Алгебра Примеры

$3 x^{4} - 7 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x - 2$ ; $x + 1$

Этап 1

Разделим многочлен более высокого порядка на другой многочлен, чтобы найти остаток.

$\frac{3 x^{4} - 7 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x - 2}{x + 1}$

Этап 2

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$7 x^{3}$

$5 x^{2}$

$11 x$

$2$

Этап 3

Разделим член с максимальной степенью в делимом $3 x^{4}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$3 x^{3}$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$7 x^{3}$

$5 x^{2}$

$11 x$

$2$

Этап 4

Умножим новое частное на делитель.

$3 x^{3}$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$7 x^{3}$

$5 x^{2}$

$11 x$

$2$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

Этап 5

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $3 x^{4} + 3 x^{3}$ .

				$3 x^{3}$
$x$	+	$1$		$3 x^{4}$	-	$7 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$11 x$	-	$2$
			-	$3 x^{4}$	-	$3 x^{3}$

Этап 6

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$3 x^{3}$
$x$	+	$1$		$3 x^{4}$	-	$7 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$11 x$	-	$2$
			-	$3 x^{4}$	-	$3 x^{3}$
					-	$10 x^{3}$

Этап 7

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$3 x^{3}$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$7 x^{3}$

$5 x^{2}$

$11 x$

$2$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$10 x^{3}$

$5 x^{2}$

Этап 8

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 10 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$7 x^{3}$

$5 x^{2}$

$11 x$

$2$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$10 x^{3}$

$5 x^{2}$

Этап 9

Умножим новое частное на делитель.

				$3 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
$x$	+	$1$		$3 x^{4}$	-	$7 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$11 x$	-	$2$
			-	$3 x^{4}$	-	$3 x^{3}$
					-	$10 x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$

Этап 10

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 10 x^{3} - 10 x^{2}$ .

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$7 x^{3}$

$5 x^{2}$

$11 x$

$2$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$10 x^{3}$

$5 x^{2}$

$10 x^{3}$

$10 x^{2}$

Этап 11

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$7 x^{3}$

$5 x^{2}$

$11 x$

$2$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$10 x^{3}$

$5 x^{2}$

$10 x^{3}$

$10 x^{2}$

$15 x^{2}$

Этап 12

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$7 x^{3}$

$5 x^{2}$

$11 x$

$2$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$10 x^{3}$

$5 x^{2}$

$10 x^{3}$

$10 x^{2}$

$15 x^{2}$

$11 x$

Этап 13

Разделим член с максимальной степенью в делимом $15 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$15 x$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$7 x^{3}$

$5 x^{2}$

$11 x$

$2$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$10 x^{3}$

$5 x^{2}$

$10 x^{3}$

$10 x^{2}$

$15 x^{2}$

$11 x$

Этап 14

Умножим новое частное на делитель.

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$15 x$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$7 x^{3}$

$5 x^{2}$

$11 x$

$2$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$10 x^{3}$

$5 x^{2}$

$10 x^{3}$

$10 x^{2}$

$15 x^{2}$

$11 x$

$15 x^{2}$

$15 x$

Этап 15

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $15 x^{2} + 15 x$ .

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$15 x$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$7 x^{3}$

$5 x^{2}$

$11 x$

$2$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$10 x^{3}$

$5 x^{2}$

$10 x^{3}$

$10 x^{2}$

$15 x^{2}$

$11 x$

$15 x^{2}$

$15 x$

Этап 16

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$15 x$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$7 x^{3}$

$5 x^{2}$

$11 x$

$2$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$10 x^{3}$

$5 x^{2}$

$10 x^{3}$

$10 x^{2}$

$15 x^{2}$

$11 x$

$15 x^{2}$

$15 x$

$26 x$

Этап 17

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$15 x$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$7 x^{3}$

$5 x^{2}$

$11 x$

$2$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$10 x^{3}$

$5 x^{2}$

$10 x^{3}$

$10 x^{2}$

$15 x^{2}$

$11 x$

$15 x^{2}$

$15 x$

$26 x$

$2$

Этап 18

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 26 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$15 x$

$26$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$7 x^{3}$

$5 x^{2}$

$11 x$

$2$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$10 x^{3}$

$5 x^{2}$

$10 x^{3}$

$10 x^{2}$

$15 x^{2}$

$11 x$

$15 x^{2}$

$15 x$

$26 x$

$2$

Этап 19

Умножим новое частное на делитель.

				$3 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$15 x$	-	$26$
$x$	+	$1$		$3 x^{4}$	-	$7 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$11 x$	-	$2$
			-	$3 x^{4}$	-	$3 x^{3}$
					-	$10 x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$10 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
							+	$15 x^{2}$	-	$11 x$
							-	$15 x^{2}$	-	$15 x$
									-	$26 x$	-	$2$
									-	$26 x$	-	$26$

Этап 20

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 26 x - 26$ .

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$15 x$

$26$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$7 x^{3}$

$5 x^{2}$

$11 x$

$2$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$10 x^{3}$

$5 x^{2}$

$10 x^{3}$

$10 x^{2}$

$15 x^{2}$

$11 x$

$15 x^{2}$

$15 x$

$26 x$

$2$

$26 x$

$26$

Этап 21

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$15 x$

$26$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$7 x^{3}$

$5 x^{2}$

$11 x$

$2$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$10 x^{3}$

$5 x^{2}$

$10 x^{3}$

$10 x^{2}$

$15 x^{2}$

$11 x$

$15 x^{2}$

$15 x$

$26 x$

$2$

$26 x$

$26$

$24$

Этап 22

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$3 x^{3} - 10 x^{2} + 15 x - 26 + \frac{24}{x + 1}$

Этап 23

Остаток — это часть ответа, которая остается после деления на $x + 1$ .

$24$