Алгебра Примеры

${(x + 1)}^{9}$

Этап 1

Треугольник Паскаля можно представить в следующем виде:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$\dots$

$1 - 7 - 21 - 35 - 35 - 21 - 7 - 1$

$1 - 8 - 28 - 56 - 70 - 56 - 28 - 8 - 1$

$1 - 9 - 36 - 84 - 126 - 126 - 84 - 36 - 9 - 1$

Данный треугольник можно использовать для вычисления коэффициентов разложения ${(a + b)}^{n}$ , беря степень $n$ и добавляя $1$ . Коэффициенты соответствуют строке $n + 1$ треугольника Паскаля. Для ${(x + 1)}^{9}$ $n = 9$ , поэтому коэффициенты разложения соответствуют строке $10$ .

Этап 2

Разложение соответствует правилу ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Значения коэффициентов, определяемые треугольником Паскаля: $1 - 9 - 36 - 84 - 126 - 126 - 84 - 36 - 9 - 1$ .

$1 a^{9} b^{0} + 9 a^{8} b + 36 a^{7} b^{2} + 84 a^{6} b^{3} + 126 a^{5} b^{4} + 126 a^{4} b^{5} + 84 a^{3} b^{6} + 36 a^{2} b^{7} + 9 a b^{8} + 1 a^{0} b^{9}$

Этап 3

Подставим известные значения $a$ $x$ и $b$ $1$ в выражение.

$1 {(x)}^{9} {(1)}^{0} + 9 {(x)}^{8} {(1)}^{1} + 36 {(x)}^{7} {(1)}^{2} + 84 {(x)}^{6} {(1)}^{3} + 126 {(x)}^{5} {(1)}^{4} + 126 {(x)}^{4} {(1)}^{5} + 84 {(x)}^{3} {(1)}^{6} + 36 {(x)}^{2} {(1)}^{7} + 9 {(x)}^{1} {(1)}^{8} + 1 {(x)}^{0} {(1)}^{9}$

Этап 4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $1$ на ${(1)}^{0}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Перенесем ${(1)}^{0}$ .

${(1)}^{0} \cdot 1 {(x)}^{9} + 9 {(x)}^{8} {(1)}^{1} + 36 {(x)}^{7} {(1)}^{2} + 84 {(x)}^{6} {(1)}^{3} + 126 {(x)}^{5} {(1)}^{4} + 126 {(x)}^{4} {(1)}^{5} + 84 {(x)}^{3} {(1)}^{6} + 36 {(x)}^{2} {(1)}^{7} + 9 {(x)}^{1} {(1)}^{8} + 1 {(x)}^{0} {(1)}^{9}$

Этап 4.1.2

Умножим ${(1)}^{0}$ на $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Возведем $1$ в степень $1$ .

${(1)}^{0} \cdot 1^{1} {(x)}^{9} + 9 {(x)}^{8} {(1)}^{1} + 36 {(x)}^{7} {(1)}^{2} + 84 {(x)}^{6} {(1)}^{3} + 126 {(x)}^{5} {(1)}^{4} + 126 {(x)}^{4} {(1)}^{5} + 84 {(x)}^{3} {(1)}^{6} + 36 {(x)}^{2} {(1)}^{7} + 9 {(x)}^{1} {(1)}^{8} + 1 {(x)}^{0} {(1)}^{9}$

Этап 4.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$1^{0 + 1} {(x)}^{9} + 9 {(x)}^{8} {(1)}^{1} + 36 {(x)}^{7} {(1)}^{2} + 84 {(x)}^{6} {(1)}^{3} + 126 {(x)}^{5} {(1)}^{4} + 126 {(x)}^{4} {(1)}^{5} + 84 {(x)}^{3} {(1)}^{6} + 36 {(x)}^{2} {(1)}^{7} + 9 {(x)}^{1} {(1)}^{8} + 1 {(x)}^{0} {(1)}^{9}$

Этап 4.1.3

Добавим $0$ и $1$ .

$1^{1} {(x)}^{9} + 9 {(x)}^{8} {(1)}^{1} + 36 {(x)}^{7} {(1)}^{2} + 84 {(x)}^{6} {(1)}^{3} + 126 {(x)}^{5} {(1)}^{4} + 126 {(x)}^{4} {(1)}^{5} + 84 {(x)}^{3} {(1)}^{6} + 36 {(x)}^{2} {(1)}^{7} + 9 {(x)}^{1} {(1)}^{8} + 1 {(x)}^{0} {(1)}^{9}$

Этап 4.2

Упростим $1^{1} {(x)}^{9}$ .

