}) - 2 (x^{3} - 7000) x}{x^{4}})$

Этап 3.7.2.2

Вынесем множитель $x$ из $- 2 (x^{3} - 7000) x$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x (3 x^{3}) + x (- 2 (x^{3} - 7000))}{x^{4}})$

Этап 3.7.2.3

Вынесем множитель $x$ из $x (3 x^{3}) + x (- 2 (x^{3} - 7000))$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x (3 x^{3} - 2 (x^{3} - 7000))}{x^{4}})$

Этап 3.8

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{4}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x (3 x^{3} - 2 (x^{3} - 7000))}{x \cdot x^{3}})$

Этап 3.8.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = 4 (\frac{x (3 x^{3} - 2 (x^{3} - 7000))}{x \cdot x^{3}})$

Этап 3.8.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = 4 (\frac{3 x^{3} - 2 (x^{3} - 7000)}{x^{3}})$

Этап 3.9

Объединим $4$ и $\frac{3 x^{3} - 2 (x^{3} - 7000)}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{3} - 2 (x^{3} - 7000))}{x^{3}}$

Этап 3.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{3} - 2 x^{3} - 2 \cdot - 7000)}{x^{3}}$

Этап 3.10.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{3}) + 4 (- 2 x^{3}) + 4 (- 2 \cdot - 7000)}{x^{3}}$

Этап 3.10.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.3.1.1

Умножим $3$ на $4$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{3} + 4 (- 2 x^{3}) + 4 (- 2 \cdot - 7000)}{x^{3}}$

Этап 3.10.3.1.2

Умножим $- 2$ на $4$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{3} - 8 x^{3} + 4 (- 2 \cdot - 7000)}{x^{3}}$

Этап 3.10.3.1.3

Умножим $4 (- 2 \cdot - 7000)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.3.1.3.1

Умножим $- 2$ на $- 7000$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{3} - 8 x^{3} + 4 \cdot 14000}{x^{3}}$

Этап 3.10.3.1.3.2

Умножим $4$ на $14000$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{3} - 8 x^{3} + 56000}{x^{3}}$

Этап 3.10.3.2

Вычтем $8 x^{3}$ из $12 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{3} + 56000}{x^{3}}$

Этап 3.10.4

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{3} + 56000$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.4.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (x^{3}) + 56000}{x^{3}}$

Этап 3.10.4.2

Вынесем множитель $4$ из $56000$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{3} + 4 \cdot 14000}{x^{3}}$

Этап 3.10.4.3

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{3} + 4 \cdot 14000$ .

$f'' (x) = \frac{4 (x^{3} + 14000)}{x^{3}}$

Этап 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{4 (x^{3} - 7000)}{x^{2}} = 0$

Этап 5

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

$\frac{x \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 28000] - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 5.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

По правилу суммы производная $2 x^{3} + 28000$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [28000]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [28000]) - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 5.1.2.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{3}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{x (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [28000]) - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 5.1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{x (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [28000]) - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 5.1.2.4

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{x (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [28000]) - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 5.1.2.5

Поскольку $28000$ является константой относительно $x$ , производная $28000$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x (6 x^{2} + 0) - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 5.1.2.6

Добавим $6 x^{2}$ и $0$ .

$\frac{x (6 x^{2}) - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 5.1.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{6 (x^{1} x^{2}) - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 5.1.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{6 x^{1 + 2} - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 5.1.5

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{6 x^{3} - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 5.1.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{6 x^{3} - (2 x^{3} + 28000) \cdot 1}{x^{2}}$

Этап 5.1.7

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{6 x^{3} - (2 x^{3} + 28000)}{x^{2}}$

Этап 5.1.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{6 x^{3} - (2 x^{3}) - 1 \cdot 28000}{x^{2}}$

Этап 5.1.8.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.8.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.8.2.1.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{6 x^{3} - 2 x^{3} - 1 \cdot 28000}{x^{2}}$

Этап 5.1.8.2.1.2

Умножим $- 1$ на $28000$ .

$\frac{6 x^{3} - 2 x^{3} - 28000}{x^{2}}$

Этап 5.1.8.2.2

Вычтем $2 x^{3}$ из $6 x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3} - 28000}{x^{2}}$

Этап 5.1.8.3

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{3} - 28000$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.8.3.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{3}$ .

