Алгебра Примеры

${(x - 1)}^{2} = 4 {(y - 4)}^{2}$

Этап 1

Перенесем все члены с переменными в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $4 {(y - 4)}^{2}$ из обеих частей уравнения.

${(x - 1)}^{2} - 4 {(y - 4)}^{2} = 0$

Этап 1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем ${(x - 1)}^{2}$ в виде $(x - 1) (x - 1)$ .

$(x - 1) (x - 1) - 4 {(y - 4)}^{2} = 0$

Этап 1.2.2

Развернем $(x - 1) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x (x - 1) - 1 (x - 1) - 4 {(y - 4)}^{2} = 0$

Этап 1.2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1) - 4 {(y - 4)}^{2} = 0$

Этап 1.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 - 4 {(y - 4)}^{2} = 0$

Этап 1.2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 - 4 {(y - 4)}^{2} = 0$

Этап 1.2.3.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1 - 4 {(y - 4)}^{2} = 0$

Этап 1.2.3.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1 - 4 {(y - 4)}^{2} = 0$

Этап 1.2.3.1.4

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1 - 4 {(y - 4)}^{2} = 0$

Этап 1.2.3.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x^{2} - x - x + 1 - 4 {(y - 4)}^{2} = 0$

Этап 1.2.3.2

Вычтем $x$ из $- x$ .

$x^{2} - 2 x + 1 - 4 {(y - 4)}^{2} = 0$

Этап 1.2.4

Перепишем ${(y - 4)}^{2}$ в виде $(y - 4) (y - 4)$ .

$x^{2} - 2 x + 1 - 4 ((y - 4) (y - 4)) = 0$

Этап 1.2.5

Развернем $(y - 4) (y - 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} - 2 x + 1 - 4 (y (y - 4) - 4 (y - 4)) = 0$

Этап 1.2.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} - 2 x + 1 - 4 (y \cdot y + y \cdot - 4 - 4 (y - 4)) = 0$

Этап 1.2.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} - 2 x + 1 - 4 (y \cdot y + y \cdot - 4 - 4 y - 4 \cdot - 4) = 0$

Этап 1.2.6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1.1

Умножим $y$ на $y$ .

$x^{2} - 2 x + 1 - 4 (y^{2} + y \cdot - 4 - 4 y - 4 \cdot - 4) = 0$

Этап 1.2.6.1.2

Перенесем $- 4$ влево от $y$ .

$x^{2} - 2 x + 1 - 4 (y^{2} - 4 \cdot y - 4 y - 4 \cdot - 4) = 0$

Этап 1.2.6.1.3

Умножим $- 4$ на $- 4$ .

$x^{2} - 2 x + 1 - 4 (y^{2} - 4 y - 4 y + 16) = 0$

Этап 1.2.6.2

Вычтем $4 y$ из $- 4 y$ .

$x^{2} - 2 x + 1 - 4 (y^{2} - 8 y + 16) = 0$

Этап 1.2.7

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} - 2 x + 1 - 4 y^{2} - 4 (- 8 y) - 4 \cdot 16 = 0$

Этап 1.2.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.1

Умножим $- 8$ на $- 4$ .

$x^{2} - 2 x + 1 - 4 y^{2} + 32 y - 4 \cdot 16 = 0$

Этап 1.2.8.2

Умножим $- 4$ на $16$ .

$x^{2} - 2 x + 1 - 4 y^{2} + 32 y - 64 = 0$

Этап 1.3

Вычтем $64$ из $1$ .

$x^{2} - 2 x - 4 y^{2} + 32 y - 63 = 0$

Этап 1.4

Перенесем $- 2 x$ .

$x^{2} - 4 y^{2} - 2 x + 32 y - 63 = 0$

Этап 2

Добавим $63$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} - 4 y^{2} - 2 x + 32 y = 63$

Этап 3

Составим полный квадрат для $x^{2} - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 1$

$b = - 2$

$c = 0$

Этап 3.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 3.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 2}{2 \cdot 1}$

Этап 3.3.2

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Этап 3.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

Этап 3.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Этап 3.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 1}{1}$

Этап 3.3.2.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$d = - 1$

Этап 3.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

Этап 3.4.2.1.2

Умножим $4$ на $1$ .

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Этап 3.4.2.1.3

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Этап 3.4.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$e = 0 - 1 \cdot 1$

Этап 3.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$e = 0 - 1$

Этап 3.4.2.2

Вычтем $1$ из $0$ .

$e = - 1$

Этап 3.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной ${(x - 1)}^{2} - 1$ .

${(x - 1)}^{2} - 1$

Этап 4

Подставим ${(x - 1)}^{2} - 1$ вместо $x^{2} - 2 x$ в уравнение $x^{2} - 4 y^{2} - 2 x + 32 y = 63$ .

${(x - 1)}^{2} - 1 - 4 y^{2} + 32 y = 63$

Этап 5

Перенесем $- 1$ в правую часть уравнения, прибавив $1$ к обеим частям.

${(x - 1)}^{2} - 4 y^{2} + 32 y = 63 + 1$

Этап 6

Составим полный квадрат для $- 4 y^{2} + 32 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = - 4$

$b = 32$

$c = 0$

Этап 6.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 6.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{32}{2 \cdot - 4}$

Этап 6.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Сократим общий множитель $32$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $32$ .

$d = \frac{2 \cdot 16}{2 \cdot - 4}$

Этап 6.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot - 4$ .

$d = \frac{2 \cdot 16}{2 (- 4)}$

Этап 6.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 16}{2 \cdot - 4}$

Этап 6.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{16}{- 4}$

Этап 6.3.2.2

Сократим общий множитель $16$ и $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$d = \frac{4 (4)}{- 4}$

Этап 6.3.2.2.2

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{4}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 4$

Этап 6.3.2.3

Умножим $- 1$ на $4$ .

$d = - 4$

Этап 6.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{32^{2}}{4 \cdot - 4}$

Этап 6.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.1

Возведем $32$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{1024}{4 \cdot - 4}$

Этап 6.4.2.1.2

Умножим $4$ на $- 4$ .

$e = 0 - \frac{1024}{- 16}$

Этап 6.4.2.1.3

Разделим $1024$ на $- 16$ .

$e = 0 - - 64$

Этап 6.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $- 64$ .

$e = 0 + 64$

Этап 6.4.2.2

Добавим $0$ и $64$ .

$e = 64$

Этап 6.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $- 4 {(y - 4)}^{2} + 64$ .

$- 4 {(y - 4)}^{2} + 64$

Этап 7

Подставим $- 4 {(y - 4)}^{2} + 64$ вместо $- 4 y^{2} + 32 y$ в уравнение $x^{2} - 4 y^{2} - 2 x + 32 y = 63$ .

${(x - 1)}^{2} - 4 {(y - 4)}^{2} + 64 = 63 + 1$

Этап 8

Перенесем $64$ в правую часть уравнения, прибавив $64$ к обеим частям.

${(x - 1)}^{2} - 4 {(y - 4)}^{2} = 63 + 1 - 64$

Этап 9

Упростим $63 + 1 - 64$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Добавим $63$ и $1$ .

${(x - 1)}^{2} - 4 {(y - 4)}^{2} = 64 - 64$

Этап 9.2

Вычтем $64$ из $64$ .

${(x - 1)}^{2} - 4 {(y - 4)}^{2} = 0$

Этап 10

Разделим каждый член на $0$ , чтобы правая часть была равна единице.

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{0} - \frac{4 {(y - 4)}^{2}}{0} = \frac{0}{0}$

Этап 11

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

${(x - 1)}^{2} - {(y - 4)}^{2} = 1$