${(x)}^{9} + 9 {(x)}^{8} {(1)}^{1} + 36 {(x)}^{7} {(1)}^{2} + 84 {(x)}^{6} {(1)}^{3} + 126 {(x)}^{5} {(1)}^{4} + 126 {(x)}^{4} {(1)}^{5} + 84 {(x)}^{3} {(1)}^{6} + 36 {(x)}^{2} {(1)}^{7} + 9 {(x)}^{1} {(1)}^{8} + 1 {(x)}^{0} {(1)}^{9}$

Этап 4.3

Найдем экспоненту.

$x^{9} + 9 x^{8} \cdot 1 + 36 {(x)}^{7} {(1)}^{2} + 84 {(x)}^{6} {(1)}^{3} + 126 {(x)}^{5} {(1)}^{4} + 126 {(x)}^{4} {(1)}^{5} + 84 {(x)}^{3} {(1)}^{6} + 36 {(x)}^{2} {(1)}^{7} + 9 {(x)}^{1} {(1)}^{8} + 1 {(x)}^{0} {(1)}^{9}$

Этап 4.4

Умножим $9$ на $1$ .

$x^{9} + 9 x^{8} + 36 {(x)}^{7} {(1)}^{2} + 84 {(x)}^{6} {(1)}^{3} + 126 {(x)}^{5} {(1)}^{4} + 126 {(x)}^{4} {(1)}^{5} + 84 {(x)}^{3} {(1)}^{6} + 36 {(x)}^{2} {(1)}^{7} + 9 {(x)}^{1} {(1)}^{8} + 1 {(x)}^{0} {(1)}^{9}$

Этап 4.5

Единица в любой степени равна единице.

$x^{9} + 9 x^{8} + 36 x^{7} \cdot 1 + 84 {(x)}^{6} {(1)}^{3} + 126 {(x)}^{5} {(1)}^{4} + 126 {(x)}^{4} {(1)}^{5} + 84 {(x)}^{3} {(1)}^{6} + 36 {(x)}^{2} {(1)}^{7} + 9 {(x)}^{1} {(1)}^{8} + 1 {(x)}^{0} {(1)}^{9}$

Этап 4.6

Умножим $36$ на $1$ .

$x^{9} + 9 x^{8} + 36 x^{7} + 84 {(x)}^{6} {(1)}^{3} + 126 {(x)}^{5} {(1)}^{4} + 126 {(x)}^{4} {(1)}^{5} + 84 {(x)}^{3} {(1)}^{6} + 36 {(x)}^{2} {(1)}^{7} + 9 {(x)}^{1} {(1)}^{8} + 1 {(x)}^{0} {(1)}^{9}$

Этап 4.7

Единица в любой степени равна единице.

$x^{9} + 9 x^{8} + 36 x^{7} + 84 x^{6} \cdot 1 + 126 {(x)}^{5} {(1)}^{4} + 126 {(x)}^{4} {(1)}^{5} + 84 {(x)}^{3} {(1)}^{6} + 36 {(x)}^{2} {(1)}^{7} + 9 {(x)}^{1} {(1)}^{8} + 1 {(x)}^{0} {(1)}^{9}$

Этап 4.8

Умножим $84$ на $1$ .

$x^{9} + 9 x^{8} + 36 x^{7} + 84 x^{6} + 126 {(x)}^{5} {(1)}^{4} + 126 {(x)}^{4} {(1)}^{5} + 84 {(x)}^{3} {(1)}^{6} + 36 {(x)}^{2} {(1)}^{7} + 9 {(x)}^{1} {(1)}^{8} + 1 {(x)}^{0} {(1)}^{9}$

Этап 4.9

Единица в любой степени равна единице.

$x^{9} + 9 x^{8} + 36 x^{7} + 84 x^{6} + 126 x^{5} \cdot 1 + 126 {(x)}^{4} {(1)}^{5} + 84 {(x)}^{3} {(1)}^{6} + 36 {(x)}^{2} {(1)}^{7} + 9 {(x)}^{1} {(1)}^{8} + 1 {(x)}^{0} {(1)}^{9}$

Этап 4.10

Умножим $126$ на $1$ .

$x^{9} + 9 x^{8} + 36 x^{7} + 84 x^{6} + 126 x^{5} + 126 {(x)}^{4} {(1)}^{5} + 84 {(x)}^{3} {(1)}^{6} + 36 {(x)}^{2} {(1)}^{7} + 9 {(x)}^{1} {(1)}^{8} + 1 {(x)}^{0} {(1)}^{9}$

Этап 4.11

Единица в любой степени равна единице.

$x^{9} + 9 x^{8} + 36 x^{7} + 84 x^{6} + 126 x^{5} + 126 x^{4} \cdot 1 + 84 {(x)}^{3} {(1)}^{6} + 36 {(x)}^{2} {(1)}^{7} + 9 {(x)}^{1} {(1)}^{8} + 1 {(x)}^{0} {(1)}^{9}$

Этап 4.12

Умножим $126$ на $1$ .

