Алгебра Примеры

$(- 1, 2.2)$ , $(- 1, 1.22)$ , $(- 1, 2)$

Этап 1

Существует два общих уравнения эллипса.

Уравнение горизонтального эллипса: $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Уравнение вертикального эллипса $\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Этап 2

$a$ — расстояние между вершиной $(- 1, 1.22)$ и центральной точкой $(- 1, 2.2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем формулу расстояния для определения расстояние между этими двумя точками.

$Расстояние = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Этап 2.2

Подставим фактические значения точек в формулу расстояния.

$a = \sqrt{{((- 1) - (- 1))}^{2} + {(1.22 - 2.2)}^{2}}$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$a = \sqrt{{(- 1 + 1)}^{2} + {(1.22 - 2.2)}^{2}}$

Этап 2.3.2

Добавим $- 1$ и $1$ .

$a = \sqrt{0^{2} + {(1.22 - 2.2)}^{2}}$

Этап 2.3.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$a = \sqrt{0 + {(1.22 - 2.2)}^{2}}$

Этап 2.3.4

Вычтем $2.2$ из $1.22$ .

$a = \sqrt{0 + {(- 0.98)}^{2}}$

Этап 2.3.5

Возведем $- 0.98$ в степень $2$ .

$a = \sqrt{0 + 0.9604}$

Этап 2.3.6

Добавим $0$ и $0.9604$ .

$a = \sqrt{0.9604}$

Этап 3

$c$ — расстояние между фокусом $(- 1, 2)$ и центром $(- 1, 2.2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Используем формулу расстояния для определения расстояние между этими двумя точками.

$Расстояние = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Этап 3.2

Подставим фактические значения точек в формулу расстояния.

$c = \sqrt{{((- 1) - (- 1))}^{2} + {(2 - 2.2)}^{2}}$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$c = \sqrt{{(- 1 + 1)}^{2} + {(2 - 2.2)}^{2}}$

Этап 3.3.2

Добавим $- 1$ и $1$ .

$c = \sqrt{0^{2} + {(2 - 2.2)}^{2}}$

Этап 3.3.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$c = \sqrt{0 + {(2 - 2.2)}^{2}}$

Этап 3.3.4

Вычтем $2.2$ из $2$ .

$c = \sqrt{0 + {(- 0.2)}^{2}}$

Этап 3.3.5

Возведем $- 0.2$ в степень $2$ .

$c = \sqrt{0 + 0.04}$

Этап 3.3.6

Добавим $0$ и $0.04$ .

$c = \sqrt{0.04}$

Этап 3.3.7

Перепишем $0.04$ в виде ${0.2}^{2}$ .

$c = \sqrt{{0.2}^{2}}$

Этап 3.3.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$c = 0.2$

Этап 4

Использование уравнения $c^{2} = a^{2} - b^{2}$ . Подставим $\sqrt{0.9604}$ вместо $a$ , а $0.2$ вместо $c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде ${(\sqrt{0.9604})}^{2} - b^{2} = {0.2}^{2}$ .

${(\sqrt{0.9604})}^{2} - b^{2} = {0.2}^{2}$

Этап 4.2

Перепишем ${\sqrt{0.9604}}^{2}$ в виде $0.9604$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{0.9604}$ в виде ${0.9604}^{\frac{1}{2}}$ .

${({0.9604}^{\frac{1}{2}})}^{2} - b^{2} = {0.2}^{2}$

Этап 4.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${0.9604}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - b^{2} = {0.2}^{2}$

Этап 4.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

${0.9604}^{\frac{2}{2}} - b^{2} = {0.2}^{2}$

Этап 4.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Сократим общий множитель.

${0.9604}^{\frac{2}{2}} - b^{2} = {0.2}^{2}$

Этап 4.2.4.2

Перепишем это выражение.

${0.9604}^{1} - b^{2} = {0.2}^{2}$

Этап 4.2.5

Найдем экспоненту.

$0.9604 - b^{2} = {0.2}^{2}$

Этап 4.3

Возведем $0.2$ в степень $2$ .

$0.9604 - b^{2} = 0.04$

Этап 4.4

Перенесем все члены без $b$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Вычтем $0.9604$ из обеих частей уравнения.

