Алгебра Примеры

${(3 x^{2} - 4 y^{4})}^{4}$

Этап 1

Используем формулу биномиального разложения, чтобы найти каждый член. Бином Ньютона имеет вид ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{4} \frac{4!}{(4 - k)! k!} \cdot {(3 x^{2})}^{4 - k} \cdot {(- 4 y^{4})}^{k}$

Этап 2

Развернем сумму.

$\frac{4!}{(4 - 0)! 0!} \cdot {(3 x^{2})}^{4 - 0} \cdot {(- 4 y^{4})}^{0} + \frac{4!}{(4 - 1)! 1!} \cdot {(3 x^{2})}^{4 - 1} \cdot {(- 4 y^{4})}^{1} + \frac{4!}{(4 - 2)! 2!} \cdot {(3 x^{2})}^{4 - 2} \cdot {(- 4 y^{4})}^{2} + \frac{4!}{(4 - 3)! 3!} \cdot {(3 x^{2})}^{4 - 3} \cdot {(- 4 y^{4})}^{3} + \frac{4!}{(4 - 4)! 4!} \cdot {(3 x^{2})}^{4 - 4} \cdot {(- 4 y^{4})}^{4}$

Этап 3

Упростим экспоненты для каждого члена разложения.

$1 \cdot {(3 x^{2})}^{4} \cdot {(- 4 y^{4})}^{0} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{3} \cdot {(- 4 y^{4})}^{1} + 6 \cdot {(3 x^{2})}^{2} \cdot {(- 4 y^{4})}^{2} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{1} \cdot {(- 4 y^{4})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(- 4 y^{4})}^{4}$

Этап 4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим ${(3 x^{2})}^{4}$ на $1$ .

${(3 x^{2})}^{4} \cdot {(- 4 y^{4})}^{0} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{3} \cdot {(- 4 y^{4})}^{1} + 6 \cdot {(3 x^{2})}^{2} \cdot {(- 4 y^{4})}^{2} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{1} \cdot {(- 4 y^{4})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(- 4 y^{4})}^{4}$

Этап 4.2

Применим правило умножения к $3 x^{2}$ .

$3^{4} {(x^{2})}^{4} \cdot {(- 4 y^{4})}^{0} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{3} \cdot {(- 4 y^{4})}^{1} + 6 \cdot {(3 x^{2})}^{2} \cdot {(- 4 y^{4})}^{2} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{1} \cdot {(- 4 y^{4})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(- 4 y^{4})}^{4}$

Этап 4.3

Возведем $3$ в степень $4$ .

$81 {(x^{2})}^{4} \cdot {(- 4 y^{4})}^{0} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{3} \cdot {(- 4 y^{4})}^{1} + 6 \cdot {(3 x^{2})}^{2} \cdot {(- 4 y^{4})}^{2} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{1} \cdot {(- 4 y^{4})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(- 4 y^{4})}^{4}$

Этап 4.4

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$81 x^{2 \cdot 4} \cdot {(- 4 y^{4})}^{0} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{3} \cdot {(- 4 y^{4})}^{1} + 6 \cdot {(3 x^{2})}^{2} \cdot {(- 4 y^{4})}^{2} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{1} \cdot {(- 4 y^{4})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(- 4 y^{4})}^{4}$

Этап 4.4.2

Умножим $2$ на $4$ .

$81 x^{8} \cdot {(- 4 y^{4})}^{0} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{3} \cdot {(- 4 y^{4})}^{1} + 6 \cdot {(3 x^{2})}^{2} \cdot {(- 4 y^{4})}^{2} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{1} \cdot {(- 4 y^{4})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(- 4 y^{4})}^{4}$

Этап 4.5

Применим правило умножения к $- 4 y^{4}$ .

$81 x^{8} \cdot ({(- 4)}^{0} {(y^{4})}^{0}) + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{3} \cdot {(- 4 y^{4})}^{1} + 6 \cdot {(3 x^{2})}^{2} \cdot {(- 4 y^{4})}^{2} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{1} \cdot {(- 4 y^{4})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(- 4 y^{4})}^{4}$

Этап 4.6

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$81 \cdot {(- 4)}^{0} x^{8} {(y^{4})}^{0} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{3} \cdot {(- 4 y^{4})}^{1} + 6 \cdot {(3 x^{2})}^{2} \cdot {(- 4 y^{4})}^{2} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{1} \cdot {(- 4 y^{4})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(- 4 y^{4})}^{4}$

Этап 4.7

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$81 \cdot 1 x^{8} {(y^{4})}^{0} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{3} \cdot {(- 4 y^{4})}^{1} + 6 \cdot {(3 x^{2})}^{2} \cdot {(- 4 y^{4})}^{2} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{1} \cdot {(- 4 y^{4})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(- 4 y^{4})}^{4}$

Этап 4.8

Умножим $81$ на $1$ .

