Алгебра Примеры

$- \frac{8 x}{5 x - 6}$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = - \frac{8 y}{5 y - 6}$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим уравнение на $5 y - 6$ .

$(5 y - 6) (x) = (- \frac{8 y}{5 y - 6}) (5 y - 6)$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 y x - 6 x = (- \frac{8 y}{5 y - 6}) (5 y - 6)$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Сократим общий множитель $5 y - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{8 y}{5 y - 6}$ в числитель.

$5 y x - 6 x = \frac{- 8 y}{5 y - 6} (5 y - 6)$

Этап 2.3.1.2

Сократим общий множитель.

$5 y x - 6 x = \frac{- 8 y}{5 y - 6} (5 y - 6)$

Этап 2.3.1.3

Перепишем это выражение.

$5 y x - 6 x = - 8 y$

Этап 2.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Добавим $8 y$ к обеим частям уравнения.

$5 y x - 6 x + 8 y = 0$

Этап 2.4.2

Добавим $6 x$ к обеим частям уравнения.

$5 y x + 8 y = 6 x$

Этап 2.4.3

Вынесем множитель $y$ из $5 y x + 8 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Вынесем множитель $y$ из $5 y x$ .

$y (5 x) + 8 y = 6 x$

Этап 2.4.3.2

Вынесем множитель $y$ из $8 y$ .

$y (5 x) + y \cdot 8 = 6 x$

Этап 2.4.3.3

Вынесем множитель $y$ из $y (5 x) + y \cdot 8$ .

$y (5 x + 8) = 6 x$

Этап 2.4.4

Разделим каждый член $y (5 x + 8) = 6 x$ на $5 x + 8$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.1

Разделим каждый член $y (5 x + 8) = 6 x$ на $5 x + 8$ .

$\frac{y (5 x + 8)}{5 x + 8} = \frac{6 x}{5 x + 8}$

Этап 2.4.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.2.1

Сократим общий множитель $5 x + 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (5 x + 8)}{5 x + 8} = \frac{6 x}{5 x + 8}$

Этап 2.4.4.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{6 x}{5 x + 8}$

Этап 3

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \frac{6 x}{5 x + 8}$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{6 x}{5 x + 8}$ обратной к $f (x) = - \frac{8 x}{5 x - 6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (- \frac{8 x}{5 x - 6})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- \frac{8 x}{5 x - 6}) = \frac{6 (- \frac{8 x}{5 x - 6})}{5 (- \frac{8 x}{5 x - 6}) + 8}$

Этап 4.2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Умножим $- 1$ на $6$ .

$f^{- 1} (- \frac{8 x}{5 x - 6}) = \frac{- 6 \frac{8 x}{5 x - 6}}{5 (- \frac{8 x}{5 x - 6}) + 8}$

Этап 4.2.3.2

Объединим $- 6$ и $\frac{8 x}{5 x - 6}$ .

$f^{- 1} (- \frac{8 x}{5 x - 6}) = \frac{\frac{- 6 (8 x)}{5 x - 6}}{5 (- \frac{8 x}{5 x - 6}) + 8}$

Этап 4.2.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Умножим $5 (- \frac{8 x}{5 x - 6})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$f^{- 1} (- \frac{8 x}{5 x - 6}) = \frac{\frac{- 6 (8 x)}{5 x - 6}}{- 5 \frac{8 x}{5 x - 6} + 8}$

Этап 4.2.4.1.2

Объединим $- 5$ и $\frac{8 x}{5 x - 6}$ .

$f^{- 1} (- \frac{8 x}{5 x - 6}) = \frac{\frac{- 6 (8 x)}{5 x - 6}}{\frac{- 5 (8 x)}{5 x - 6} + 8}$

Этап 4.2.4.1.3

Умножим $8$ на $- 5$ .

$f^{- 1} (- \frac{8 x}{5 x - 6}) = \frac{\frac{- 6 (8 x)}{5 x - 6}}{\frac{- 40 x}{5 x - 6} + 8}$

Этап 4.2.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f^{- 1} (- \frac{8 x}{5 x - 6}) = \frac{\frac{- 6 (8 x)}{5 x - 6}}{- \frac{40 x}{5 x - 6} + 8}$

Этап 4.2.4.3

Чтобы записать $8$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5 x - 6}{5 x - 6}$ .

$f^{- 1} (- \frac{8 x}{5 x - 6}) = \frac{\frac{- 6 (8 x)}{5 x - 6}}{- \frac{40 x}{5 x - 6} + \frac{8 (5 x - 6)}{5 x - 6}}$

Этап 4.2.4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (- \frac{8 x}{5 x - 6}) = \frac{\frac{- 6 (8 x)}{5 x - 6}}{\frac{- 40 x + 8 (5 x - 6)}{5 x - 6}}$

Этап 4.2.4.5

Перепишем $\frac{- 40 x + 8 (5 x - 6)}{5 x - 6}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.5.1

Вынесем множитель $8$ из $- 40 x + 8 (5 x - 6)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.5.1.1

Вынесем множитель $8$ из $- 40 x$ .

