Алгебра Примеры

$v (r) = \frac{4}{3} π r^{3}$

Этап 1

Упростим $\frac{4}{3} \cdot (π r^{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим $\frac{4}{3} (π r^{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Объединим $π$ и $\frac{4}{3}$ .

$v r = \frac{π \cdot 4}{3} r^{3}$

Этап 1.1.2

Объединим $\frac{π \cdot 4}{3}$ и $r^{3}$ .

$v r = \frac{π \cdot 4 r^{3}}{3}$

Этап 1.2

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$v r = \frac{4 π r^{3}}{3}$

Этап 2

Вычтем $\frac{4 π r^{3}}{3}$ из обеих частей уравнения.

$v r - \frac{4 π r^{3}}{3} = 0$

Этап 3

Вынесем множитель $r$ из $v r - \frac{4 π r^{3}}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $r$ из $v r$ .

$r v - \frac{4 π r^{3}}{3} = 0$

Этап 3.2

Вынесем множитель $r$ из $- \frac{4 π r^{3}}{3}$ .

$r v + r (- \frac{4 π r^{2}}{3}) = 0$

Этап 3.3

Вынесем множитель $r$ из $r v + r (- \frac{4 π r^{2}}{3})$ .

$r (v - \frac{4 π r^{2}}{3}) = 0$

Этап 4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$r = 0$

$v - \frac{4 π r^{2}}{3} = 0$

Этап 5

Приравняем $r$ к $0$ .

$r = 0$

Этап 6

Приравняем $v - \frac{4 π r^{2}}{3}$ к $0$ , затем решим относительно $r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $v - \frac{4 π r^{2}}{3}$ к $0$ .

$v - \frac{4 π r^{2}}{3} = 0$

Этап 6.2

Решим $v - \frac{4 π r^{2}}{3} = 0$ относительно $r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вычтем $v$ из обеих частей уравнения.

$- \frac{4 π r^{2}}{3} = - v$

Этап 6.2.2

Умножим обе части уравнения на $- \frac{3}{4 π}$ .

$- \frac{3}{4 π} (- \frac{4 π r^{2}}{3}) = - \frac{3}{4 π} (- v)$

Этап 6.2.3

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.1

Упростим $- \frac{3}{4 π} (- \frac{4 π r^{2}}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{3}{4 π}$ в числитель.

$\frac{- 3}{4 π} (- \frac{4 π r^{2}}{3}) = - \frac{3}{4 π} (- v)$

Этап 6.2.3.1.1.1.2

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{4 π r^{2}}{3}$ в числитель.

$\frac{- 3}{4 π} \cdot \frac{- 4 π r^{2}}{3} = - \frac{3}{4 π} (- v)$

Этап 6.2.3.1.1.1.3

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$\frac{3 (- 1)}{4 π} \cdot \frac{- 4 π r^{2}}{3} = - \frac{3}{4 π} (- v)$

Этап 6.2.3.1.1.1.4

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot - 1}{4 π} \cdot \frac{- 4 π r^{2}}{3} = - \frac{3}{4 π} (- v)$

Этап 6.2.3.1.1.1.5

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{4 π} (- 4 π r^{2}) = - \frac{3}{4 π} (- v)$

Этап 6.2.3.1.1.2

Сократим общий множитель $4 π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $4 π$ из $- 4 π r^{2}$ .

$\frac{- 1}{4 π} (4 π (- 1 r^{2})) = - \frac{3}{4 π} (- v)$

Этап 6.2.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{4 π} (4 π (- 1 r^{2})) = - \frac{3}{4 π} (- v)$

Этап 6.2.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$- (- 1 r^{2}) = - \frac{3}{4 π} (- v)$

Этап 6.2.3.1.1.3

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 r^{2} = - \frac{3}{4 π} (- v)$

Этап 6.2.3.1.1.3.2

Умножим $r^{2}$ на $1$ .

$r^{2} = - \frac{3}{4 π} (- v)$

Этап 6.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.2.1

Умножим $- \frac{3}{4 π} (- v)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.2.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$r^{2} = 1 \frac{3}{4 π} v$

Этап 6.2.3.2.1.2

Умножим $\frac{3}{4 π}$ на $1$ .

$r^{2} = \frac{3}{4 π} v$

Этап 6.2.3.2.1.3

Объединим $\frac{3}{4 π}$ и $v$ .

