Алгебра Примеры

$y = \frac{1}{2} {(x + 4)}^{2}$

Этап 1

Простейшая форма функция является самой простой формой функции данного типа.

$y = x^{2}$

Этап 2

Упростим $\frac{1}{2} \cdot {(x + 4)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем ${(x + 4)}^{2}$ в виде $(x + 4) (x + 4)$ .

$y = \frac{1}{2} \cdot ((x + 4) (x + 4))$

Этап 2.2

Развернем $(x + 4) (x + 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{1}{2} \cdot (x (x + 4) + 4 (x + 4))$

Этап 2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x \cdot 4 + 4 (x + 4))$

Этап 2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4)$

Этап 2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4)$

Этап 2.3.1.2

Перенесем $4$ влево от $x$ .

$y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + 4 \cdot x + 4 x + 4 \cdot 4)$

Этап 2.3.1.3

Умножим $4$ на $4$ .

$y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + 4 x + 4 x + 16)$

Этап 2.3.2

Добавим $4 x$ и $4 x$ .

$y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + 8 x + 16)$

Этап 2.4

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} (8 x) + \frac{1}{2} \cdot 16$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} (8 x) + \frac{1}{2} \cdot 16$

Этап 2.5.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $8 x$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} (2 (4 x)) + \frac{1}{2} \cdot 16$

Этап 2.5.2.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} (2 (4 x)) + \frac{1}{2} \cdot 16$

Этап 2.5.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{x^{2}}{2} + 4 x + \frac{1}{2} \cdot 16$

Этап 2.5.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + 4 x + \frac{1}{2} \cdot (2 (8))$

Этап 2.5.3.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{x^{2}}{2} + 4 x + \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 8)$

Этап 2.5.3.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{x^{2}}{2} + 4 x + 8$

Этап 3

Предположим, что $y = x^{2}$ есть $f (x) = x^{2}$ , а $y = \frac{1}{2} \cdot {(x + 4)}^{2}$ есть $g (x) = \frac{x^{2}}{2} + 4 x + 8$ .

$f (x) = x^{2}$

$g (x) = \frac{x^{2}}{2} + 4 x + 8$

Этап 4

Описываемое преобразование из $f (x) = x^{2}$ в $g (x) = \frac{x^{2}}{2} + 4 x + 8$ .

$f (x) = x^{2} \to g (x) = \frac{x^{2}}{2} + 4 x + 8$

Этап 5

Найдем форму $g (x) = \frac{x^{2}}{2} + 4 x + 8$ с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Составим полный квадрат для $\frac{x^{2}}{2} + 4 x + 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = \frac{1}{2}$

$b = 4$

$c = 8$

Этап 5.1.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 5.1.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{4}{2 (\frac{1}{2})}$

Этап 5.1.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.2.1

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 (\frac{1}{2})}$

Этап 5.1.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 (\frac{1}{2})}$

Этап 5.1.3.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$d = \frac{2}{\frac{1}{2}}$

Этап 5.1.3.2.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$d = 2 \cdot 2$

Этап 5.1.3.2.3

Умножим $2$ на $2$ .

$d = 4$

Этап 5.1.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 8 - \frac{4^{2}}{4 (\frac{1}{2})}$

Этап 5.1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.2.1.1

Сократим общий множитель $4^{2}$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.2.1.1.1

Вынесем множитель $4$ из $4^{2}$ .

$e = 8 - \frac{4 \cdot 4}{4 (\frac{1}{2})}$

Этап 5.1.4.2.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$e = 8 - \frac{4 \cdot 4}{4 (\frac{1}{2})}$

Этап 5.1.4.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$e = 8 - \frac{4}{\frac{1}{2}}$

Этап 5.1.4.2.1.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$e = 8 - (4 \cdot 2)$

Этап 5.1.4.2.1.3

Умножим $- (4 \cdot 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.2.1.3.1

Умножим $4$ на $2$ .

$e = 8 - 1 \cdot 8$

Этап 5.1.4.2.1.3.2

Умножим $- 1$ на $8$ .

$e = 8 - 8$

Этап 5.1.4.2.2

Вычтем $8$ из $8$ .

$e = 0$

Этап 5.1.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $\frac{1}{2} {(x + 4)}^{2} + 0$ .

$\frac{1}{2} {(x + 4)}^{2} + 0$

Этап 5.2

Приравняем $y$ к новой правой части.

$y = \frac{1}{2} \cdot {(x + 4)}^{2} + 0$

Этап 6

Горизонтальный сдвиг зависит от значения $h$ . Горизонтальный сдвиг описывается следующим образом:

$g (x) = f (x + h)$ — график сдвинут влево на $h$ ед.

$g (x) = f (x - h)$ — график сдвинут вправо на $h$ ед.

Сдвиг по горизонтали: левые единицы $4$

Этап 7

Смещение по вертикали зависит от значения $k$ . Вертикальный сдвиг описывается следующим образом:

$g (x) = f (x) + k$ — график сдвинут вверх на $k$ ед.

$g (x) = f (x) - k$ - The graph is shifted down $k$ units.

В этом случае $k = 0$ , т. е. график не смещен ни вверх, ни вниз.

Смещение по вертикали: нет

Этап 8

График отражен относительно оси x, если $g (x) = - f (x)$ .

Отражение относительно оси X: нет

Этап 9

График отражен относительно оси y, если $g (x) = f (- x)$ .

Отражение относительно оси Y: нет

Этап 10

Сжатие и растяжение зависят от значения $a$ .

Если $a$ больше $1$ : растянут по вертикали

Если $a$ между $0$ и $1$ : сжат по вертикали

Сжатие или растяжение по вертикали: сжат

Этап 11

Сравним и перечислим преобразования.

Порождающая функция: $y = x^{2}$

Сдвиг по горизонтали: левые единицы $4$

Смещение по вертикали: нет

Отражение относительно оси X: нет

Отражение относительно оси Y: нет

Сжатие или растяжение по вертикали: сжат

Этап 12