Алгебра Примеры

$y = \sin (x) \cos (x)$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\sin (x) \cos (x))$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ имеет вид $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , где $f (y) = \sin (x)$ и $g (y) = \cos (x)$ .

$\sin (x) \frac{d}{d y} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d y} [\sin (x)]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ имеет вид $f' (g (y)) g' (y)$ , где $f (y) = \cos (y)$ и $g (y) = x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x$ .

$\sin (x) (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d y} [x]) + \cos (x) \frac{d}{d y} [\sin (x)]$

Этап 3.2.2

Производная $\cos (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $- \sin (u_{1})$ .

$\sin (x) (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d y} [x]) + \cos (x) \frac{d}{d y} [\sin (x)]$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x$ .

$\sin (x) (- \sin (x) \frac{d}{d y} [x]) + \cos (x) \frac{d}{d y} [\sin (x)]$

Этап 3.3

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$- (\sin^{1} (x) \sin (x)) \frac{d}{d y} [x] + \cos (x) \frac{d}{d y} [\sin (x)]$

Этап 3.4

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) \frac{d}{d y} [x] + \cos (x) \frac{d}{d y} [\sin (x)]$

Этап 3.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- {\sin (x)}^{1 + 1} \frac{d}{d y} [x] + \cos (x) \frac{d}{d y} [\sin (x)]$

Этап 3.6

Добавим $1$ и $1$ .

$- \sin^{2} (x) \frac{d}{d y} [x] + \cos (x) \frac{d}{d y} [\sin (x)]$

Этап 3.7

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$- \sin^{2} (x) x' + \cos (x) \frac{d}{d y} [\sin (x)]$

Этап 3.8

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x$ .

$- \sin^{2} (x) x' + \cos (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d y} [x])$

Этап 3.8.2

Производная $\sin (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\cos (u_{2})$ .

$- \sin^{2} (x) x' + \cos (x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d y} [x])$

Этап 3.8.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x$ .

$- \sin^{2} (x) x' + \cos (x) (\cos (x) \frac{d}{d y} [x])$

Этап 3.9

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$- \sin^{2} (x) x' + \cos^{1} (x) \cos (x) \frac{d}{d y} [x]$

Этап 3.10

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$- \sin^{2} (x) x' + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) \frac{d}{d y} [x]$

Этап 3.11

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \sin^{2} (x) x' + {\cos (x)}^{1 + 1} \frac{d}{d y} [x]$

Этап 3.12

Добавим $1$ и $1$ .

$- \sin^{2} (x) x' + \cos^{2} (x) \frac{d}{d y} [x]$

Этап 3.13

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$- \sin^{2} (x) x' + \cos^{2} (x) x'$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$1 = - \sin^{2} (x) x' + \cos^{2} (x) x'$

Этап 5

Решим относительно $x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $- \sin^{2} (x) x' + \cos^{2} (x) x' = 1$ .

$- \sin^{2} (x) x' + \cos^{2} (x) x' = 1$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Изменим порядок множителей в $- \sin^{2} (x) x' + \cos^{2} (x) x'$ .

$- x' \sin^{2} (x) + x' \cos^{2} (x) = 1$

Этап 5.3

Вынесем множитель $x'$ из $- x' \sin^{2} (x) + x' \cos^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем множитель $x'$ из $- x' \sin^{2} (x)$ .

$x' (- 1 \sin^{2} (x)) + x' (\cos^{2} (x)) = 1$

Этап 5.3.2

Вынесем множитель $x'$ из $x' \cos^{2} (x)$ .

$x' (- 1 \sin^{2} (x)) + x' (\cos^{2} (x)) = 1$

Этап 5.3.3

Вынесем множитель $x'$ из $x' (- 1 \sin^{2} (x)) + x' (\cos^{2} (x))$ .

$x' (- 1 \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) = 1$

Этап 5.4

Изменим порядок $- 1 \sin^{2} (x)$ и $\cos^{2} (x)$ .

$x' (\cos^{2} (x) - 1 \sin^{2} (x)) = 1$

Этап 5.5

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = \cos (x)$ и $b = \sin (x)$ .

$x' ((\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))) = 1$

Этап 5.5.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x' (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)) = 1$

Этап 5.6

Разделим каждый член $x' (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)) = 1$ на $(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Разделим каждый член $x' (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)) = 1$ на $(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ .

$\frac{x' (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))} = \frac{1}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}$

Этап 5.6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1

Сократим общий множитель $\cos (x) + \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x' (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))} = \frac{1}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}$

Этап 5.6.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x' (\cos (x) - \sin (x))}{\cos (x) - \sin (x)} = \frac{1}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}$

Этап 5.6.2.2

Сократим общий множитель $\cos (x) - \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x' (\cos (x) - \sin (x))}{\cos (x) - \sin (x)} = \frac{1}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}$

Этап 5.6.2.2.2

Разделим $x'$ на $1$ .

$x' = \frac{1}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}$

Этап 6

Заменим $x'$ на $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}$