$x^{9} + 9 x^{8} + 36 x^{7} + 84 x^{6} + 126 x^{5} + 126 x^{4} + 84 {(x)}^{3} {(1)}^{6} + 36 {(x)}^{2} {(1)}^{7} + 9 {(x)}^{1} {(1)}^{8} + 1 {(x)}^{0} {(1)}^{9}$

Этап 4.13

Единица в любой степени равна единице.

$x^{9} + 9 x^{8} + 36 x^{7} + 84 x^{6} + 126 x^{5} + 126 x^{4} + 84 x^{3} \cdot 1 + 36 {(x)}^{2} {(1)}^{7} + 9 {(x)}^{1} {(1)}^{8} + 1 {(x)}^{0} {(1)}^{9}$

Этап 4.14

Умножим $84$ на $1$ .

$x^{9} + 9 x^{8} + 36 x^{7} + 84 x^{6} + 126 x^{5} + 126 x^{4} + 84 x^{3} + 36 {(x)}^{2} {(1)}^{7} + 9 {(x)}^{1} {(1)}^{8} + 1 {(x)}^{0} {(1)}^{9}$

Этап 4.15

Единица в любой степени равна единице.

$x^{9} + 9 x^{8} + 36 x^{7} + 84 x^{6} + 126 x^{5} + 126 x^{4} + 84 x^{3} + 36 x^{2} \cdot 1 + 9 {(x)}^{1} {(1)}^{8} + 1 {(x)}^{0} {(1)}^{9}$

Этап 4.16

Умножим $36$ на $1$ .

$x^{9} + 9 x^{8} + 36 x^{7} + 84 x^{6} + 126 x^{5} + 126 x^{4} + 84 x^{3} + 36 x^{2} + 9 {(x)}^{1} {(1)}^{8} + 1 {(x)}^{0} {(1)}^{9}$

Этап 4.17

Упростим.

$x^{9} + 9 x^{8} + 36 x^{7} + 84 x^{6} + 126 x^{5} + 126 x^{4} + 84 x^{3} + 36 x^{2} + 9 x {(1)}^{8} + 1 {(x)}^{0} {(1)}^{9}$

Этап 4.18

Единица в любой степени равна единице.

$x^{9} + 9 x^{8} + 36 x^{7} + 84 x^{6} + 126 x^{5} + 126 x^{4} + 84 x^{3} + 36 x^{2} + 9 x \cdot 1 + 1 {(x)}^{0} {(1)}^{9}$

Этап 4.19

Умножим $9$ на $1$ .

$x^{9} + 9 x^{8} + 36 x^{7} + 84 x^{6} + 126 x^{5} + 126 x^{4} + 84 x^{3} + 36 x^{2} + 9 x + 1 {(x)}^{0} {(1)}^{9}$

Этап 4.20

Умножим $1$ на ${(1)}^{9}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.20.1

Перенесем ${(1)}^{9}$ .

$x^{9} + 9 x^{8} + 36 x^{7} + 84 x^{6} + 126 x^{5} + 126 x^{4} + 84 x^{3} + 36 x^{2} + 9 x + {(1)}^{9} \cdot 1 {(x)}^{0}$

Этап 4.20.2

Умножим ${(1)}^{9}$ на $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.20.2.1

Возведем $1$ в степень $1$ .

$x^{9} + 9 x^{8} + 36 x^{7} + 84 x^{6} + 126 x^{5} + 126 x^{4} + 84 x^{3} + 36 x^{2} + 9 x + {(1)}^{9} \cdot 1^{1} {(x)}^{0}$

Этап 4.20.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{9} + 9 x^{8} + 36 x^{7} + 84 x^{6} + 126 x^{5} + 126 x^{4} + 84 x^{3} + 36 x^{2} + 9 x + 1^{9 + 1} {(x)}^{0}$

Этап 4.20.3

Добавим $9$ и $1$ .

$x^{9} + 9 x^{8} + 36 x^{7} + 84 x^{6} + 126 x^{5} + 126 x^{4} + 84 x^{3} + 36 x^{2} + 9 x + 1^{10} {(x)}^{0}$

Этап 4.21

Упростим $1^{10} {(x)}^{0}$ .

$x^{9} + 9 x^{8} + 36 x^{7} + 84 x^{6} + 126 x^{5} + 126 x^{4} + 84 x^{3} + 36 x^{2} + 9 x + 1^{10}$

Этап 4.22

Единица в любой степени равна единице.

$x^{9} + 9 x^{8} + 36 x^{7} + 84 x^{6} + 126 x^{5} + 126 x^{4} + 84 x^{3} + 36 x^{2} + 9 x + 1$