$81 x^{8} {(y^{4})}^{0} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{3} \cdot {(- 4 y^{4})}^{1} + 6 \cdot {(3 x^{2})}^{2} \cdot {(- 4 y^{4})}^{2} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{1} \cdot {(- 4 y^{4})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(- 4 y^{4})}^{4}$

Этап 4.9

Перемножим экспоненты в ${(y^{4})}^{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$81 x^{8} y^{4 \cdot 0} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{3} \cdot {(- 4 y^{4})}^{1} + 6 \cdot {(3 x^{2})}^{2} \cdot {(- 4 y^{4})}^{2} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{1} \cdot {(- 4 y^{4})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(- 4 y^{4})}^{4}$

Этап 4.9.2

Умножим $4$ на $0$ .

$81 x^{8} y^{0} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{3} \cdot {(- 4 y^{4})}^{1} + 6 \cdot {(3 x^{2})}^{2} \cdot {(- 4 y^{4})}^{2} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{1} \cdot {(- 4 y^{4})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(- 4 y^{4})}^{4}$

Этап 4.10

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$81 x^{8} \cdot 1 + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{3} \cdot {(- 4 y^{4})}^{1} + 6 \cdot {(3 x^{2})}^{2} \cdot {(- 4 y^{4})}^{2} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{1} \cdot {(- 4 y^{4})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(- 4 y^{4})}^{4}$

Этап 4.11

Умножим $81$ на $1$ .

$81 x^{8} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{3} \cdot {(- 4 y^{4})}^{1} + 6 \cdot {(3 x^{2})}^{2} \cdot {(- 4 y^{4})}^{2} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{1} \cdot {(- 4 y^{4})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(- 4 y^{4})}^{4}$

Этап 4.12

Применим правило умножения к $3 x^{2}$ .

$81 x^{8} + 4 \cdot (3^{3} {(x^{2})}^{3}) \cdot {(- 4 y^{4})}^{1} + 6 \cdot {(3 x^{2})}^{2} \cdot {(- 4 y^{4})}^{2} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{1} \cdot {(- 4 y^{4})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(- 4 y^{4})}^{4}$

Этап 4.13

Возведем $3$ в степень $3$ .

$81 x^{8} + 4 \cdot (27 {(x^{2})}^{3}) \cdot {(- 4 y^{4})}^{1} + 6 \cdot {(3 x^{2})}^{2} \cdot {(- 4 y^{4})}^{2} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{1} \cdot {(- 4 y^{4})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(- 4 y^{4})}^{4}$

Этап 4.14

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.14.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$81 x^{8} + 4 \cdot (27 x^{2 \cdot 3}) \cdot {(- 4 y^{4})}^{1} + 6 \cdot {(3 x^{2})}^{2} \cdot {(- 4 y^{4})}^{2} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{1} \cdot {(- 4 y^{4})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(- 4 y^{4})}^{4}$

Этап 4.14.2

Умножим $2$ на $3$ .

$81 x^{8} + 4 \cdot (27 x^{6}) \cdot {(- 4 y^{4})}^{1} + 6 \cdot {(3 x^{2})}^{2} \cdot {(- 4 y^{4})}^{2} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{1} \cdot {(- 4 y^{4})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(- 4 y^{4})}^{4}$

Этап 4.15

Умножим $27$ на $4$ .

$81 x^{8} + 108 x^{6} \cdot {(- 4 y^{4})}^{1} + 6 \cdot {(3 x^{2})}^{2} \cdot {(- 4 y^{4})}^{2} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{1} \cdot {(- 4 y^{4})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(- 4 y^{4})}^{4}$

Этап 4.16

Упростим.

$81 x^{8} + 108 x^{6} \cdot (- 4 y^{4}) + 6 \cdot {(3 x^{2})}^{2} \cdot {(- 4 y^{4})}^{2} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{1} \cdot {(- 4 y^{4})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(- 4 y^{4})}^{4}$

Этап 4.17

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$81 x^{8} + 108 \cdot - 4 x^{6} y^{4} + 6 \cdot {(3 x^{2})}^{2} \cdot {(- 4 y^{4})}^{2} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{1} \cdot {(- 4 y^{4})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(- 4 y^{4})}^{4}$

Этап 4.18

Умножим $108$ на $- 4$ .

