Алгебра Примеры

$f (x) = x (25 - x)$

Этап 1

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x) = x \cdot 25 + x (- x)$

Этап 1.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перенесем $25$ влево от $x$ .

$f (x) = 25 \cdot x + x (- x)$

Этап 1.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f (x) = 25 \cdot x - x \cdot x$

Этап 2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перенесем $x$ .

$f (x) = 25 x - (x \cdot x)$

Этап 2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f (x) = 25 x - x^{2}$

Этап 3

Квадратичная функция достигает максимума в $x = - \frac{b}{2 a}$ . Если $a$ принимает отрицательные значения, то максимальным значением функции будет $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{max}$ $x = a x^{2} + b x + c$ входит в $x = - \frac{b}{2 a}$

Этап 4

Найдем значение $x = - \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим в значения $a$ и $b$ .

$x = - \frac{25}{2 (- 1)}$

Этап 4.2

Избавимся от скобок.

$x = - \frac{25}{2 (- 1)}$

Этап 4.3

Упростим $- \frac{25}{2 (- 1)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x = - \frac{25}{- 2}$

Этап 4.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - - \frac{25}{2}$

Этап 4.3.3

Умножим $- - \frac{25}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x = 1 (\frac{25}{2})$

Этап 4.3.3.2

Умножим $\frac{25}{2}$ на $1$ .

$x = \frac{25}{2}$

Этап 5

Найдем значение $f (\frac{25}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{25}{2}$ .

$f (\frac{25}{2}) = 25 (\frac{25}{2}) - {(\frac{25}{2})}^{2}$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Умножим $25 (\frac{25}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Объединим $25$ и $\frac{25}{2}$ .

$f (\frac{25}{2}) = \frac{25 \cdot 25}{2} - {(\frac{25}{2})}^{2}$

Этап 5.2.1.1.2

Умножим $25$ на $25$ .

$f (\frac{25}{2}) = \frac{625}{2} - {(\frac{25}{2})}^{2}$

Этап 5.2.1.2

Применим правило умножения к $\frac{25}{2}$ .

$f (\frac{25}{2}) = \frac{625}{2} - \frac{25^{2}}{2^{2}}$

Этап 5.2.1.3

Возведем $25$ в степень $2$ .

$f (\frac{25}{2}) = \frac{625}{2} - \frac{625}{2^{2}}$

Этап 5.2.1.4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (\frac{25}{2}) = \frac{625}{2} - \frac{625}{4}$

Этап 5.2.2

Чтобы записать $\frac{625}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{25}{2}) = \frac{625}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{625}{4}$

Этап 5.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Умножим $\frac{625}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{25}{2}) = \frac{625 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{625}{4}$

Этап 5.2.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f (\frac{25}{2}) = \frac{625 \cdot 2}{4} - \frac{625}{4}$

Этап 5.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{25}{2}) = \frac{625 \cdot 2 - 625}{4}$

Этап 5.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Умножим $625$ на $2$ .

$f (\frac{25}{2}) = \frac{1250 - 625}{4}$

Этап 5.2.5.2

Вычтем $625$ из $1250$ .

$f (\frac{25}{2}) = \frac{625}{4}$

Этап 5.2.6

Окончательный ответ: $\frac{625}{4}$ .

$\frac{625}{4}$

Этап 6

Используем значения $x$ и $y$ , чтобы найти, где достигается максимум.

$(\frac{25}{2}, \frac{625}{4})$

Этап 7