Алгебра Примеры

$(- 5, 0)$ , $(- 3, 1)$

Этап 1

Общее уравнение параболы с вершиной $(h, k)$ : $y = a {(x - h)}^{2} + k$ . В данном случае у нас есть точка $(- 3, 1)$ в качестве вершины $(h, k)$ и точка $(- 5, 0)$ , которая является точкой $(x, y)$ на параболе. Чтобы найти $a$ , подставим эти две точки в $y = a {(x - h)}^{2} + k$ .

$0 = a {(- 5 - (- 3))}^{2} + 1$

Этап 2

Использование $0 = a {(- 5 - (- 3))}^{2} + 1$ для решения относительно $a$ , $a = - \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $a {(- 5 - (- 3))}^{2} + 1 = 0$ .

$a {(- 5 - (- 3))}^{2} + 1 = 0$

Этап 2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$a {(- 5 + 3)}^{2} + 1 = 0$

Этап 2.2.2

Добавим $- 5$ и $3$ .

$a {(- 2)}^{2} + 1 = 0$

Этап 2.2.3

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$a \cdot 4 + 1 = 0$

Этап 2.2.4

Перенесем $4$ влево от $a$ .

$4 a + 1 = 0$

Этап 2.3

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$4 a = - 1$

Этап 2.4

Разделим каждый член $4 a = - 1$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Разделим каждый член $4 a = - 1$ на $4$ .

$\frac{4 a}{4} = \frac{- 1}{4}$

Этап 2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 a}{4} = \frac{- 1}{4}$

Этап 2.4.2.1.2

Разделим $a$ на $1$ .

$a = \frac{- 1}{4}$

Этап 2.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$a = - \frac{1}{4}$

Этап 3

Использование $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , общее уравнение параболы с вершиной $(- 3, 1)$ и $a = - \frac{1}{4}$ : $y = (- \frac{1}{4}) {(x - (- 3))}^{2} + 1$ .

$y = (- \frac{1}{4}) {(x - (- 3))}^{2} + 1$

Этап 4

Решим $y = (- \frac{1}{4}) {(x - (- 3))}^{2} + 1$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Избавимся от скобок.

$y = (- \frac{1}{4}) {(x - (- 3))}^{2} + 1$

Этап 4.2

Умножим $- \frac{1}{4}$ на ${(x - (- 3))}^{2}$ .

$y = - \frac{1}{4} \cdot {(x - (- 3))}^{2} + 1$

Этап 4.3

Избавимся от скобок.

$y = (- \frac{1}{4}) {(x - (- 3))}^{2} + 1$

Этап 4.4

Упростим $(- \frac{1}{4}) {(x - (- 3))}^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.1

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$y = - \frac{1}{4} {(x + 3)}^{2} + 1$

Этап 4.4.1.2

Перепишем ${(x + 3)}^{2}$ в виде $(x + 3) (x + 3)$ .

$y = - \frac{1}{4} ((x + 3) (x + 3)) + 1$

Этап 4.4.1.3

Развернем $(x + 3) (x + 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - \frac{1}{4} (x (x + 3) + 3 (x + 3)) + 1$

Этап 4.4.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - \frac{1}{4} (x \cdot x + x \cdot 3 + 3 (x + 3)) + 1$

Этап 4.4.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - \frac{1}{4} (x \cdot x + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3) + 1$

Этап 4.4.1.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.4.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$y = - \frac{1}{4} (x^{2} + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3) + 1$

Этап 4.4.1.4.1.2

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$y = - \frac{1}{4} (x^{2} + 3 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 3) + 1$

Этап 4.4.1.4.1.3

Умножим $3$ на $3$ .

$y = - \frac{1}{4} (x^{2} + 3 x + 3 x + 9) + 1$

Этап 4.4.1.4.2

Добавим $3 x$ и $3 x$ .

$y = - \frac{1}{4} (x^{2} + 6 x + 9) + 1$

Этап 4.4.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - \frac{1}{4} x^{2} - \frac{1}{4} (6 x) - \frac{1}{4} \cdot 9 + 1$

Этап 4.4.1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.6.1

Объединим $x^{2}$ и $\frac{1}{4}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{4} - \frac{1}{4} (6 x) - \frac{1}{4} \cdot 9 + 1$

Этап 4.4.1.6.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.6.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{4}$ в числитель.

$y = - \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 1}{4} (6 x) - \frac{1}{4} \cdot 9 + 1$

Этап 4.4.1.6.2.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$y = - \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 1}{2 (2)} (6 x) - \frac{1}{4} \cdot 9 + 1$

Этап 4.4.1.6.2.3

Вынесем множитель $2$ из $6 x$ .

$y = - \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 1}{2 (2)} (2 (3 x)) - \frac{1}{4} \cdot 9 + 1$

Этап 4.4.1.6.2.4

Сократим общий множитель.

$y = - \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 1}{2 \cdot 2} (2 (3 x)) - \frac{1}{4} \cdot 9 + 1$

Этап 4.4.1.6.2.5

Перепишем это выражение.

$y = - \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 1}{2} (3 x) - \frac{1}{4} \cdot 9 + 1$

Этап 4.4.1.6.3

Объединим $3$ и $\frac{- 1}{2}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{4} + \frac{3 \cdot - 1}{2} x - \frac{1}{4} \cdot 9 + 1$

Этап 4.4.1.6.4

Умножим $3$ на $- 1$ .

$y = - \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 3}{2} x - \frac{1}{4} \cdot 9 + 1$

Этап 4.4.1.6.5

Объединим $\frac{- 3}{2}$ и $x$ .

$y = - \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 3 x}{2} - \frac{1}{4} \cdot 9 + 1$

Этап 4.4.1.6.6

Умножим $- \frac{1}{4} \cdot 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.6.6.1

Умножим $9$ на $- 1$ .

$y = - \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 3 x}{2} - 9 (\frac{1}{4}) + 1$

Этап 4.4.1.6.6.2

Объединим $- 9$ и $\frac{1}{4}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 3 x}{2} + \frac{- 9}{4} + 1$

Этап 4.4.1.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{- 9}{4} + 1$

Этап 4.4.1.7.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} - \frac{9}{4} + 1$

Этап 4.4.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$y = - \frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} - \frac{9}{4} + \frac{4}{4}$

Этап 4.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = - \frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{- 9 + 4}{4}$

Этап 4.4.2.3

Добавим $- 9$ и $4$ .

$y = - \frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{- 5}{4}$

Этап 4.4.2.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} - \frac{5}{4}$

Этап 5

Уравнение в стандартной форме и уравнение с заданной вершиной имеют следующий вид.

Стандартная форма: $y = - \frac{1}{4} x^{2} - \frac{3}{2} x - \frac{5}{4}$

Форма с выделенной вершиной: $y = (- \frac{1}{4}) {(x - (- 3))}^{2} + 1$

Этап 6

Упростим стандартную форму.

Стандартная форма: $y = - \frac{1}{4} x^{2} - \frac{3}{2} x - \frac{5}{4}$

Форма с выделенной вершиной: $y = - \frac{1}{4} {(x + 3)}^{2} + 1$

Этап 7