$r^{2} = \frac{3 v}{4 π}$

Этап 6.2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$r = \pm \sqrt{\frac{3 v}{4 π}}$

Этап 6.2.5

Упростим $\pm \sqrt{\frac{3 v}{4 π}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.1

Перепишем $\frac{3 v}{4 π}$ в виде ${(\frac{1}{2})}^{2} \frac{3 v}{π}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.1.1

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $3 v$ .

$r = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (3 v)}{4 π}}$

Этап 6.2.5.1.2

Вынесем полную степень $2^{2}$ из $4 π$ .

$r = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (3 v)}{2^{2} π}}$

Этап 6.2.5.1.3

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} (3 v)}{2^{2} π}$ .

$r = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} \frac{3 v}{π}}$

Этап 6.2.5.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$r = \pm \frac{1}{2} \sqrt{\frac{3 v}{π}}$

Этап 6.2.5.3

Перепишем $\sqrt{\frac{3 v}{π}}$ в виде $\frac{\sqrt{3 v}}{\sqrt{π}}$ .

$r = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3 v}}{\sqrt{π}}$

Этап 6.2.5.4

Умножим $\frac{\sqrt{3 v}}{\sqrt{π}}$ на $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{π}}$ .

$r = \pm \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3 v}}{\sqrt{π}} \cdot \frac{\sqrt{π}}{\sqrt{π}})$

Этап 6.2.5.5

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.5.1

Умножим $\frac{\sqrt{3 v}}{\sqrt{π}}$ на $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{π}}$ .

$r = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3 v} \sqrt{π}}{\sqrt{π} \sqrt{π}}$

Этап 6.2.5.5.2

Возведем $\sqrt{π}$ в степень $1$ .

$r = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3 v} \sqrt{π}}{{\sqrt{π}}^{1} \sqrt{π}}$

Этап 6.2.5.5.3

Возведем $\sqrt{π}$ в степень $1$ .

$r = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3 v} \sqrt{π}}{{\sqrt{π}}^{1} {\sqrt{π}}^{1}}$

Этап 6.2.5.5.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$r = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3 v} \sqrt{π}}{{\sqrt{π}}^{1 + 1}}$

Этап 6.2.5.5.5

Добавим $1$ и $1$ .

$r = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3 v} \sqrt{π}}{{\sqrt{π}}^{2}}$

Этап 6.2.5.5.6

Перепишем ${\sqrt{π}}^{2}$ в виде $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.5.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{π}$ в виде $π^{\frac{1}{2}}$ .

$r = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3 v} \sqrt{π}}{{(π^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 6.2.5.5.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3 v} \sqrt{π}}{π^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 6.2.5.5.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$r = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3 v} \sqrt{π}}{π^{\frac{2}{2}}}$

Этап 6.2.5.5.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.5.6.4.1

Сократим общий множитель.

$r = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3 v} \sqrt{π}}{π^{\frac{2}{2}}}$

Этап 6.2.5.5.6.4.2

Перепишем это выражение.

$r = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3 v} \sqrt{π}}{π^{1}}$

Этап 6.2.5.5.6.5

Упростим.

$r = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3 v} \sqrt{π}}{π}$

Этап 6.2.5.6

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$r = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3 v π}}{π}$

Этап 6.2.5.7

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{\sqrt{3 v π}}{π}$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{3 v π}}{2 π}$

Этап 6.2.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$r = \frac{\sqrt{3 v π}}{2 π}$

Этап 6.2.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$r = - \frac{\sqrt{3 v π}}{2 π}$

Этап 6.2.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$r = \frac{\sqrt{3 v π}}{2 π}$

$r = - \frac{\sqrt{3 v π}}{2 π}$

$r = \frac{\sqrt{3 v π}}{2 π}$

$r = - \frac{\sqrt{3 v π}}{2 π}$

$r = \frac{\sqrt{3 v π}}{2 π}$

$r = - \frac{\sqrt{3 v π}}{2 π}$

$r = \frac{\sqrt{3 v π}}{2 π}$

$r = - \frac{\sqrt{3 v π}}{2 π}$

Этап 7

Окончательным решением являются все значения, при которых $r (v - \frac{4 π r^{2}}{3}) = 0$ верно.

$r = 0$

$r = \frac{\sqrt{3 v π}}{2 π}$

$r = - \frac{\sqrt{3 v π}}{2 π}$

Этап 8

Чтобы привести выражение к виду функции от переменной $v$ , перепишем уравнение, поместив $r$ с одной стороны от знака равенства, а выражение, которое зависит только от $v$ , с другой стороны.

$f (v) = 0, \frac{\sqrt{3 v π}}{2 π}, - \frac{\sqrt{3 v π}}{2 π}$