Алгебра Примеры

$f (x) = x^{5} + 7 x^{4} + 2 x^{3} + 14 x^{2} + x + 7$

Этап 1

Чтобы найти возможное количество положительных корней, обратим внимание на знаки коэффициентов и подсчитаем, сколько раз коэффициенты меняют знак.

$f (x) = x^{5} + 7 x^{4} + 2 x^{3} + 14 x^{2} + x + 7$

Этап 2

Поскольку число перемен знака членов от высшего порядка до низшего равно $0$ , максимальное число положительных корней равно $0$ (правило знаков Декарта).

Положительные корни: $0$

Этап 3

Чтобы найти возможное количество отрицательных корней, заменим $x$ на $- x$ и снова сравним знаки.

$f (- x) = {(- x)}^{5} + 7 {(- x)}^{4} + 2 {(- x)}^{3} + 14 {(- x)}^{2} - x + 7$

Этап 4

Упростим многочлен.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Избавимся от скобок.

$f (- x) = {(- x)}^{5} + 7 {(- x)}^{4} + 2 {(- x)}^{3} + 14 {(- x)}^{2} - x + 7$

Этап 4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Применим правило умножения к $- x$ .

$f (- x) = {(- 1)}^{5} x^{5} + 7 {(- x)}^{4} + 2 {(- x)}^{3} + 14 {(- x)}^{2} - x + 7$

Этап 4.2.2

Возведем $- 1$ в степень $5$ .

$f (- x) = - x^{5} + 7 {(- x)}^{4} + 2 {(- x)}^{3} + 14 {(- x)}^{2} - x + 7$

Этап 4.2.3

Применим правило умножения к $- x$ .

$f (- x) = - x^{5} + 7 ({(- 1)}^{4} x^{4}) + 2 {(- x)}^{3} + 14 {(- x)}^{2} - x + 7$

Этап 4.2.4

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$f (- x) = - x^{5} + 7 (1 x^{4}) + 2 {(- x)}^{3} + 14 {(- x)}^{2} - x + 7$

Этап 4.2.5

Умножим $x^{4}$ на $1$ .

$f (- x) = - x^{5} + 7 x^{4} + 2 {(- x)}^{3} + 14 {(- x)}^{2} - x + 7$

Этап 4.2.6

Применим правило умножения к $- x$ .

$f (- x) = - x^{5} + 7 x^{4} + 2 ({(- 1)}^{3} x^{3}) + 14 {(- x)}^{2} - x + 7$

Этап 4.2.7

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (- x) = - x^{5} + 7 x^{4} + 2 (- x^{3}) + 14 {(- x)}^{2} - x + 7$

Этап 4.2.8

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f (- x) = - x^{5} + 7 x^{4} - 2 x^{3} + 14 {(- x)}^{2} - x + 7$

Этап 4.2.9

Применим правило умножения к $- x$ .

$f (- x) = - x^{5} + 7 x^{4} - 2 x^{3} + 14 ({(- 1)}^{2} x^{2}) - x + 7$

Этап 4.2.10

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- x) = - x^{5} + 7 x^{4} - 2 x^{3} + 14 (1 x^{2}) - x + 7$

Этап 4.2.11

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$f (- x) = - x^{5} + 7 x^{4} - 2 x^{3} + 14 x^{2} - x + 7$

Этап 5

Поскольку число перемен знака членов от высшего порядка до низшего равно $5$ , максимальное число отрицательных корней равно $5$ (правило знаков Декарта). Другие возможные количества отрицательных корней находятся путем вычитания пар корней (например, $5 - 2$ ).

Отрицательные корни: $5$ , $3$ , or $1$

Этап 6

Возможное количество положительных корней равно $0$ , а возможное количество отрицательных корней ― $5$ , $3$ , or $1$ .

Положительные корни: $0$

Отрицательные корни: $5$ , $3$ , or $1$