Алгебра Примеры

$y = - \frac{2}{3} {(4)}^{x + 3} - 4$

Этап 1

Простейшая форма функция является самой простой формой функции данного типа.

$y = {(4)}^{x}$

Этап 2

Решим $y = {(4)}^{x}$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Избавимся от скобок.

$y = 4^{x}$

Этап 2.2

Избавимся от скобок.

$y = {(4)}^{x}$

Этап 2.3

Избавимся от скобок.

$y = 4^{x}$

Этап 3

Решим $y = - \frac{2}{3} \cdot {(4)}^{x + 3} - 4$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Избавимся от скобок.

$y = - \frac{2}{3} \cdot 4^{x + 3} - 4$

Этап 3.2

Упростим $- \frac{2}{3} \cdot 4^{x + 3} - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим $- \frac{2}{3} \cdot 4^{x + 3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Объединим $4^{x + 3}$ и $\frac{2}{3}$ .

$y = - \frac{4^{x + 3} \cdot 2}{3} - 4$

Этап 3.2.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = - \frac{{(2^{2})}^{x + 3} \cdot 2}{3} - 4$

Этап 3.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${(2^{2})}^{x + 3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = - \frac{2^{2 (x + 3)} \cdot 2}{3} - 4$

Этап 3.2.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - \frac{2^{2 x + 2 \cdot 3} \cdot 2}{3} - 4$

Этап 3.2.1.3.3

Умножим $2$ на $3$ .

$y = - \frac{2^{2 x + 6} \cdot 2}{3} - 4$

Этап 3.2.1.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = - \frac{2^{2 x + 6 + 1}}{3} - 4$

Этап 3.2.1.5

Добавим $6$ и $1$ .

$y = - \frac{2^{2 x + 7}}{3} - 4$

Этап 3.2.2

Чтобы записать $- 4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{2^{2 x + 7}}{3} - 4 \cdot \frac{3}{3}$

Этап 3.2.3

Объединим $- 4$ и $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{2^{2 x + 7}}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3}$

Этап 3.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{- 2^{2 x + 7} - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 3.2.5

Умножим $- 4$ на $3$ .

$y = \frac{- 2^{2 x + 7} - 12}{3}$

Этап 3.2.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2^{2 x + 7}$ .

$y = \frac{- (2^{2 x + 7}) - 12}{3}$

Этап 3.2.7

Перепишем $- 12$ в виде $- 1 (12)$ .

$y = \frac{- (2^{2 x + 7}) - 1 (12)}{3}$

Этап 3.2.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2^{2 x + 7}) - 1 (12)$ .

$y = \frac{- (2^{2 x + 7} + 12)}{3}$

Этап 3.2.9

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.9.1

Перепишем $- (2^{2 x + 7} + 12)$ в виде $- 1 (2^{2 x + 7} + 12)$ .

$y = \frac{- 1 (2^{2 x + 7} + 12)}{3}$

Этап 3.2.9.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{2^{2 x + 7} + 12}{3}$

Этап 4

Предположим, что $y = {(4)}^{x}$ есть $f (x) = 4^{x}$ , а $y = - \frac{2}{3} \cdot {(4)}^{x + 3} - 4$ есть $g (x) = - \frac{2^{2 x + 7} + 12}{3}$ .

$f (x) = 4^{x}$

$g (x) = - \frac{2^{2 x + 7} + 12}{3}$

Этап 5

Преобразование из первого уравнения во второе можно осуществить, найдя $a$ , $h$ и $k$ для каждого уравнения.

$y = a b^{x - h} + k$

Этап 6

Найдем $a$ , $h$ и $k$ для $f (x) = 4^{x}$ .

$a = 1$

$h = 0$

$k = 0$

Этап 7

Найдем $a$ , $h$ и $k$ для $g (x) = - \frac{2^{2 x + 7} + 12}{3}$ .

$a = - \frac{1}{3}$

$h = - \frac{7}{2}$

$k = 0$

Этап 8

Горизонтальный сдвиг зависит от значения $h$ . Горизонтальный сдвиг описывается следующим образом:

$g (x) = f (x + h)$ — график сдвинут влево на $h$ ед.

$g (x) = f (x - h)$ — график сдвинут вправо на $h$ ед.

Сдвиг по горизонтали: левые единицы $3.5$

Этап 9

Смещение по вертикали зависит от значения $k$ . Вертикальный сдвиг описывается следующим образом:

$g (x) = f (x) + k$ — график сдвинут вверх на $k$ ед.

$g (x) = f (x) - k$ - The graph is shifted down $k$ units.

Смещение по вертикали: нет

Этап 10

Знак $a$ описывает отражение относительно оси x. $- a$ означает, что график отражается относительно оси x.

Отражение относительно оси X: отражено

Этап 11

Значение $a$ описывает растяжение или сжатие графика по вертикали.

$a > 1$ — растяжение по вертикали (делает более узким)

$0 < a < 1$ — вертикальное сжатие (делает более широким)

Сжатие по вертикали: сжат

Этап 12

Чтобы найти преобразование, сравним две функции и проверим наличие смещения по вертикали или горизонтали, отражения относительно оси x и растяжения по вертикали.

Порождающая функция: $f (x) = 4^{x}$

Сдвиг по горизонтали: левые единицы $3.5$

Смещение по вертикали: нет

Отражение относительно оси X: отражено

Сжатие по вертикали: сжат

Этап 13