$\frac{4 (x^{3}) - 28000}{x^{2}}$

Этап 5.1.8.3.2

Вынесем множитель $4$ из $- 28000$ .

$\frac{4 x^{3} + 4 \cdot - 7000}{x^{2}}$

Этап 5.1.8.3.3

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{3} + 4 \cdot - 7000$ .

$f' (x) = \frac{4 (x^{3} - 7000)}{x^{2}}$

Этап 5.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{4 (x^{3} - 7000)}{x^{2}}$ .

$\frac{4 (x^{3} - 7000)}{x^{2}}$

Этап 6

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{4 (x^{3} - 7000)}{x^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{4 (x^{3} - 7000)}{x^{2}} = 0$

Этап 6.2

Приравняем числитель к нулю.

$4 (x^{3} - 7000) = 0$

Этап 6.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Разделим каждый член $4 (x^{3} - 7000) = 0$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Разделим каждый член $4 (x^{3} - 7000) = 0$ на $4$ .

$\frac{4 (x^{3} - 7000)}{4} = \frac{0}{4}$

Этап 6.3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 (x^{3} - 7000)}{4} = \frac{0}{4}$

Этап 6.3.1.2.1.2

Разделим $x^{3} - 7000$ на $1$ .

$x^{3} - 7000 = \frac{0}{4}$

Этап 6.3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.3.1

Разделим $0$ на $4$ .

$x^{3} - 7000 = 0$

Этап 6.3.2

Добавим $7000$ к обеим частям уравнения.

$x^{3} = 7000$

Этап 6.3.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \sqrt[3]{7000}$

Этап 6.3.4

Упростим $\sqrt[3]{7000}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.4.1

Перепишем $7000$ в виде $10^{3} \cdot 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.4.1.1

Вынесем множитель $1000$ из $7000$ .

$x = \sqrt[3]{1000 (7)}$

Этап 6.3.4.1.2

Перепишем $1000$ в виде $10^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{10^{3} \cdot 7}$

Этап 6.3.4.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = 10 \sqrt[3]{7}$

Этап 7

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Зададим знаменатель в $\frac{4 (x^{3} - 7000)}{x^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} = 0$

Этап 7.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 7.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 7.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 7.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 8

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 10 \sqrt[3]{7}$

Этап 9

Найдем вторую производную в $x = 10 \sqrt[3]{7}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{4 ({(10 \sqrt[3]{7})}^{3} + 14000)}{{(10 \sqrt[3]{7})}^{3}}$

Этап 10

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Применим правило умножения к $10 \sqrt[3]{7}$ .

$\frac{4 (10^{3} {\sqrt[3]{7}}^{3} + 14000)}{{(10 \sqrt[3]{7})}^{3}}$

Этап 10.1.2

Возведем $10$ в степень $3$ .

$\frac{4 (1000 {\sqrt[3]{7}}^{3} + 14000)}{{(10 \sqrt[3]{7})}^{3}}$

Этап 10.1.3

Перепишем ${\sqrt[3]{7}}^{3}$ в виде $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{7}$ в виде $7^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{4 (1000 {(7^{\frac{1}{3}})}^{3} + 14000)}{{(10 \sqrt[3]{7})}^{3}}$

Этап 10.1.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 (1000 \cdot 7^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 14000)}{{(10 \sqrt[3]{7})}^{3}}$

Этап 10.1.3.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$\frac{4 (1000 \cdot 7^{\frac{3}{3}} + 14000)}{{(10 \sqrt[3]{7})}^{3}}$

Этап 10.1.3.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.3.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 (1000 \cdot 7^{\frac{3}{3}} + 14000)}{{(10 \sqrt[3]{7})}^{3}}$

Этап 10.1.3.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{4 (1000 \cdot 7^{1} + 14000)}{{(10 \sqrt[3]{7})}^{3}}$

Этап 10.1.3.5

Найдем экспоненту.

$\frac{4 (1000 \cdot 7 + 14000)}{{(10 \sqrt[3]{7})}^{3}}$

Этап 10.1.4

Умножим $1000$ на $7$ .

$\frac{4 (7000 + 14000)}{{(10 \sqrt[3]{7})}^{3}}$

Этап 10.1.5

Добавим $7000$ и $14000$ .

$\frac{4 \cdot 21000}{{(10 \sqrt[3]{7})}^{3}}$

Этап 10.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Применим правило умножения к $10 \sqrt[3]{7}$ .

