Алгебра Примеры

$q (3) = \frac{1}{x^{2} - 9}$

Этап 1

Перепишем уравнение в виде $\frac{1}{x^{2} - 9} = q (3)$ .

$\frac{1}{x^{2} - 9} = q (3)$

Этап 2

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} - 3^{2}} = q (3)$

Этап 2.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 3$ .

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} = q (3)$

Этап 3

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$(x + 3) (x - 3), 1$

Этап 3.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$(x + 3) (x - 3)$

Этап 4

Каждый член в $\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} = q (3)$ умножим на $(x + 3) (x - 3)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим каждый член $\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} = q (3)$ на $(x + 3) (x - 3)$ .

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} ((x + 3) (x - 3)) = q (3) ((x + 3) (x - 3))$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $(x + 3) (x - 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} ((x + 3) (x - 3)) = q (3) ((x + 3) (x - 3))$

Этап 4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$1 = q (3) ((x + 3) (x - 3))$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Перенесем $3$ влево от $q$ .

$1 = 3 q ((x + 3) (x - 3))$

Этап 4.3.2

Развернем $(x + 3) (x - 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = 3 q (x (x - 3) + 3 (x - 3))$

Этап 4.3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = 3 q (x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 (x - 3))$

Этап 4.3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = 3 q (x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3)$

Этап 4.3.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Объединим противоположные члены в $x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1.1

Изменим порядок множителей в членах $x \cdot - 3$ и $3 x$ .

$1 = 3 q (x \cdot x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3)$

Этап 4.3.3.1.2

Добавим $- 3 x$ и $3 x$ .

$1 = 3 q (x \cdot x + 0 + 3 \cdot - 3)$

Этап 4.3.3.1.3

Добавим $x \cdot x$ и $0$ .

$1 = 3 q (x \cdot x + 3 \cdot - 3)$

Этап 4.3.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.1

Умножим $x$ на $x$ .

$1 = 3 q (x^{2} + 3 \cdot - 3)$

Этап 4.3.3.2.2

Умножим $3$ на $- 3$ .

$1 = 3 q (x^{2} - 9)$

Этап 4.3.3.3

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = 3 q x^{2} + 3 q \cdot - 9$

Этап 4.3.3.3.2

Умножим $- 9$ на $3$ .

$1 = 3 q x^{2} - 27 q$

Этап 5

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $3 q x^{2} - 27 q = 1$ .

$3 q x^{2} - 27 q = 1$

Этап 5.2

Добавим $27 q$ к обеим частям уравнения.

$3 q x^{2} = 1 + 27 q$

Этап 5.3

Разделим каждый член $3 q x^{2} = 1 + 27 q$ на $3 q$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $3 q x^{2} = 1 + 27 q$ на $3 q$ .

$\frac{3 q x^{2}}{3 q} = \frac{1}{3 q} + \frac{27 q}{3 q}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 q x^{2}}{3 q} = \frac{1}{3 q} + \frac{27 q}{3 q}$

Этап 5.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{q x^{2}}{q} = \frac{1}{3 q} + \frac{27 q}{3 q}$

Этап 5.3.2.2

Сократим общий множитель $q$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{q x^{2}}{q} = \frac{1}{3 q} + \frac{27 q}{3 q}$

Этап 5.3.2.2.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{3 q} + \frac{27 q}{3 q}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Сократим общий множитель $27$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $27 q$ .

$x^{2} = \frac{1}{3 q} + \frac{3 (9 q)}{3 q}$

Этап 5.3.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 q$ .

$x^{2} = \frac{1}{3 q} + \frac{3 (9 q)}{3 (q)}$

Этап 5.3.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x^{2} = \frac{1}{3 q} + \frac{3 (9 q)}{3 q}$

Этап 5.3.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x^{2} = \frac{1}{3 q} + \frac{9 q}{q}$

Этап 5.3.3.1.2

Сократим общий множитель $q$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{2} = \frac{1}{3 q} + \frac{9 q}{q}$

Этап 5.3.3.1.2.2

Разделим $9$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{3 q} + 9$

Этап 5.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{3 q} + 9}$

Этап 5.5

Упростим $\pm \sqrt{\frac{1}{3 q} + 9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Чтобы записать $9$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3 q}{3 q}$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{3 q} + 9 \cdot \frac{3 q}{3 q}}$