$81 x^{8} - 432 x^{6} y^{4} + 6 \cdot {(3 x^{2})}^{2} \cdot {(- 4 y^{4})}^{2} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{1} \cdot {(- 4 y^{4})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(- 4 y^{4})}^{4}$

Этап 4.19

Применим правило умножения к $3 x^{2}$ .

$81 x^{8} - 432 x^{6} y^{4} + 6 \cdot (3^{2} {(x^{2})}^{2}) \cdot {(- 4 y^{4})}^{2} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{1} \cdot {(- 4 y^{4})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(- 4 y^{4})}^{4}$

Этап 4.20

Возведем $3$ в степень $2$ .

$81 x^{8} - 432 x^{6} y^{4} + 6 \cdot (9 {(x^{2})}^{2}) \cdot {(- 4 y^{4})}^{2} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{1} \cdot {(- 4 y^{4})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(- 4 y^{4})}^{4}$

Этап 4.21

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.21.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$81 x^{8} - 432 x^{6} y^{4} + 6 \cdot (9 x^{2 \cdot 2}) \cdot {(- 4 y^{4})}^{2} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{1} \cdot {(- 4 y^{4})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(- 4 y^{4})}^{4}$

Этап 4.21.2

Умножим $2$ на $2$ .

$81 x^{8} - 432 x^{6} y^{4} + 6 \cdot (9 x^{4}) \cdot {(- 4 y^{4})}^{2} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{1} \cdot {(- 4 y^{4})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(- 4 y^{4})}^{4}$

Этап 4.22

Умножим $9$ на $6$ .

$81 x^{8} - 432 x^{6} y^{4} + 54 x^{4} \cdot {(- 4 y^{4})}^{2} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{1} \cdot {(- 4 y^{4})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(- 4 y^{4})}^{4}$

Этап 4.23

Применим правило умножения к $- 4 y^{4}$ .

$81 x^{8} - 432 x^{6} y^{4} + 54 x^{4} \cdot ({(- 4)}^{2} {(y^{4})}^{2}) + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{1} \cdot {(- 4 y^{4})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(- 4 y^{4})}^{4}$

Этап 4.24

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$81 x^{8} - 432 x^{6} y^{4} + 54 \cdot {(- 4)}^{2} x^{4} {(y^{4})}^{2} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{1} \cdot {(- 4 y^{4})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(- 4 y^{4})}^{4}$

Этап 4.25

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$81 x^{8} - 432 x^{6} y^{4} + 54 \cdot 16 x^{4} {(y^{4})}^{2} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{1} \cdot {(- 4 y^{4})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(- 4 y^{4})}^{4}$

Этап 4.26

Умножим $54$ на $16$ .

$81 x^{8} - 432 x^{6} y^{4} + 864 x^{4} {(y^{4})}^{2} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{1} \cdot {(- 4 y^{4})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(- 4 y^{4})}^{4}$

Этап 4.27

Перемножим экспоненты в ${(y^{4})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.27.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$81 x^{8} - 432 x^{6} y^{4} + 864 x^{4} y^{4 \cdot 2} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{1} \cdot {(- 4 y^{4})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(- 4 y^{4})}^{4}$

Этап 4.27.2

Умножим $4$ на $2$ .

$81 x^{8} - 432 x^{6} y^{4} + 864 x^{4} y^{8} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{1} \cdot {(- 4 y^{4})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(- 4 y^{4})}^{4}$

Этап 4.28

Упростим.

$81 x^{8} - 432 x^{6} y^{4} + 864 x^{4} y^{8} + 4 \cdot (3 x^{2}) \cdot {(- 4 y^{4})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(- 4 y^{4})}^{4}$

Этап 4.29

Умножим $3$ на $4$ .

$81 x^{8} - 432 x^{6} y^{4} + 864 x^{4} y^{8} + 12 x^{2} \cdot {(- 4 y^{4})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(- 4 y^{4})}^{4}$

Этап 4.30

Применим правило умножения к $- 4 y^{4}$ .