$\frac{4 \cdot 21000}{10^{3} {\sqrt[3]{7}}^{3}}$

Этап 10.2.2

Возведем $10$ в степень $3$ .

$\frac{4 \cdot 21000}{1000 {\sqrt[3]{7}}^{3}}$

Этап 10.2.3

Перепишем ${\sqrt[3]{7}}^{3}$ в виде $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{7}$ в виде $7^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{4 \cdot 21000}{1000 {(7^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Этап 10.2.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 \cdot 21000}{1000 \cdot 7^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Этап 10.2.3.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$\frac{4 \cdot 21000}{1000 \cdot 7^{\frac{3}{3}}}$

Этап 10.2.3.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \cdot 21000}{1000 \cdot 7^{\frac{3}{3}}}$

Этап 10.2.3.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{4 \cdot 21000}{1000 \cdot 7^{1}}$

Этап 10.2.3.5

Найдем экспоненту.

$\frac{4 \cdot 21000}{1000 \cdot 7}$

Этап 10.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Умножим $4$ на $21000$ .

$\frac{84000}{1000 \cdot 7}$

Этап 10.3.2

Умножим $1000$ на $7$ .

$\frac{84000}{7000}$

Этап 10.3.3

Разделим $84000$ на $7000$ .

$12$

Этап 11

$x = 10 \sqrt[3]{7}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 10 \sqrt[3]{7}$ — локальный минимум

Этап 12

Найдем значение y, если $x = 10 \sqrt[3]{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $10 \sqrt[3]{7}$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{2 {(10 \sqrt[3]{7})}^{3} + 28000}{10 \sqrt[3]{7}}$

Этап 12.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Сократим общий множитель $2 {(10 \sqrt[3]{7})}^{3} + 28000$ и $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(10 \sqrt[3]{7})}^{3}$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{2 ({(10 \sqrt[3]{7})}^{3}) + 28000}{10 \sqrt[3]{7}}$

Этап 12.2.1.2

Вынесем множитель $2$ из $28000$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{2 {(10 \sqrt[3]{7})}^{3} + 2 \cdot 14000}{10 \sqrt[3]{7}}$

Этап 12.2.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 {(10 \sqrt[3]{7})}^{3} + 2 \cdot 14000$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{2 ({(10 \sqrt[3]{7})}^{3} + 14000)}{10 \sqrt[3]{7}}$

Этап 12.2.1.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $10 \sqrt[3]{7}$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{2 ({(10 \sqrt[3]{7})}^{3} + 14000)}{2 (5 \sqrt[3]{7})}$

Этап 12.2.1.4.2

Сократим общий множитель.

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{2 ({(10 \sqrt[3]{7})}^{3} + 14000)}{2 (5 \sqrt[3]{7})}$

Этап 12.2.1.4.3

Перепишем это выражение.

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{{(10 \sqrt[3]{7})}^{3} + 14000}{5 \sqrt[3]{7}}$

Этап 12.2.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.1

Применим правило умножения к $10 \sqrt[3]{7}$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{10^{3} {\sqrt[3]{7}}^{3} + 14000}{5 \sqrt[3]{7}}$

Этап 12.2.2.2

Возведем $10$ в степень $3$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{1000 {\sqrt[3]{7}}^{3} + 14000}{5 \sqrt[3]{7}}$

Этап 12.2.2.3

Перепишем ${\sqrt[3]{7}}^{3}$ в виде $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{7}$ в виде $7^{\frac{1}{3}}$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{1000 {(7^{\frac{1}{3}})}^{3} + 14000}{5 \sqrt[3]{7}}$

Этап 12.2.2.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{1000 \cdot 7^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 14000}{5 \sqrt[3]{7}}$

Этап 12.2.2.3.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{1000 \cdot 7^{\frac{3}{3}} + 14000}{5 \sqrt[3]{7}}$

Этап 12.2.2.3.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.3.4.1

Сократим общий множитель.

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{1000 \cdot 7^{\frac{3}{3}} + 14000}{5 \sqrt[3]{7}}$

Этап 12.2.2.3.4.2

Перепишем это выражение.

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{1000 \cdot 7 + 14000}{5 \sqrt[3]{7}}$

Этап 12.2.2.3.5

Найдем экспоненту.