$- b^{2} = 0.04 - 0.9604$

Этап 4.4.2

Вычтем $0.9604$ из $0.04$ .

$- b^{2} = - 0.9204$

Этап 4.5

Разделим каждый член $- b^{2} = - 0.9204$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Разделим каждый член $- b^{2} = - 0.9204$ на $- 1$ .

$\frac{- b^{2}}{- 1} = \frac{- 0.9204}{- 1}$

Этап 4.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{b^{2}}{1} = \frac{- 0.9204}{- 1}$

Этап 4.5.2.2

Разделим $b^{2}$ на $1$ .

$b^{2} = \frac{- 0.9204}{- 1}$

Этап 4.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.3.1

Разделим $- 0.9204$ на $- 1$ .

$b^{2} = 0.9204$

Этап 4.6

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$b = \pm \sqrt{0.9204}$

Этап 4.7

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$b = \sqrt{0.9204}$

Этап 4.7.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$b = - \sqrt{0.9204}$

Этап 4.7.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$b = \sqrt{0.9204}, - \sqrt{0.9204}$

Этап 5

$b$ — это расстояние, т. е. должно быть положительным числом.

$b = \sqrt{0.9204}$

Этап 6

Угловой коэффициент прямой, проходящей через фокус $(- 1, 2)$ и центр $(- 1, 2.2)$ определяет, является ли эллипс вертикальным или горизонтальным. Если угловой коэффициент равен $0$ , график является горизонтальным. Если угловой коэффициент не определен, график является вертикальным.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Угловой коэффициент равен отношению изменения $y$ к изменению $x$ или отношению приращения функции к приращению аргумента.

$m = \frac{изменение по y}{изменение по x}$

Этап 6.2

Изменение в $x$ равно разности координат x (также называется разностью абсцисс), а изменение в $y$ равно разности координат y (также называется разностью ординат).

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

Этап 6.3

Подставим значения $x$ и $y$ в уравнение, чтобы найти угловой коэффициент.

$m = \frac{2.2 - (2)}{- 1 - (- 1)}$

Этап 6.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{2.2 - (2)}{- 1 + 1}$

Этап 6.4.2

Добавим $- 1$ и $1$ .

$\frac{2.2 - (2)}{0}$

Этап 6.4.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

Этап 6.5

Общее уравнение вертикального эллипса: $\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$ .

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Этап 7

Подставим значения $h = - 1$ , $k = 2.2$ , $a = \sqrt{0.9604}$ и $b = \sqrt{0.9204}$ в $\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$ , чтобы получить уравнение эллипса $\frac{{(y - (2.2))}^{2}}{{(\sqrt{0.9604})}^{2}} + \frac{{(x - (- 1))}^{2}}{{(\sqrt{0.9204})}^{2}} = 1$ .

$\frac{{(y - (2.2))}^{2}}{{(\sqrt{0.9604})}^{2}} + \frac{{(x - (- 1))}^{2}}{{(\sqrt{0.9204})}^{2}} = 1$

Этап 8

Упростим, чтобы получить окончательное уравнение эллипса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим $- 1$ на $2.2$ .

$\frac{{(y - 2.2)}^{2}}{{\sqrt{0.9604}}^{2}} + \frac{{(x - (- 1))}^{2}}{{(\sqrt{0.9204})}^{2}} = 1$

Этап 8.2

Перепишем ${\sqrt{0.9604}}^{2}$ в виде $0.9604$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{0.9604}$ в виде ${0.9604}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(y - 2.2)}^{2}}{{({0.9604}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{{(x - (- 1))}^{2}}{{(\sqrt{0.9204})}^{2}} = 1$

Этап 8.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(y - 2.2)}^{2}}{{0.9604}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{{(x - (- 1))}^{2}}{{(\sqrt{0.9204})}^{2}} = 1$

Этап 8.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{{(y - 2.2)}^{2}}{{0.9604}^{\frac{2}{2}}} + \frac{{(x - (- 1))}^{2}}{{(\sqrt{0.9204})}^{2}} = 1$

Этап 8.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{{(y - 2.2)}^{2}}{{0.9604}^{\frac{2}{2}}} + \frac{{(x - (- 1))}^{2}}{{(\sqrt{0.9204})}^{2}} = 1$

Этап 8.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{{(y - 2.2)}^{2}}{0.9604} + \frac{{(x - (- 1))}^{2}}{{(\sqrt{0.9204})}^{2}} = 1$

Этап 8.2.5

Найдем экспоненту.

