Алгебра Примеры

$\sqrt{x + 3} > \sqrt{4 - x}$

Этап 1

Решим $\frac{1}{2} < x < 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части неравенства, возведем обе части неравенства в квадрат.

${\sqrt{x + 3}}^{2} > {\sqrt{4 - x}}^{2}$

Этап 1.2

Упростим каждую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + 3}$ в виде ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > {\sqrt{4 - x}}^{2}$

Этап 1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Упростим ${({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {\sqrt{4 - x}}^{2}$

Этап 1.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {\sqrt{4 - x}}^{2}$

Этап 1.2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(x + 3)}^{1} > {\sqrt{4 - x}}^{2}$

Этап 1.2.2.1.2

Упростим.

$x + 3 > {\sqrt{4 - x}}^{2}$

Этап 1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Перепишем ${\sqrt{4 - x}}^{2}$ в виде $4 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{4 - x}$ в виде ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x + 3 > {({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 1.2.3.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x + 3 > {(4 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Этап 1.2.3.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x + 3 > {(4 - x)}^{\frac{2}{2}}$

Этап 1.2.3.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.4.1

Сократим общий множитель.

$x + 3 > {(4 - x)}^{\frac{2}{2}}$

Этап 1.2.3.1.4.2

Перепишем это выражение.

$x + 3 > {(4 - x)}^{1}$

Этап 1.2.3.1.5

Упростим.

$x + 3 > 4 - x$

Этап 1.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Добавим $x$ к обеим частям неравенства.

$x + 3 + x > 4$

Этап 1.3.1.2

Добавим $x$ и $x$ .

$2 x + 3 > 4$

Этап 1.3.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Вычтем $3$ из обеих частей неравенства.

$2 x > 4 - 3$

Этап 1.3.2.2

Вычтем $3$ из $4$ .

$2 x > 1$

Этап 1.3.3

Разделим каждый член $2 x > 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Разделим каждый член $2 x > 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} > \frac{1}{2}$

Этап 1.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} > \frac{1}{2}$

Этап 1.3.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x > \frac{1}{2}$

Этап 1.4

Найдем область определения $\sqrt{x + 3} - \sqrt{4 - x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x + 3}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x + 3 \geq 0$

Этап 1.4.2

Вычтем $3$ из обеих частей неравенства.

$x \geq - 3$

Этап 1.4.3

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{4 - x}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$4 - x \geq 0$

Этап 1.4.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.4.1

Вычтем $4$ из обеих частей неравенства.

$- x \geq - 4$

Этап 1.4.4.2

Разделим каждый член $- x \geq - 4$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.4.2.1

Разделим каждый член $- x \geq - 4$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Этап 1.4.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.4.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Этап 1.4.4.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \leq \frac{- 4}{- 1}$

Этап 1.4.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.4.2.3.1

Разделим $- 4$ на $- 1$ .

$x \leq 4$

Этап 1.4.5

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$[- 3, 4]$

Этап 1.5

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 3$

$- 3 < x < \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} < x < 4$

$x > 4$

Этап 1.6

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Проверим значение на интервале $x < - 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 6$

Этап 1.6.1.2

Заменим $x$ на $- 6$ в исходном неравенстве.

$\sqrt{(- 6) + 3} > \sqrt{4 - (- 6)}$

Этап 1.6.1.3

Левая часть не равна правой части. Это означает, что данное утверждение ложно.

False

Этап 1.6.2

Проверим значение на интервале $- 3 < x < \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.2.1

Выберем значение на интервале $- 3 < x < \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 1.6.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\sqrt{(0) + 3} > \sqrt{4 - (0)}$

Этап 1.6.2.3

Левая часть $1.7320508$ не больше правой части $2$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 1.6.3

Проверим значение на интервале $\frac{1}{2} < x < 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.3.1

Выберем значение на интервале $\frac{1}{2} < x < 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 1.6.3.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

$\sqrt{(2) + 3} > \sqrt{4 - (2)}$

Этап 1.6.3.3

Левая часть $2.23606797$ больше правой части $1.41421356$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 1.6.4

Проверим значение на интервале $x > 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.4.1

Выберем значение на интервале $x > 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 1.6.4.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

$\sqrt{(6) + 3} > \sqrt{4 - (6)}$

Этап 1.6.4.3

Левая часть не равна правой части. Это означает, что данное утверждение ложно.

False

Этап 1.6.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 3$ Ложь

$- 3 < x < \frac{1}{2}$ Ложь

$\frac{1}{2} < x < 4$ Истина

$x > 4$ Ложь

$x < - 3$ Ложь

$- 3 < x < \frac{1}{2}$ Ложь

$\frac{1}{2} < x < 4$ Истина

$x > 4$ Ложь

Этап 1.7

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$\frac{1}{2} < x < 4$

Этап 2

Используем неравенство $\frac{1}{2} < x < 4$ для построения формы записи множества.

${x | \frac{1}{2} < x < 4}$

Этап 3