Алгебра Примеры

$q (x) = 3 x^{4} - 2 x^{3} - 7 x^{2} + 4 x + 2$

Этап 1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 3$

Этап 2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm \frac{1}{3}, \pm 2, \pm \frac{2}{3}$

Этап 3

Подставим возможные корни поочередно в многочлен, чтобы найти фактические корни. Упростим и убедимся, что это значение равно $0$ , значит, это корень.

$3 {(1)}^{4} - 2 {(1)}^{3} - 7 {(1)}^{2} + 4 (1) + 2$

Этап 4

Упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $x = 1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$3 \cdot 1 - 2 {(1)}^{3} - 7 {(1)}^{2} + 4 (1) + 2$

Этап 4.1.2

Умножим $3$ на $1$ .

$3 - 2 {(1)}^{3} - 7 {(1)}^{2} + 4 (1) + 2$

Этап 4.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$3 - 2 \cdot 1 - 7 {(1)}^{2} + 4 (1) + 2$

Этап 4.1.4

Умножим $- 2$ на $1$ .

$3 - 2 - 7 {(1)}^{2} + 4 (1) + 2$

Этап 4.1.5

Единица в любой степени равна единице.

$3 - 2 - 7 \cdot 1 + 4 (1) + 2$

Этап 4.1.6

Умножим $- 7$ на $1$ .

$3 - 2 - 7 + 4 (1) + 2$

Этап 4.1.7

Умножим $4$ на $1$ .

$3 - 2 - 7 + 4 + 2$

Этап 4.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $2$ из $3$ .

$1 - 7 + 4 + 2$

Этап 4.2.2

Вычтем $7$ из $1$ .

$- 6 + 4 + 2$

Этап 4.2.3

Добавим $- 6$ и $4$ .

$- 2 + 2$

Этап 4.2.4

Добавим $- 2$ и $2$ .

$0$

Этап 5

Поскольку $1$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{3 x^{4} - 2 x^{3} - 7 x^{2} + 4 x + 2}{x - 1}$

Этап 6

Затем найдем корни оставшегося многочлена. Порядок многочлена был уменьшен на $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$1$	$3$	$- 2$	$- 7$	$4$	$2$

Этап 6.2

Первое число в делимом $(3)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$1$	$3$	$- 2$	$- 7$	$4$	$2$

	$3$

Этап 6.3

Умножим последний элемент в области результата $(3)$ на делитель $(1)$ и запишем их произведение $(3)$ под следующим членом делимого $(- 2)$ .

$1$	$3$	$- 2$	$- 7$	$4$	$2$
		$3$
	$3$

Этап 6.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$1$	$3$	$- 2$	$- 7$	$4$	$2$
		$3$
	$3$	$1$

Этап 6.5

Умножим последний элемент в области результата $(1)$ на делитель $(1)$ и запишем их произведение $(1)$ под следующим членом делимого $(- 7)$ .

$1$	$3$	$- 2$	$- 7$	$4$	$2$
		$3$	$1$
	$3$	$1$

Этап 6.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$1$	$3$	$- 2$	$- 7$	$4$	$2$
		$3$	$1$
	$3$	$1$	$- 6$

Этап 6.7

Умножим последний элемент в области результата $(- 6)$ на делитель $(1)$ и запишем их произведение $(- 6)$ под следующим членом делимого $(4)$ .

$1$	$3$	$- 2$	$- 7$	$4$	$2$
		$3$	$1$	$- 6$
	$3$	$1$	$- 6$

Этап 6.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$1$	$3$	$- 2$	$- 7$	$4$	$2$
		$3$	$1$	$- 6$
	$3$	$1$	$- 6$	$- 2$

Этап 6.9

Умножим последний элемент в области результата $(- 2)$ на делитель $(1)$ и запишем их произведение $(- 2)$ под следующим членом делимого $(2)$ .

$1$	$3$	$- 2$	$- 7$	$4$	$2$
		$3$	$1$	$- 6$	$- 2$
	$3$	$1$	$- 6$	$- 2$

Этап 6.10

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$1$	$3$	$- 2$	$- 7$	$4$	$2$
		$3$	$1$	$- 6$	$- 2$
	$3$	$1$	$- 6$	$- 2$	$0$

Этап 6.11

Все числа, кроме последнего, становятся коэффициентами фактор-многочлена. Последнее значение в строке результатов — это остаток.

$3 x^{3} + 1 x^{2} + (- 6) x - 2$

Этап 6.12

Упростим частное многочленов.

$3 x^{3} + x^{2} - 6 x - 2$

Этап 7

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(x - 1) (3 x^{3} + x^{2}) - 6 x - 2$

Этап 7.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(x - 1) + x^{2} (3 x + 1) - 2 (3 x + 1)$

$(x - 1) x^{2} (3 x + 1) - 2 (3 x + 1)$

Этап 8

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 x + 1$ .

$(x - 1) (3 x + 1) (x^{2} - 2)$

Этап 9

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перегруппируем члены.

$- 2 x^{3} + 4 x + 3 x^{4} - 7 x^{2} + 2 = 0$

Этап 9.2

Вынесем множитель $- 2 x$ из $- 2 x^{3} + 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Вынесем множитель $- 2 x$ из $- 2 x^{3}$ .

$- 2 x \cdot x^{2} + 4 x + 3 x^{4} - 7 x^{2} + 2 = 0$

Этап 9.2.2

Вынесем множитель $- 2 x$ из $4 x$ .

