Алгебра Примеры

$f (x) = x^{2}$ , $(0, 0)$

Этап 1

Проверим, лежит ли заданная точка на графике заданной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем значение $f (x) = x^{2}$ в точке $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = {(0)}^{2}$

Этап 1.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0$

Этап 1.1.2.2

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 1.2

Поскольку $0 = 0$ , точка лежит на графике.

Точка лежит на графике

Этап 2

Угловой коэффициент касательной равен производной выражения.

$m$ $=$ Производная от $f (x) = x^{2}$

Этап 3

Рассмотрим определение производной на основе предела.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 4

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = {(x + h)}^{2}$

Этап 4.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Перепишем ${(x + h)}^{2}$ в виде $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = (x + h) (x + h)$

Этап 4.1.2.2

Развернем $(x + h) (x + h)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = x (x + h) + h (x + h)$

Этап 4.1.2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h (x + h)$

Этап 4.1.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h x + h \cdot h$

Этап 4.1.2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h \cdot h$

Этап 4.1.2.3.1.2

Умножим $h$ на $h$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h^{2}$

Этап 4.1.2.3.2

Добавим $x h$ и $h x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.2.1

Изменим порядок $x$ и $h$ .

$f (x + h) = x^{2} + h x + h x + h^{2}$

Этап 4.1.2.3.2.2

Добавим $h x$ и $h x$ .

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2}$

Этап 4.1.2.4

Окончательный ответ: $x^{2} + 2 h x + h^{2}$ .

$x^{2} + 2 h x + h^{2}$

Этап 4.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$2 h x + h^{2} + x^{2}$

Этап 4.2.2

Изменим порядок $2 h x$ и $h^{2}$ .

$h^{2} + 2 h x + x^{2}$

Этап 4.3

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2}$

$f (x) = x^{2}$

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2}$

$f (x) = x^{2}$

Этап 5

Подставим компоненты.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} - (x^{2})}{h}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Вычтем $x^{2}$ из $x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 0}{h}$

Этап 6.1.2

Добавим $h^{2} + 2 h x$ и $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x}{h}$

Этап 6.1.3

Вынесем множитель $h$ из $h^{2} + 2 h x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

Вынесем множитель $h$ из $h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot h + 2 h x}{h}$

Этап 6.1.3.2

Вынесем множитель $h$ из $2 h x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h) + h (2 x)}{h}$

Этап 6.1.3.3

Вынесем множитель $h$ из $h (h) + h (2 x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x)}{h}$

Этап 6.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x)}{h}$

Этап 6.2.1.2

Разделим $h + 2 x$ на $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h + 2 x$

Этап 6.2.2

Изменим порядок $h$ и $2 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2 x + h$

Этап 7

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$lim_{h \to 0} 2 x + lim_{h \to 0} h$

Этап 7.2

Найдем предел $2 x$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$2 x + lim_{h \to 0} h$

Этап 8

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$2 x + 0$

Этап 9

Добавим $2 x$ и $0$ .

$2 x$

Этап 10

Умножим $2$ на $0$ .

$m = 0$

Этап 11

Угловой коэффициент равен $m = 0$ , а точка ― $(0, 0)$ .

$m = 0, (0, 0)$

Этап 12

Найдем значение $b$ , используя уравнение прямой.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Найдем $b$ с помощью уравнения прямой.

$y = m x + b$

Этап 12.2

Подставим значение $m$ в уравнение.

$y = (0) \cdot x + b$

Этап 12.3

Подставим значение $x$ в уравнение.

$y = (0) \cdot (0) + b$

Этап 12.4

Подставим значение $y$ в уравнение.

$0 = (0) \cdot (0) + b$

Этап 12.5

Найдем значение $b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.1

Перепишем уравнение в виде $(0) \cdot (0) + b = 0$ .

$(0) \cdot (0) + b = 0$

Этап 12.5.2

Упростим $(0) \cdot (0) + b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.2.1

Умножим $0$ на $0$ .

$0 + b = 0$

Этап 12.5.2.2

Добавим $0$ и $b$ .

$b = 0$

Этап 13

Теперь, когда известны значения $m$ (углового коэффициента) и $b$ (координат точки пересечения с осью y), подставим их в $y = m x + b$ , чтобы найти уравнение прямой.

$y = 0$

Этап 14