$f^{- 1} (- \frac{8 x}{5 x - 6}) = \frac{\frac{- 6 (8 x)}{5 x - 6}}{\frac{8 (- 5 x) + 8 (5 x - 6)}{5 x - 6}}$

Этап 4.2.4.5.1.2

Вынесем множитель $8$ из $8 (- 5 x) + 8 (5 x - 6)$ .

$f^{- 1} (- \frac{8 x}{5 x - 6}) = \frac{\frac{- 6 (8 x)}{5 x - 6}}{\frac{8 (- 5 x + 5 x - 6)}{5 x - 6}}$

Этап 4.2.4.5.2

Добавим $- 5 x$ и $5 x$ .

$f^{- 1} (- \frac{8 x}{5 x - 6}) = \frac{\frac{- 6 (8 x)}{5 x - 6}}{\frac{8 (0 - 6)}{5 x - 6}}$

Этап 4.2.4.5.3

Вычтем $6$ из $0$ .

$f^{- 1} (- \frac{8 x}{5 x - 6}) = \frac{\frac{- 6 (8 x)}{5 x - 6}}{\frac{8 \cdot - 6}{5 x - 6}}$

Этап 4.2.4.6

Умножим $8$ на $- 6$ .

$f^{- 1} (- \frac{8 x}{5 x - 6}) = \frac{\frac{- 6 (8 x)}{5 x - 6}}{\frac{- 48}{5 x - 6}}$

Этап 4.2.4.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f^{- 1} (- \frac{8 x}{5 x - 6}) = \frac{\frac{- 6 (8 x)}{5 x - 6}}{- \frac{48}{5 x - 6}}$

Этап 4.2.5

Умножим $- 6$ на $8$ .

$f^{- 1} (- \frac{8 x}{5 x - 6}) = \frac{\frac{- 48 x}{5 x - 6}}{- \frac{48}{5 x - 6}}$

Этап 4.2.6

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f^{- 1} (- \frac{8 x}{5 x - 6}) = \frac{- \frac{48 x}{5 x - 6}}{- \frac{48}{5 x - 6}}$

Этап 4.2.6.2

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$f^{- 1} (- \frac{8 x}{5 x - 6}) = \frac{\frac{48 x}{5 x - 6}}{\frac{48}{5 x - 6}}$

Этап 4.2.7

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f^{- 1} (- \frac{8 x}{5 x - 6}) = \frac{48 x}{5 x - 6} \cdot \frac{5 x - 6}{48}$

Этап 4.2.8

Сократим общий множитель $48$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.8.1

Вынесем множитель $48$ из $48 x$ .

$f^{- 1} (- \frac{8 x}{5 x - 6}) = \frac{48 (x)}{5 x - 6} \cdot \frac{5 x - 6}{48}$

Этап 4.2.8.2

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (- \frac{8 x}{5 x - 6}) = \frac{48 x}{5 x - 6} \cdot \frac{5 x - 6}{48}$

Этап 4.2.8.3

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (- \frac{8 x}{5 x - 6}) = \frac{x}{5 x - 6} \cdot (5 x - 6)$

Этап 4.2.9

Сократим общий множитель $5 x - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.9.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (- \frac{8 x}{5 x - 6}) = \frac{x}{5 x - 6} \cdot (5 x - 6)$

Этап 4.2.9.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (- \frac{8 x}{5 x - 6}) = x$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (\frac{6 x}{5 x + 8})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{6 x}{5 x + 8}) = - \frac{8 (\frac{6 x}{5 x + 8})}{5 (\frac{6 x}{5 x + 8}) - 6}$

Этап 4.3.3

Объединим $8$ и $\frac{6 x}{5 x + 8}$ .

$f (\frac{6 x}{5 x + 8}) = - \frac{\frac{8 (6 x)}{5 x + 8}}{5 (\frac{6 x}{5 x + 8}) - 6}$

Этап 4.3.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Умножим $5 \frac{6 x}{5 x + 8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1.1

Объединим $5$ и $\frac{6 x}{5 x + 8}$ .

$f (\frac{6 x}{5 x + 8}) = - \frac{\frac{8 (6 x)}{5 x + 8}}{\frac{5 (6 x)}{5 x + 8} - 6}$

Этап 4.3.4.1.2

Умножим $6$ на $5$ .

$f (\frac{6 x}{5 x + 8}) = - \frac{\frac{8 (6 x)}{5 x + 8}}{\frac{30 x}{5 x + 8} - 6}$

Этап 4.3.4.2

Чтобы записать $- 6$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5 x + 8}{5 x + 8}$ .

$f (\frac{6 x}{5 x + 8}) = - \frac{\frac{8 (6 x)}{5 x + 8}}{\frac{30 x}{5 x + 8} - 6 \cdot \frac{5 x + 8}{5 x + 8}}$

Этап 4.3.4.3

Объединим $- 6$ и $\frac{5 x + 8}{5 x + 8}$ .