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{1000 \cdot 7 + 14000}{5 \sqrt[3]{7}}$

Этап 12.2.2.4

Умножим $1000$ на $7$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{7000 + 14000}{5 \sqrt[3]{7}}$

Этап 12.2.2.5

Добавим $7000$ и $14000$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{21000}{5 \sqrt[3]{7}}$

Этап 12.2.3

Сократим общий множитель $21000$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.3.1

Вынесем множитель $5$ из $21000$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{5 \cdot 4200}{5 \sqrt[3]{7}}$

Этап 12.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.3.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5 \sqrt[3]{7}$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{5 \cdot 4200}{5 (\sqrt[3]{7})}$

Этап 12.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{5 \cdot 4200}{5 \sqrt[3]{7}}$

Этап 12.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{4200}{\sqrt[3]{7}}$

Этап 12.2.4

Умножим $\frac{4200}{\sqrt[3]{7}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{7}}^{2}}{{\sqrt[3]{7}}^{2}}$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{4200}{\sqrt[3]{7}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{7}}^{2}}{{\sqrt[3]{7}}^{2}}$

Этап 12.2.5

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.5.1

Умножим $\frac{4200}{\sqrt[3]{7}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{7}}^{2}}{{\sqrt[3]{7}}^{2}}$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{4200 {\sqrt[3]{7}}^{2}}{\sqrt[3]{7} {\sqrt[3]{7}}^{2}}$

Этап 12.2.5.2

Возведем $\sqrt[3]{7}$ в степень $1$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{4200 {\sqrt[3]{7}}^{2}}{\sqrt[3]{7} {\sqrt[3]{7}}^{2}}$

Этап 12.2.5.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{4200 {\sqrt[3]{7}}^{2}}{{\sqrt[3]{7}}^{1 + 2}}$

Этап 12.2.5.4

Добавим $1$ и $2$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{4200 {\sqrt[3]{7}}^{2}}{{\sqrt[3]{7}}^{3}}$

Этап 12.2.5.5

Перепишем ${\sqrt[3]{7}}^{3}$ в виде $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.5.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{7}$ в виде $7^{\frac{1}{3}}$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{4200 {\sqrt[3]{7}}^{2}}{{(7^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Этап 12.2.5.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{4200 {\sqrt[3]{7}}^{2}}{7^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Этап 12.2.5.5.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{4200 {\sqrt[3]{7}}^{2}}{7^{\frac{3}{3}}}$

Этап 12.2.5.5.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.5.5.4.1

Сократим общий множитель.

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{4200 {\sqrt[3]{7}}^{2}}{7^{\frac{3}{3}}}$

Этап 12.2.5.5.4.2

Перепишем это выражение.

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{4200 {\sqrt[3]{7}}^{2}}{7}$

Этап 12.2.5.5.5

Найдем экспоненту.

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{4200 {\sqrt[3]{7}}^{2}}{7}$

Этап 12.2.6

Сократим общий множитель $4200$ и $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.6.1

Вынесем множитель $7$ из $4200 {\sqrt[3]{7}}^{2}$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{7 (600 {\sqrt[3]{7}}^{2})}{7}$

Этап 12.2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.6.2.1

Вынесем множитель $7$ из $7$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{7 (600 {\sqrt[3]{7}}^{2})}{7 (1)}$

Этап 12.2.6.2.2

Сократим общий множитель.

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{7 (600 {\sqrt[3]{7}}^{2})}{7 \cdot 1}$

Этап 12.2.6.2.3

Перепишем это выражение.

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{600 {\sqrt[3]{7}}^{2}}{1}$

Этап 12.2.6.2.4

Разделим $600 {\sqrt[3]{7}}^{2}$ на $1$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = 600 {\sqrt[3]{7}}^{2}$

Этап 12.2.7

Перепишем ${\sqrt[3]{7}}^{2}$ в виде $\sqrt[3]{7^{2}}$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = 600 \sqrt[3]{7^{2}}$

Этап 12.2.8

Возведем $7$ в степень $2$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = 600 \sqrt[3]{49}$

Этап 12.2.9

Окончательный ответ: $600 \sqrt[3]{49}$ .

$y = 600 \sqrt[3]{49}$

Этап 13

Это локальные экстремумы $f (x) = \frac{2 x^{3} + 28000}{x}$ .

$(10 \sqrt[3]{7}, 600 \sqrt[3]{49})$ — локальный минимум

Этап 14