Алгебра Примеры

$\log_{2} (\log_{2} (\sqrt{4 x})) = 1$

Этап 1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\log_{2} (\log_{2} (\sqrt{4 x})) - 1 = 0$

Этап 2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\log_{2} (\log_{2} (\sqrt{2^{2} x})) - 1 = 0$

Этап 2.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\log_{2} (\log_{2} (2 \sqrt{x})) - 1 = 0$

Этап 3

Зададим аргумент в $\log_{2} (2 \sqrt{x})$ меньшим или равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$2 \sqrt{x} \leq 0$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части неравенства, возведем обе части неравенства в квадрат.

${(2 \sqrt{x})}^{2} \leq 0^{2}$

Этап 4.2

Упростим каждую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 0^{2}$

Этап 4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим ${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Применим правило умножения к $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 0^{2}$

Этап 4.2.2.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 0^{2}$

Этап 4.2.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 0^{2}$

Этап 4.2.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 0^{2}$

Этап 4.2.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$4 x^{1} \leq 0^{2}$

Этап 4.2.2.1.4

Упростим.

$4 x \leq 0^{2}$

Этап 4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$4 x \leq 0$

Этап 4.3

Разделим каждый член $4 x \leq 0$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Разделим каждый член $4 x \leq 0$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} \leq \frac{0}{4}$

Этап 4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} \leq \frac{0}{4}$

Этап 4.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \leq \frac{0}{4}$

Этап 4.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Разделим $0$ на $4$ .

$x \leq 0$

Этап 5

Зададим аргумент в $\log_{2} (\log_{2} (2 \sqrt{x}))$ меньшим или равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\log_{2} (2 \sqrt{x}) \leq 0$

Этап 6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Преобразуем неравенство в равенство.

$\log_{2} (2 \sqrt{x}) = 0$

Этап 6.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Перепишем $\log_{2} (2 \sqrt{x}) = 0$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$2^{0} = 2 \sqrt{x}$

Этап 6.2.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Перепишем уравнение в виде $2 \sqrt{x} = 2^{0}$ .

$2 \sqrt{x} = 2^{0}$

Этап 6.2.2.2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(2 \sqrt{x})}^{2} = {(2^{0})}^{2}$

Этап 6.2.2.3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2^{0})}^{2}$

Этап 6.2.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.3.2.1

Упростим ${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.3.2.1.1

Применим правило умножения к $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2^{0})}^{2}$

Этап 6.2.2.3.2.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2^{0})}^{2}$

Этап 6.2.2.3.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.3.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2^{0})}^{2}$

Этап 6.2.2.3.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.3.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2^{0})}^{2}$

Этап 6.2.2.3.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$4 x^{1} = {(2^{0})}^{2}$

Этап 6.2.2.3.2.1.4

Упростим.

$4 x = {(2^{0})}^{2}$

Этап 6.2.2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.3.3.1

Упростим ${(2^{0})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.3.3.1.1

Перемножим экспоненты в ${(2^{0})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.3.3.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x = 2^{0 \cdot 2}$

Этап 6.2.2.3.3.1.1.2

Умножим $0$ на $2$ .

$4 x = 2^{0}$

Этап 6.2.2.3.3.1.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$4 x = 1$

Этап 6.2.2.4

Разделим каждый член $4 x = 1$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.4.1

Разделим каждый член $4 x = 1$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Этап 6.2.2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.4.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Этап 6.2.2.4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{4}$

Этап 6.3

Найдем область определения $\log_{2} (2 \sqrt{x})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Зададим аргумент в $\log_{2} (2 \sqrt{x})$ большим $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$2 \sqrt{x} > 0$

Этап 6.3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части неравенства, возведем обе части неравенства в квадрат.

${(2 \sqrt{x})}^{2} > 0^{2}$

Этап 6.3.2.2

Упростим каждую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Этап 6.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.2.1

Упростим ${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.2.1.1

Применим правило умножения к $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Этап 6.3.2.2.2.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Этап 6.3.2.2.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} > 0^{2}$

Этап 6.3.2.2.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} > 0^{2}$

Этап 6.3.2.2.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$4 x^{1} > 0^{2}$

Этап 6.3.2.2.2.1.4

Упростим.

$4 x > 0^{2}$

Этап 6.3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$4 x > 0$

Этап 6.3.2.3

Разделим каждый член $4 x > 0$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.3.1

Разделим каждый член $4 x > 0$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} > \frac{0}{4}$

Этап 6.3.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.3.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} > \frac{0}{4}$

Этап 6.3.2.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x > \frac{0}{4}$

Этап 6.3.2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.3.3.1

Разделим $0$ на $4$ .

$x > 0$

Этап 6.3.2.4

Найдем область определения $2 \sqrt{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.4.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x \geq 0$

Этап 6.3.2.4.2

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$[0, \infty)$

Этап 6.3.2.5

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x > 0$

Этап 6.3.3

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x \geq 0$

Этап 6.3.4

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(0, \infty)$

Этап 6.4

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 0$

$0 < x < \frac{1}{4}$

$x > \frac{1}{4}$

Этап 6.5

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Проверим значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1.1

Выберем значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 6.5.1.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

$\log_{2} (2 \sqrt{- 2}) \leq 0$

Этап 6.5.1.3

Левая часть не равна правой части. Это означает, что данное утверждение ложно.

False

Этап 6.5.2

Проверим значение на интервале $0 < x < \frac{1}{4}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Выберем значение на интервале $0 < x < \frac{1}{4}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0.12$

Этап 6.5.2.2

Заменим $x$ на $0.12$ в исходном неравенстве.

$\log_{2} (2 \sqrt{0.12}) \leq 0$

Этап 6.5.2.3

Левая часть $- 0.52944684$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 6.5.3

Проверим значение на интервале $x > \frac{1}{4}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.3.1

Выберем значение на интервале $x > \frac{1}{4}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 3$

Этап 6.5.3.2

Заменим $x$ на $3$ в исходном неравенстве.

$\log_{2} (2 \sqrt{3}) \leq 0$

Этап 6.5.3.3

Левая часть $1.79248125$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 6.5.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 0$ Ложь

$0 < x < \frac{1}{4}$ Истина

$x > \frac{1}{4}$ Ложь

$x < 0$ Ложь

$0 < x < \frac{1}{4}$ Истина

$x > \frac{1}{4}$ Ложь

Этап 6.6

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$0 < x \leq \frac{1}{4}$

Этап 7

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x}$ меньшим $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x < 0$

Этап 8

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x \leq \frac{1}{4}$

$(- \infty, \frac{1}{4}]$

Этап 9