Алгебра Примеры

$\sqrt{\frac{48}{x}}$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = \sqrt{\frac{48}{y}}$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $\sqrt{\frac{48}{y}} = x$ .

$\sqrt{\frac{48}{y}} = x$

Этап 2.2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{\frac{48}{y}}}^{2} = x^{2}$

Этап 2.3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{\frac{48}{y}}$ в виде ${(\frac{48}{y})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(\frac{48}{y})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Упростим ${({(\frac{48}{y})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(\frac{48}{y})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{48}{y})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Этап 2.3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(\frac{48}{y})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Этап 2.3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(\frac{48}{y})}^{1} = x^{2}$

Этап 2.3.2.1.2

Упростим.

$\frac{48}{y} = x^{2}$

Этап 2.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$y, 1$

Этап 2.4.1.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$y$

Этап 2.4.2

Каждый член в $\frac{48}{y} = x^{2}$ умножим на $y$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Умножим каждый член $\frac{48}{y} = x^{2}$ на $y$ .

$\frac{48}{y} y = x^{2} y$

Этап 2.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{48}{y} y = x^{2} y$

Этап 2.4.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$48 = x^{2} y$

Этап 2.4.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Перепишем уравнение в виде $x^{2} y = 48$ .

$x^{2} y = 48$

Этап 2.4.3.2

Разделим каждый член $x^{2} y = 48$ на $x^{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.2.1

Разделим каждый член $x^{2} y = 48$ на $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{48}{x^{2}}$

Этап 2.4.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.2.2.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{48}{x^{2}}$

Этап 2.4.3.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{48}{x^{2}}$

Этап 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{48}{x^{2}}$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{48}{x^{2}}$ обратной к $f (x) = \sqrt{\frac{48}{x}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{{(\sqrt{\frac{48}{x}})}^{2}}$

Этап 4.2.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Перепишем $\sqrt{\frac{48}{x}}$ в виде $\frac{\sqrt{48}}{\sqrt{x}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{{(\frac{\sqrt{48}}{\sqrt{x}})}^{2}}$

Этап 4.2.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.1

Перепишем $48$ в виде $4^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.1.1

Вынесем множитель $16$ из $48$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{{(\frac{\sqrt{16 (3)}}{\sqrt{x}})}^{2}}$

Этап 4.2.3.2.1.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{{(\frac{\sqrt{4^{2} \cdot 3}}{\sqrt{x}})}^{2}}$

Этап 4.2.3.2.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{{(\frac{4 \sqrt{3}}{\sqrt{x}})}^{2}}$

Этап 4.2.3.3

Умножим $\frac{4 \sqrt{3}}{\sqrt{x}}$ на $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{{(\frac{4 \sqrt{3}}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}})}^{2}}$

Этап 4.2.3.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.4.1

Умножим $\frac{4 \sqrt{3}}{\sqrt{x}}$ на $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{{(\frac{4 \sqrt{3} \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}})}^{2}}$

Этап 4.2.3.4.2

Возведем $\sqrt{x}$ в степень $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{{(\frac{4 \sqrt{3} \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}})}^{2}}$

Этап 4.2.3.4.3

Возведем $\sqrt{x}$ в степень $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{{(\frac{4 \sqrt{3} \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}})}^{2}}$

Этап 4.2.3.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{{(\frac{4 \sqrt{3} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}})}^{2}}$

Этап 4.2.3.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{{(\frac{4 \sqrt{3} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}})}^{2}}$

Этап 4.2.3.4.6

Перепишем ${\sqrt{x}}^{2}$ в виде $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{{(\frac{4 \sqrt{3} \sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2}}$

Этап 4.2.3.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{{(\frac{4 \sqrt{3} \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2}}$

Этап 4.2.3.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{{(\frac{4 \sqrt{3} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}})}^{2}}$

Этап 4.2.3.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{{(\frac{4 \sqrt{3} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}})}^{2}}$

Этап 4.2.3.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{{(\frac{4 \sqrt{3} \sqrt{x}}{x})}^{2}}$

Этап 4.2.3.4.6.5

Упростим.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{{(\frac{4 \sqrt{3} \sqrt{x}}{x})}^{2}}$

Этап 4.2.3.5

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{{(\frac{4 \sqrt{x \cdot 3}}{x})}^{2}}$

Этап 4.2.3.6

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{{(\frac{4 \sqrt{3 \cdot x}}{x})}^{2}}$

Этап 4.2.3.7

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.7.1

Применим правило умножения к $\frac{4 \sqrt{3 x}}{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{\frac{{(4 \sqrt{3 x})}^{2}}{x^{2}}}$

Этап 4.2.3.7.2

Применим правило умножения к $4 \sqrt{3 x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{\frac{4^{2} {\sqrt{3 x}}^{2}}{x^{2}}}$

Этап 4.2.3.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.8.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{\frac{16 {\sqrt{3 x}}^{2}}{x^{2}}}$

Этап 4.2.3.8.2

Перепишем ${\sqrt{3 x}}^{2}$ в виде $3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.8.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3 x}$ в виде ${(3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{\frac{16 {({(3 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{x^{2}}}$

Этап 4.2.3.8.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{\frac{16 {(3 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{x^{2}}}$

Этап 4.2.3.8.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{\frac{16 {(3 x)}^{\frac{2}{2}}}{x^{2}}}$

Этап 4.2.3.8.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.8.2.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{\frac{16 {(3 x)}^{\frac{2}{2}}}{x^{2}}}$

Этап 4.2.3.8.2.4.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{\frac{16 (3 x)}{x^{2}}}$

Этап 4.2.3.8.2.5

Упростим.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{\frac{16 (3 x)}{x^{2}}}$

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{\frac{16 \cdot (3 x)}{x^{2}}}$

Этап 4.2.3.8.3

Умножим $16$ на $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{\frac{48 x}{x^{2}}}$

Этап 4.2.3.9

Сократим общий множитель $x$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.9.1

Вынесем множитель $x$ из $48 x$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{\frac{x \cdot 48}{x^{2}}}$

Этап 4.2.3.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.9.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{\frac{x \cdot 48}{x \cdot x}}$

Этап 4.2.3.9.2.2

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{\frac{x \cdot 48}{x \cdot x}}$

Этап 4.2.3.9.2.3

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{\frac{48}{x}}$

Этап 4.2.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = 48 (\frac{x}{48})$

Этап 4.2.5

Сократим общий множитель $48$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = 48 (\frac{x}{48})$

Этап 4.2.5.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = x$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (\frac{48}{x^{2}})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{48}{x^{2}}) = \sqrt{\frac{48}{\frac{48}{x^{2}}}}$

Этап 4.3.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\frac{48}{x^{2}}) = \sqrt{48 (\frac{x^{2}}{48})}$

Этап 4.3.4

Сократим общий множитель $48$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{48}{x^{2}}) = \sqrt{48 (\frac{x^{2}}{48})}$

Этап 4.3.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{48}{x^{2}}) = \sqrt{x^{2}}$

Этап 4.3.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (\frac{48}{x^{2}}) = x$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{48}{x^{2}}$ — обратная к $f (x) = \sqrt{\frac{48}{x}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{48}{x^{2}}$