Этап 5.5.2

Объединим $9$ и $\frac{3 q}{3 q}$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{3 q} + \frac{9 (3 q)}{3 q}}$

Этап 5.5.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \pm \sqrt{\frac{1 + 9 (3 q)}{3 q}}$

Этап 5.5.4

Умножим $9$ на $3$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{1 + 27 q}{3 q}}$

Этап 5.5.5

Перепишем $\sqrt{\frac{1 + 27 q}{3 q}}$ в виде $\frac{\sqrt{1 + 27 q}}{\sqrt{3 q}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + 27 q}}{\sqrt{3 q}}$

Этап 5.5.6

Умножим $\frac{\sqrt{1 + 27 q}}{\sqrt{3 q}}$ на $\frac{\sqrt{3 q}}{\sqrt{3 q}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + 27 q}}{\sqrt{3 q}} \cdot \frac{\sqrt{3 q}}{\sqrt{3 q}}$

Этап 5.5.7

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.7.1

Умножим $\frac{\sqrt{1 + 27 q}}{\sqrt{3 q}}$ на $\frac{\sqrt{3 q}}{\sqrt{3 q}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + 27 q} \sqrt{3 q}}{\sqrt{3 q} \sqrt{3 q}}$

Этап 5.5.7.2

Возведем $\sqrt{3 q}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + 27 q} \sqrt{3 q}}{{\sqrt{3 q}}^{1} \sqrt{3 q}}$

Этап 5.5.7.3

Возведем $\sqrt{3 q}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + 27 q} \sqrt{3 q}}{{\sqrt{3 q}}^{1} {\sqrt{3 q}}^{1}}$

Этап 5.5.7.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + 27 q} \sqrt{3 q}}{{\sqrt{3 q}}^{1 + 1}}$

Этап 5.5.7.5

Добавим $1$ и $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + 27 q} \sqrt{3 q}}{{\sqrt{3 q}}^{2}}$

Этап 5.5.7.6

Перепишем ${\sqrt{3 q}}^{2}$ в виде $3 q$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.7.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3 q}$ в виде ${(3 q)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + 27 q} \sqrt{3 q}}{{({(3 q)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 5.5.7.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + 27 q} \sqrt{3 q}}{{(3 q)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 5.5.7.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + 27 q} \sqrt{3 q}}{{(3 q)}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.5.7.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.7.6.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + 27 q} \sqrt{3 q}}{{(3 q)}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.5.7.6.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + 27 q} \sqrt{3 q}}{{(3 q)}^{1}}$

Этап 5.5.7.6.5

Упростим.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + 27 q} \sqrt{3 q}}{3 q}$

Этап 5.5.8

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$x = \pm \frac{\sqrt{(1 + 27 q) \cdot 3 q}}{3 q}$

Этап 5.5.9

Изменим порядок множителей в $\pm \frac{\sqrt{(1 + 27 q) \cdot 3 q}}{3 q}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 q (1 + 27 q)}}{3 q}$

Этап 5.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{\sqrt{3 q (1 + 27 q)}}{3 q}$

Этап 5.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{\sqrt{3 q (1 + 27 q)}}{3 q}$

Этап 5.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{\sqrt{3 q (1 + 27 q)}}{3 q}$

$x = - \frac{\sqrt{3 q (1 + 27 q)}}{3 q}$

$x = \frac{\sqrt{3 q (1 + 27 q)}}{3 q}$

$x = - \frac{\sqrt{3 q (1 + 27 q)}}{3 q}$

$x = \frac{\sqrt{3 q (1 + 27 q)}}{3 q}$

$x = - \frac{\sqrt{3 q (1 + 27 q)}}{3 q}$

Этап 6

Чтобы привести выражение к виду функции от переменной $q$ , перепишем уравнение, поместив $x$ с одной стороны от знака равенства, а выражение, которое зависит только от $q$ , с другой стороны.

$f (q) = \frac{\sqrt{3 q (1 + 27 q)}}{3 q}, - \frac{\sqrt{3 q (1 + 27 q)}}{3 q}$