$f (\frac{6 x}{5 x + 8}) = - \frac{\frac{8 (6 x)}{5 x + 8}}{\frac{30 x}{5 x + 8} + \frac{- 6 (5 x + 8)}{5 x + 8}}$

Этап 4.3.4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{6 x}{5 x + 8}) = - \frac{\frac{8 (6 x)}{5 x + 8}}{\frac{30 x - 6 (5 x + 8)}{5 x + 8}}$

Этап 4.3.4.5

Перепишем $\frac{30 x - 6 (5 x + 8)}{5 x + 8}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.5.1

Вынесем множитель $6$ из $30 x - 6 (5 x + 8)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.5.1.1

Вынесем множитель $6$ из $30 x$ .

$f (\frac{6 x}{5 x + 8}) = - \frac{\frac{8 (6 x)}{5 x + 8}}{\frac{6 (5 x) - 6 (5 x + 8)}{5 x + 8}}$

Этап 4.3.4.5.1.2

Вынесем множитель $6$ из $- 6 (5 x + 8)$ .

$f (\frac{6 x}{5 x + 8}) = - \frac{\frac{8 (6 x)}{5 x + 8}}{\frac{6 (5 x) + 6 (- (5 x + 8))}{5 x + 8}}$

Этап 4.3.4.5.1.3

Вынесем множитель $6$ из $6 (5 x) + 6 (- (5 x + 8))$ .

$f (\frac{6 x}{5 x + 8}) = - \frac{\frac{8 (6 x)}{5 x + 8}}{\frac{6 (5 x - (5 x + 8))}{5 x + 8}}$

Этап 4.3.4.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{6 x}{5 x + 8}) = - \frac{\frac{8 (6 x)}{5 x + 8}}{\frac{6 (5 x - (5 x) - 1 \cdot 8)}{5 x + 8}}$

Этап 4.3.4.5.3

Умножим $5$ на $- 1$ .

$f (\frac{6 x}{5 x + 8}) = - \frac{\frac{8 (6 x)}{5 x + 8}}{\frac{6 (5 x - 5 x - 1 \cdot 8)}{5 x + 8}}$

Этап 4.3.4.5.4

Умножим $- 1$ на $8$ .

$f (\frac{6 x}{5 x + 8}) = - \frac{\frac{8 (6 x)}{5 x + 8}}{\frac{6 (5 x - 5 x - 8)}{5 x + 8}}$

Этап 4.3.4.5.5

Вычтем $5 x$ из $5 x$ .

$f (\frac{6 x}{5 x + 8}) = - \frac{\frac{8 (6 x)}{5 x + 8}}{\frac{6 (0 - 8)}{5 x + 8}}$

Этап 4.3.4.5.6

Вычтем $8$ из $0$ .

$f (\frac{6 x}{5 x + 8}) = - \frac{\frac{8 (6 x)}{5 x + 8}}{\frac{6 \cdot - 8}{5 x + 8}}$

Этап 4.3.4.6

Умножим $6$ на $- 8$ .

$f (\frac{6 x}{5 x + 8}) = - \frac{\frac{8 (6 x)}{5 x + 8}}{\frac{- 48}{5 x + 8}}$

Этап 4.3.4.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{6 x}{5 x + 8}) = - \frac{\frac{8 (6 x)}{5 x + 8}}{- \frac{48}{5 x + 8}}$

Этап 4.3.5

Умножим $8$ на $6$ .

$f (\frac{6 x}{5 x + 8}) = - \frac{\frac{48 x}{5 x + 8}}{- \frac{48}{5 x + 8}}$

Этап 4.3.6

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\frac{6 x}{5 x + 8}) = - (\frac{48 x}{5 x + 8} \cdot (- \frac{5 x + 8}{48}))$

Этап 4.3.7

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f (\frac{6 x}{5 x + 8}) = - (- \frac{48 x}{5 x + 8} \cdot \frac{5 x + 8}{48})$

Этап 4.3.8

Сократим общий множитель $48$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.8.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{48 x}{5 x + 8}$ в числитель.

$f (\frac{6 x}{5 x + 8}) = - (\frac{- 48 x}{5 x + 8} \cdot \frac{5 x + 8}{48})$

Этап 4.3.8.2

Вынесем множитель $48$ из $- 48 x$ .

$f (\frac{6 x}{5 x + 8}) = - (\frac{48 (- x)}{5 x + 8} \cdot \frac{5 x + 8}{48})$

Этап 4.3.8.3

Сократим общий множитель.

$f (\frac{6 x}{5 x + 8}) = - (\frac{48 (- x)}{5 x + 8} \cdot \frac{5 x + 8}{48})$

Этап 4.3.8.4

Перепишем это выражение.

$f (\frac{6 x}{5 x + 8}) = - (\frac{- x}{5 x + 8} \cdot (5 x + 8))$

Этап 4.3.9

Сократим общий множитель $5 x + 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.9.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{6 x}{5 x + 8}) = - (\frac{- x}{5 x + 8} \cdot (5 x + 8))$

Этап 4.3.9.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{6 x}{5 x + 8}) = x$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{6 x}{5 x + 8}$ — обратная к $f (x) = - \frac{8 x}{5 x - 6}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{6 x}{5 x + 8}$