Алгебра Примеры

$f (x) = x (4 x^{2} - 12 x + 9) (x^{2} + 8 x + 16)$

Этап 1

Приравняем $x (4 x^{2} - 12 x + 9) (x^{2} + 8 x + 16)$ к $0$ .

$x (4 x^{2} - 12 x + 9) (x^{2} + 8 x + 16) = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Перепишем $4 x^{2}$ в виде ${(2 x)}^{2}$ .

$x ({(2 x)}^{2} - 12 x + 9) (x^{2} + 8 x + 16) = 0$

Этап 2.1.1.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x ({(2 x)}^{2} - 12 x + 3^{2}) (x^{2} + 8 x + 16) = 0$

Этап 2.1.1.3

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$12 x = 2 \cdot (2 x) \cdot 3$

Этап 2.1.1.4

Перепишем многочлен.

$x ({(2 x)}^{2} - 2 \cdot (2 x) \cdot 3 + 3^{2}) (x^{2} + 8 x + 16) = 0$

Этап 2.1.1.5

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = 2 x$ и $b = 3$ .

$x {(2 x - 3)}^{2} (x^{2} + 8 x + 16) = 0$

Этап 2.1.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x {(2 x - 3)}^{2} (x^{2} + 8 x + 4^{2}) = 0$

Этап 2.1.2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Этап 2.1.2.3

Перепишем многочлен.

$x {(2 x - 3)}^{2} (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Этап 2.1.2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 4$ .

$x {(2 x - 3)}^{2} {(x + 4)}^{2} = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

${(2 x - 3)}^{2} = 0$

${(x + 4)}^{2} = 0$

Этап 2.3

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 2.4

Приравняем ${(2 x - 3)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем ${(2 x - 3)}^{2}$ к $0$ .

${(2 x - 3)}^{2} = 0$

Этап 2.4.2

Решим ${(2 x - 3)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Приравняем $2 x - 3$ к $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Этап 2.4.2.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 3$

Этап 2.4.2.2.2

Разделим каждый член $2 x = 3$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = 3$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Этап 2.4.2.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Этап 2.4.2.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Этап 2.5

Приравняем ${(x + 4)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем ${(x + 4)}^{2}$ к $0$ .

${(x + 4)}^{2} = 0$

Этап 2.5.2

Решим ${(x + 4)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Приравняем $x + 4$ к $0$ .

$x + 4 = 0$

Этап 2.5.2.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (4 x^{2} - 12 x + 9) (x^{2} + 8 x + 16) = 0$ верно. Кратность корня ― это количество появлений этого корня.

$x = 0$ (кратно $1$ )

$x = \frac{3}{2}$ (кратно $2$ )

$x = - 4$ (кратно $2$ )

$x = 0$ (кратно $1$ )

$x = \frac{3}{2}$ (кратно $2$ )

$x = - 4$ (кратно $2$ )

Этап 3