$\frac{{(y - 2.2)}^{2}}{0.9604} + \frac{{(x - (- 1))}^{2}}{{(\sqrt{0.9204})}^{2}} = 1$

Этап 8.3

Умножим на $1$ .

$\frac{1 {(y - 2.2)}^{2}}{0.9604} + \frac{{(x - (- 1))}^{2}}{{(\sqrt{0.9204})}^{2}} = 1$

Этап 8.4

Вынесем множитель $0.9604$ из $0.9604$ .

$\frac{1 {(y - 2.2)}^{2}}{0.9604 (1)} + \frac{{(x - (- 1))}^{2}}{{(\sqrt{0.9204})}^{2}} = 1$

Этап 8.5

Разделим дроби.

$\frac{1}{0.9604} \cdot \frac{{(y - 2.2)}^{2}}{1} + \frac{{(x - (- 1))}^{2}}{{(\sqrt{0.9204})}^{2}} = 1$

Этап 8.6

Разделим $1$ на $0.9604$ .

$1.04123281 (\frac{{(y - 2.2)}^{2}}{1}) + \frac{{(x - (- 1))}^{2}}{{(\sqrt{0.9204})}^{2}} = 1$

Этап 8.7

Разделим ${(y - 2.2)}^{2}$ на $1$ .

$1.04123281 {(y - 2.2)}^{2} + \frac{{(x - (- 1))}^{2}}{{(\sqrt{0.9204})}^{2}} = 1$

Этап 8.8

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1.04123281 {(y - 2.2)}^{2} + \frac{{(x + 1)}^{2}}{{\sqrt{0.9204}}^{2}} = 1$

Этап 8.9

Перепишем ${\sqrt{0.9204}}^{2}$ в виде $0.9204$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.9.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{0.9204}$ в виде ${0.9204}^{\frac{1}{2}}$ .

$1.04123281 {(y - 2.2)}^{2} + \frac{{(x + 1)}^{2}}{{({0.9204}^{\frac{1}{2}})}^{2}} = 1$

Этап 8.9.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1.04123281 {(y - 2.2)}^{2} + \frac{{(x + 1)}^{2}}{{0.9204}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = 1$

Этап 8.9.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$1.04123281 {(y - 2.2)}^{2} + \frac{{(x + 1)}^{2}}{{0.9204}^{\frac{2}{2}}} = 1$

Этап 8.9.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.9.4.1

Сократим общий множитель.

$1.04123281 {(y - 2.2)}^{2} + \frac{{(x + 1)}^{2}}{{0.9204}^{\frac{2}{2}}} = 1$

Этап 8.9.4.2

Перепишем это выражение.

$1.04123281 {(y - 2.2)}^{2} + \frac{{(x + 1)}^{2}}{0.9204} = 1$

Этап 8.9.5

Найдем экспоненту.

$1.04123281 {(y - 2.2)}^{2} + \frac{{(x + 1)}^{2}}{0.9204} = 1$

Этап 8.10

Умножим на $1$ .

$1.04123281 {(y - 2.2)}^{2} + \frac{1 {(x + 1)}^{2}}{0.9204} = 1$

Этап 8.11

Вынесем множитель $0.9204$ из $0.9204$ .

$1.04123281 {(y - 2.2)}^{2} + \frac{1 {(x + 1)}^{2}}{0.9204 (1)} = 1$

Этап 8.12

Разделим дроби.

$1.04123281 {(y - 2.2)}^{2} + \frac{1}{0.9204} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{1} = 1$

Этап 8.13

Разделим $1$ на $0.9204$ .

$1.04123281 {(y - 2.2)}^{2} + 1.08648413 (\frac{{(x + 1)}^{2}}{1}) = 1$

Этап 8.14

Разделим ${(x + 1)}^{2}$ на $1$ .

$1.04123281 {(y - 2.2)}^{2} + 1.08648413 {(x + 1)}^{2} = 1$

Этап 9