$- 2 x \cdot x^{2} - 2 x \cdot - 2 + 3 x^{4} - 7 x^{2} + 2 = 0$

Этап 9.2.3

Вынесем множитель $- 2 x$ из $- 2 x (x^{2}) - 2 x (- 2)$ .

$- 2 x (x^{2} - 2) + 3 x^{4} - 7 x^{2} + 2 = 0$

Этап 9.3

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 2 x (x^{2} - 2) + 3 {(x^{2})}^{2} - 7 x^{2} + 2 = 0$

Этап 9.4

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$- 2 x (x^{2} - 2) + 3 u^{2} - 7 u + 2 = 0$

Этап 9.5

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot 2 = 6$ , а сумма — $b = - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1.1

Вынесем множитель $- 7$ из $- 7 u$ .

$- 2 x (x^{2} - 2) + 3 u^{2} - 7 u + 2 = 0$

Этап 9.5.1.2

Запишем $- 7$ как $- 1$ плюс $- 6$

$- 2 x (x^{2} - 2) + 3 u^{2} + (- 1 - 6) u + 2 = 0$

Этап 9.5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 x (x^{2} - 2) + 3 u^{2} - 1 u - 6 u + 2 = 0$

Этап 9.5.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$- 2 x (x^{2} - 2) + 3 u^{2} - 1 u - 6 u + 2 = 0$

Этап 9.5.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$- 2 x (x^{2} - 2) + u (3 u - 1) - 2 (3 u - 1) = 0$

Этап 9.5.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 u - 1$ .

$- 2 x (x^{2} - 2) + (3 u - 1) (u - 2) = 0$

Этап 9.6

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$- 2 x (x^{2} - 2) + (3 x^{2} - 1) (x^{2} - 2) = 0$

Этап 9.7

Вынесем множитель $x^{2} - 2$ из $- 2 x (x^{2} - 2) + (3 x^{2} - 1) (x^{2} - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.7.1

Вынесем множитель $x^{2} - 2$ из $- 2 x (x^{2} - 2)$ .

$(x^{2} - 2) (- 2 x) + (3 x^{2} - 1) (x^{2} - 2) = 0$

Этап 9.7.2

Вынесем множитель $x^{2} - 2$ из $(3 x^{2} - 1) (x^{2} - 2)$ .

$(x^{2} - 2) (- 2 x) + (x^{2} - 2) (3 x^{2} - 1) = 0$

Этап 9.7.3

Вынесем множитель $x^{2} - 2$ из $(x^{2} - 2) (- 2 x) + (x^{2} - 2) (3 x^{2} - 1)$ .

$(x^{2} - 2) (- 2 x + 3 x^{2} - 1) = 0$

Этап 9.8

Пусть $u = x$ . Подставим $u$ вместо $x$ для всех.

$(x^{2} - 2) (- 2 u + 3 u^{2} - 1) = 0$

Этап 9.9

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.9.1

Изменим порядок членов.

$(x^{2} - 2) (3 u^{2} - 2 u - 1) = 0$

Этап 9.9.2

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot - 1 = - 3$ , а сумма — $b = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.9.2.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 u$ .

$(x^{2} - 2) (3 u^{2} - 2 u - 1) = 0$

Этап 9.9.2.2

Запишем $- 2$ как $1$ плюс $- 3$

$(x^{2} - 2) (3 u^{2} + (1 - 3) u - 1) = 0$

Этап 9.9.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(x^{2} - 2) (3 u^{2} + 1 u - 3 u - 1) = 0$

Этап 9.9.2.4

Умножим $u$ на $1$ .

$(x^{2} - 2) (3 u^{2} + u - 3 u - 1) = 0$

Этап 9.9.3

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.9.3.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(x^{2} - 2) ((3 u^{2} + u) - 3 u - 1) = 0$

Этап 9.9.3.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(x^{2} - 2) (u (3 u + 1) - (3 u + 1)) = 0$

Этап 9.9.4

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 u + 1$ .

$(x^{2} - 2) ((3 u + 1) (u - 1)) = 0$

Этап 9.10

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.10.1

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$(x^{2} - 2) ((3 x + 1) (x - 1)) = 0$

Этап 9.10.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x^{2} - 2) (3 x + 1) (x - 1) = 0$

Этап 10

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

$3 x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Этап 11

Приравняем $x^{2} - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Приравняем $x^{2} - 2$ к $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

Этап 11.2

Решим $x^{2} - 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 2$

Этап 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2}$

Этап 11.2.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{2}$

Этап 11.2.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{2}$

Этап 11.2.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Этап 12

Приравняем $3 x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Приравняем $3 x + 1$ к $0$ .

$3 x + 1 = 0$

Этап 12.2

Решим $3 x + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$3 x = - 1$

Этап 12.2.2

Разделим каждый член $3 x = - 1$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = - 1$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Этап 12.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Этап 12.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{3}$

Этап 12.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{3}$

Этап 13

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 13.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 14

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x^{2} - 2) (3 x + 1) (x - 1) = 0$ верно.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, - \frac{1}{3}, 1$

Этап 15

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, - \frac{1}{3}, 1$

Десятичная форма:

$x = 1.41421356 \dots, - 1.41421356 \dots, - 0.\overline{3}, 1$

Этап 16