Алгебра Примеры

$x^{4} + 2 x^{3} - x - 2$

Этап 1

Запишем $x^{4} + 2 x^{3} - x - 2$ в виде уравнения.

$y = x^{4} + 2 x^{3} - x - 2$

Этап 2

Найдем точки пересечения с осью x.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы найти точки пересечения с осью x, подставим $0$ вместо $y$ и найдем решение для $x$ .

$0 = x^{4} + 2 x^{3} - x - 2$

Этап 2.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем уравнение в виде $x^{4} + 2 x^{3} - x - 2 = 0$ .

$x^{4} + 2 x^{3} - x - 2 = 0$

Этап 2.2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(x^{4} + 2 x^{3}) - x - 2 = 0$

Этап 2.2.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x^{3} (x + 2) - (x + 2) = 0$

Этап 2.2.2.2

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $x + 2$ .

$(x + 2) (x^{3} - 1) = 0$

Этап 2.2.2.3

Перепишем $1$ в виде $1^{3}$ .

$(x + 2) (x^{3} - 1^{3}) = 0$

Этап 2.2.2.4

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$(x + 2) ((x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})) = 0$

Этап 2.2.2.5

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.5.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.5.1.1

Умножим $x$ на $1$ .

$(x + 2) ((x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})) = 0$

Этап 2.2.2.5.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$(x + 2) ((x - 1) (x^{2} + x + 1)) = 0$

Этап 2.2.2.5.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x + 2) (x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$

Этап 2.2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 1 = 0$

$x^{2} + x + 1 = 0$

Этап 2.2.4

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 2.2.4.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 2.2.5

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 2.2.5.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 2.2.6

Приравняем $x^{2} + x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1

Приравняем $x^{2} + x + 1$ к $0$ .

$x^{2} + x + 1 = 0$

Этап 2.2.6.2

Решим $x^{2} + x + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.2.6.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = 1$ и $c = 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.6.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.2.3.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.6.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.6.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.6.2.3.1.3

Вычтем $4$ из $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.6.2.3.1.4

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.6.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (3)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.6.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.6.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.2.6.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.2.4.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.6.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.6.2.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.6.2.4.1.3

Вычтем $4$ из $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.6.2.4.1.4

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.6.2.4.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (3)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.6.2.4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.6.2.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.2.6.2.4.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.2.6.2.4.4

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.2.6.2.4.5

Вынесем множитель $- 1$ из $i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{2}$

Этап 2.2.6.2.4.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{2}$

Этап 2.2.6.2.4.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.2.6.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.2.5.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.6.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.6.2.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.6.2.5.1.3

Вычтем $4$ из $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.6.2.5.1.4

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.6.2.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (3)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.6.2.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.6.2.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.2.6.2.5.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.2.6.2.5.4

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.2.6.2.5.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{2}$

Этап 2.2.6.2.5.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{2}$

Этап 2.2.6.2.5.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.2.6.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.2.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 2) (x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$ верно.

$x = - 2, 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.3

Точки пересечения с осью x в форме точки.

точки пересечения с осью x: $(- 2, 0), (1, 0)$

Этап 3

Найдем точку пересечения с осью Y.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы найти точки пересечения с осью y, подставим $0$ вместо $x$ и найдем решение для $y$ .

$y = {(0)}^{4} + 2 {(0)}^{3} - (0) - 2$

Этап 3.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 0^{4} + 2 {(0)}^{3} - (0) - 2$

Этап 3.2.2

Избавимся от скобок.

$y = 0^{4} + 2 \cdot 0^{3} - (0) - 2$

Этап 3.2.3

Избавимся от скобок.

$y = {(0)}^{4} + 2 {(0)}^{3} - (0) - 2$

Этап 3.2.4

Упростим ${(0)}^{4} + 2 {(0)}^{3} - (0) - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = 0 + 2 {(0)}^{3} - (0) - 2$

Этап 3.2.4.1.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = 0 + 2 \cdot 0 - (0) - 2$

Этап 3.2.4.1.3

Умножим $2$ на $0$ .

$y = 0 + 0 - (0) - 2$

Этап 3.2.4.1.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 - 2$

Этап 3.2.4.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$y = 0 + 0 - 2$

Этап 3.2.4.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$y = 0 - 2$

Этап 3.2.4.2.3

Вычтем $2$ из $0$ .

$y = - 2$

Этап 3.3

Точки пересечения с осью y в форме точки.

Точки пересечения с осью y: $(0, - 2)$

Этап 4

Перечислим пересечения.

точки пересечения с осью x: $(- 2, 0), (1, 0)$

Точки пересечения с осью y: $(0, - 2)$

Этап 5