Алгебра Примеры

$y = | x^{2} - 3 x + 1 |$ , $y = x - 1$

Этап 1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$| x^{2} - 3 x + 1 | = x - 1$

Этап 2

Решим $| x^{2} - 3 x + 1 | = x - 1$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$x^{2} - 3 x + 1 = \pm (x - 1)$

Этап 2.2

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x^{2} - 3 x + 1 = x - 1$

Этап 2.2.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 3 x + 1 - x = - 1$

Этап 2.2.2.2

Вычтем $x$ из $- 3 x$ .

$x^{2} - 4 x + 1 = - 1$

Этап 2.2.3

Перенесем все члены в левую часть уравнения и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} - 4 x + 1 + 1 = 0$

Этап 2.2.3.2

Добавим $1$ и $1$ .

$x^{2} - 4 x + 2 = 0$

Этап 2.2.4

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a} + y = x - 1$

Этап 2.2.5

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 4$ и $c = 2$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1} + y = x - 1$

Этап 2.2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.6.1.2.2

Умножим $- 4$ на $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.6.1.3

Вычтем $8$ из $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.6.1.4

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.6.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.6.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.6.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Этап 2.2.6.3

Упростим $\frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{2}$

Этап 2.2.7

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.7.1.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.7.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.7.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.7.1.2.2

Умножим $- 4$ на $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.7.1.3

Вычтем $8$ из $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.7.1.4

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.7.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.7.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.7.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.7.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Этап 2.2.7.3

Упростим $\frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{2}$

Этап 2.2.7.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = 2 + \sqrt{2}$

Этап 2.2.8

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.8.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.8.1.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.8.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.8.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.8.1.2.2

Умножим $- 4$ на $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.8.1.3

Вычтем $8$ из $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.8.1.4

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.8.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.8.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.8.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.8.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Этап 2.2.8.3

Упростим $\frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{2}$

Этап 2.2.8.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = 2 - \sqrt{2}$

Этап 2.2.9

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = 2 + \sqrt{2}, 2 - \sqrt{2}$

Этап 2.2.10

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x^{2} - 3 x + 1 = - (x - 1)$

Этап 2.2.11

Упростим $- (x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.11.1

Перепишем.

$x^{2} - 3 x + 1 = 0 + 0 - (x - 1)$

Этап 2.2.11.2

Упростим путем добавления нулей.

$x^{2} - 3 x + 1 = - (x - 1)$

Этап 2.2.11.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} - 3 x + 1 = - x - - 1$

Этап 2.2.11.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x^{2} - 3 x + 1 = - x + 1$

Этап 2.2.12

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.12.1

Добавим $x$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} - 3 x + 1 + x = 1$

Этап 2.2.12.2

Добавим $- 3 x$ и $x$ .

$x^{2} - 2 x + 1 = 1$

Этап 2.2.13

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 2 x + 1 - 1 = 0$

Этап 2.2.14

Объединим противоположные члены в $x^{2} - 2 x + 1 - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.14.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$x^{2} - 2 x + 0 = 0$

Этап 2.2.14.2

Добавим $x^{2} - 2 x$ и $0$ .

$x^{2} - 2 x = 0$

Этап 2.2.15

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.15.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$x \cdot x - 2 x = 0$

Этап 2.2.15.2

Вынесем множитель $x$ из $- 2 x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 2 = 0$

Этап 2.2.15.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot - 2$ .

$x (x - 2) = 0$

Этап 2.2.16

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x - 2 = 0 + y = x - 1$

Этап 2.2.17

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 2.2.18

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.18.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 2.2.18.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 2.2.19

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (x - 2) = 0$ верно.

$x = 0, 2$

Этап 2.2.20

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 2 + \sqrt{2}, 2 - \sqrt{2}, 0, 2$

Этап 2.3

Исключим решения, которые не делают $| x^{2} - 3 x + 1 | = x - 1$ истинным.

$x = 2 + \sqrt{2}, 2$

Этап 3

Вычислим $y$ , когда $x = 2 + \sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $2 + \sqrt{2}$ вместо $x$ .

$y = (2 + \sqrt{2}) - 1$

Этап 3.2

Подставим $2 + \sqrt{2}$ вместо $x$ в $y = (2 + \sqrt{2}) - 1$ и решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 2 + \sqrt{2} - 1$

Этап 3.2.2

Избавимся от скобок.

$y = (2 + \sqrt{2}) - 1$

Этап 3.2.3

Вычтем $1$ из $2$ .

$y = 1 + \sqrt{2}$

Этап 4

Вычислим $y$ , когда $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $2$ вместо $x$ .

$y = (2) - 1$

Этап 4.2

Подставим $2$ вместо $x$ в $y = (2) - 1$ и решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 2 - 1$

Этап 4.2.2

Избавимся от скобок.

$y = (2) - 1$

Этап 4.2.3

Вычтем $1$ из $2$ .

$y = 1$

Этап 5

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(2 + \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2})$

$(2, 1)$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

В виде точки:

$(2 + \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2}), (2, 1)$

Форма уравнения:

$x = 2 + \sqrt{2}, y = 1 + \sqrt{2}$

$x = 2, y = 1$

Этап 7