Алгебра Примеры

$x - \frac{8}{x} < - 2$

Этап 1

Решим $x < - 4 or 0 < x < 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1, x, 1$

Этап 1.1.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x$

Этап 1.2

Каждый член в $x - \frac{8}{x} < - 2$ умножим на $x$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Умножим каждый член $x - \frac{8}{x} < - 2$ на $x$ .

$x \cdot x - \frac{8}{x} x < - 2 x$

Этап 1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} - \frac{8}{x} x < - 2 x$

Этап 1.2.2.1.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{8}{x}$ в числитель.

$x^{2} + \frac{- 8}{x} x < - 2 x$

Этап 1.2.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x^{2} + \frac{- 8}{x} x < - 2 x$

Этап 1.2.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x^{2} - 8 < - 2 x$

Этап 1.3

Решим неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Добавим $2 x$ к обеим частям неравенства.

$x^{2} - 8 + 2 x < 0$

Этап 1.3.2

Преобразуем неравенство в уравнение.

$x^{2} - 8 + 2 x = 0$

Этап 1.3.3

Разложим $x^{2} - 8 + 2 x$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 8$ , а сумма — $2$ .

$- 2, 4$

Этап 1.3.3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 2) (x + 4) = 0$

Этап 1.3.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 4 = 0$

Этап 1.3.5

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 1.3.5.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 1.3.6

Приравняем $x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.1

Приравняем $x + 4$ к $0$ .

$x + 4 = 0$

Этап 1.3.6.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

Этап 1.3.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 2) (x + 4) = 0$ верно.

$x = 2, - 4$

Этап 1.4

Найдем область определения $x - \frac{8}{x} + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Зададим знаменатель в $\frac{8}{x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x = 0$

Этап 1.4.2

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 1.5

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 4$

$- 4 < x < 0$

$0 < x < 2$

$x > 2$

Этап 1.6

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Проверим значение на интервале $x < - 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 6$

Этап 1.6.1.2

Заменим $x$ на $- 6$ в исходном неравенстве.

$(- 6) - \frac{8}{- 6} < - 2$

Этап 1.6.1.3

Левая часть $- 4.\overline{6}$ меньше правой части $- 2$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 1.6.2

Проверим значение на интервале $- 4 < x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.2.1

Выберем значение на интервале $- 4 < x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 1.6.2.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

$(- 2) - \frac{8}{- 2} < - 2$

Этап 1.6.2.3

Левая часть $2$ не меньше правой части $- 2$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 1.6.3

Проверим значение на интервале $0 < x < 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.3.1

Выберем значение на интервале $0 < x < 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 1$

Этап 1.6.3.2

Заменим $x$ на $1$ в исходном неравенстве.

$(1) - \frac{8}{1} < - 2$

Этап 1.6.3.3

Левая часть $- 7$ меньше правой части $- 2$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 1.6.4

Проверим значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.4.1

Выберем значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 1.6.4.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$(4) - \frac{8}{4} < - 2$

Этап 1.6.4.3

Левая часть $2$ не меньше правой части $- 2$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 1.6.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 4$ Истина

$- 4 < x < 0$ Ложь

$0 < x < 2$ Истина

$x > 2$ Ложь

$x < - 4$ Истина

$- 4 < x < 0$ Ложь

$0 < x < 2$ Истина

$x > 2$ Ложь

Этап 1.7

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < - 4$ или $0 < x < 2$

Этап 2

Используем неравенство $x < - 4 or 0 < x < 2$ для построения формы записи множества.

${x | x < - 4 or 0 < x < 2}$

Этап 3