$81 x^{8} - 432 x^{6} y^{4} + 864 x^{4} y^{8} + 12 x^{2} \cdot ({(- 4)}^{3} {(y^{4})}^{3}) + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(- 4 y^{4})}^{4}$

Этап 4.31

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$81 x^{8} - 432 x^{6} y^{4} + 864 x^{4} y^{8} + 12 \cdot {(- 4)}^{3} x^{2} {(y^{4})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(- 4 y^{4})}^{4}$

Этап 4.32

Возведем $- 4$ в степень $3$ .

$81 x^{8} - 432 x^{6} y^{4} + 864 x^{4} y^{8} + 12 \cdot - 64 x^{2} {(y^{4})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(- 4 y^{4})}^{4}$

Этап 4.33

Умножим $12$ на $- 64$ .

$81 x^{8} - 432 x^{6} y^{4} + 864 x^{4} y^{8} - 768 x^{2} {(y^{4})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(- 4 y^{4})}^{4}$

Этап 4.34

Перемножим экспоненты в ${(y^{4})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.34.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$81 x^{8} - 432 x^{6} y^{4} + 864 x^{4} y^{8} - 768 x^{2} y^{4 \cdot 3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(- 4 y^{4})}^{4}$

Этап 4.34.2

Умножим $4$ на $3$ .

$81 x^{8} - 432 x^{6} y^{4} + 864 x^{4} y^{8} - 768 x^{2} y^{12} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(- 4 y^{4})}^{4}$

Этап 4.35

Умножим ${(3 x^{2})}^{0}$ на $1$ .

$81 x^{8} - 432 x^{6} y^{4} + 864 x^{4} y^{8} - 768 x^{2} y^{12} + {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(- 4 y^{4})}^{4}$

Этап 4.36

Применим правило умножения к $3 x^{2}$ .

$81 x^{8} - 432 x^{6} y^{4} + 864 x^{4} y^{8} - 768 x^{2} y^{12} + 3^{0} {(x^{2})}^{0} \cdot {(- 4 y^{4})}^{4}$

Этап 4.37

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$81 x^{8} - 432 x^{6} y^{4} + 864 x^{4} y^{8} - 768 x^{2} y^{12} + 1 {(x^{2})}^{0} \cdot {(- 4 y^{4})}^{4}$

Этап 4.38

Умножим ${(x^{2})}^{0}$ на $1$ .

$81 x^{8} - 432 x^{6} y^{4} + 864 x^{4} y^{8} - 768 x^{2} y^{12} + {(x^{2})}^{0} \cdot {(- 4 y^{4})}^{4}$

Этап 4.39

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.39.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$81 x^{8} - 432 x^{6} y^{4} + 864 x^{4} y^{8} - 768 x^{2} y^{12} + x^{2 \cdot 0} \cdot {(- 4 y^{4})}^{4}$

Этап 4.39.2

Умножим $2$ на $0$ .

$81 x^{8} - 432 x^{6} y^{4} + 864 x^{4} y^{8} - 768 x^{2} y^{12} + x^{0} \cdot {(- 4 y^{4})}^{4}$

Этап 4.40

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$81 x^{8} - 432 x^{6} y^{4} + 864 x^{4} y^{8} - 768 x^{2} y^{12} + 1 \cdot {(- 4 y^{4})}^{4}$

Этап 4.41

Умножим ${(- 4 y^{4})}^{4}$ на $1$ .

$81 x^{8} - 432 x^{6} y^{4} + 864 x^{4} y^{8} - 768 x^{2} y^{12} + {(- 4 y^{4})}^{4}$

Этап 4.42

Применим правило умножения к $- 4 y^{4}$ .

$81 x^{8} - 432 x^{6} y^{4} + 864 x^{4} y^{8} - 768 x^{2} y^{12} + {(- 4)}^{4} {(y^{4})}^{4}$

Этап 4.43

Возведем $- 4$ в степень $4$ .

$81 x^{8} - 432 x^{6} y^{4} + 864 x^{4} y^{8} - 768 x^{2} y^{12} + 256 {(y^{4})}^{4}$

Этап 4.44

Перемножим экспоненты в ${(y^{4})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.44.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$81 x^{8} - 432 x^{6} y^{4} + 864 x^{4} y^{8} - 768 x^{2} y^{12} + 256 y^{4 \cdot 4}$

Этап 4.44.2

Умножим $4$ на $4$ .

$81 x^{8} - 432 x^{6} y^{4} + 864 x^{4} y^{8} - 768 x^{2} y^{12} + 256 y^{16}$