Алгебра Примеры

$n (t) = 4 t^{3} - 2 t^{2} + 8 t + 5$

Этап 1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

Этап 2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm 5, \pm \frac{5}{2}, \pm \frac{5}{4}$

Этап 3

Подставим возможные корни поочередно в многочлен, чтобы найти фактические корни. Упростим и убедимся, что это значение равно $0$ , значит, это корень.

$4 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 2 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 8 (- \frac{1}{2}) + 5$

Этап 4

Упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $t = - \frac{1}{2}$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{2}$ .

$4 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3}) - 2 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 8 (- \frac{1}{2}) + 5$

Этап 4.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$4 ({(- 1)}^{3} \frac{1^{3}}{2^{3}}) - 2 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 8 (- \frac{1}{2}) + 5$

Этап 4.1.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$4 (- \frac{1^{3}}{2^{3}}) - 2 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 8 (- \frac{1}{2}) + 5$

Этап 4.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$4 (- \frac{1}{2^{3}}) - 2 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 8 (- \frac{1}{2}) + 5$

Этап 4.1.4

Возведем $2$ в степень $3$ .

$4 (- \frac{1}{8}) - 2 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 8 (- \frac{1}{2}) + 5$

Этап 4.1.5

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{8}$ в числитель.

$4 (\frac{- 1}{8}) - 2 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 8 (- \frac{1}{2}) + 5$

Этап 4.1.5.2

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$4 \frac{- 1}{4 (2)} - 2 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 8 (- \frac{1}{2}) + 5$

Этап 4.1.5.3

Сократим общий множитель.

$4 \frac{- 1}{4 \cdot 2} - 2 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 8 (- \frac{1}{2}) + 5$

Этап 4.1.5.4

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{2} - 2 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 8 (- \frac{1}{2}) + 5$

Этап 4.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{2} - 2 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 8 (- \frac{1}{2}) + 5$

Этап 4.1.7

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} - 2 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) + 8 (- \frac{1}{2}) + 5$

Этап 4.1.7.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} - 2 ({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}}) + 8 (- \frac{1}{2}) + 5$

Этап 4.1.8

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$- \frac{1}{2} - 2 (1 \frac{1^{2}}{2^{2}}) + 8 (- \frac{1}{2}) + 5$

Этап 4.1.9

Умножим $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ на $1$ .

$- \frac{1}{2} - 2 \frac{1^{2}}{2^{2}} + 8 (- \frac{1}{2}) + 5$

Этап 4.1.10

Единица в любой степени равна единице.

$- \frac{1}{2} - 2 \frac{1}{2^{2}} + 8 (- \frac{1}{2}) + 5$

Этап 4.1.11

Возведем $2$ в степень $2$ .

$- \frac{1}{2} - 2 (\frac{1}{4}) + 8 (- \frac{1}{2}) + 5$

Этап 4.1.12

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.12.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$- \frac{1}{2} + 2 (- 1) \frac{1}{4} + 8 (- \frac{1}{2}) + 5$

Этап 4.1.12.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$- \frac{1}{2} + 2 \cdot - 1 \frac{1}{2 \cdot 2} + 8 (- \frac{1}{2}) + 5$

Этап 4.1.12.3

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{2} + 2 \cdot - 1 \frac{1}{2 \cdot 2} + 8 (- \frac{1}{2}) + 5$

Этап 4.1.12.4

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{2} - 1 (\frac{1}{2}) + 8 (- \frac{1}{2}) + 5$

Этап 4.1.13

Перепишем $- 1 (\frac{1}{2})$ в виде $- (\frac{1}{2})$ .

$- \frac{1}{2} - (\frac{1}{2}) + 8 (- \frac{1}{2}) + 5$

Этап 4.1.14

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.14.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2}$ в числитель.

$- \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + 8 (\frac{- 1}{2}) + 5$

Этап 4.1.14.2

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + 2 (4) \frac{- 1}{2} + 5$

Этап 4.1.14.3

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + 2 \cdot 4 \frac{- 1}{2} + 5$

Этап 4.1.14.4

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + 4 \cdot - 1 + 5$

Этап 4.1.15

Умножим $4$ на $- 1$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{1}{2} - 4 + 5$

Этап 4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 4 + 5 + \frac{- 1 - 1}{2}$

Этап 4.2.2

Вычтем $1$ из $- 1$ .

$- 4 + 5 + \frac{- 2}{2}$

Этап 4.3

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Запишем $- 4$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{- 4}{1} + 5 + \frac{- 2}{2}$

Этап 4.3.2

Умножим $\frac{- 4}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 4}{1} \cdot \frac{2}{2} + 5 + \frac{- 2}{2}$

Этап 4.3.3

Умножим $\frac{- 4}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 4 \cdot 2}{2} + 5 + \frac{- 2}{2}$

Этап 4.3.4

Запишем $5$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{- 4 \cdot 2}{2} + \frac{5}{1} + \frac{- 2}{2}$

Этап 4.3.5

Умножим $\frac{5}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 4 \cdot 2}{2} + \frac{5}{1} \cdot \frac{2}{2} + \frac{- 2}{2}$

Этап 4.3.6

Умножим $\frac{5}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 4 \cdot 2}{2} + \frac{5 \cdot 2}{2} + \frac{- 2}{2}$

Этап 4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 4 \cdot 2 + 5 \cdot 2 - 2}{2}$

Этап 4.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Умножим $- 4$ на $2$ .

$\frac{- 8 + 5 \cdot 2 - 2}{2}$

Этап 4.5.2

Умножим $5$ на $2$ .

$\frac{- 8 + 10 - 2}{2}$

Этап 4.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Добавим $- 8$ и $10$ .

$\frac{2 - 2}{2}$

Этап 4.6.2

Вычтем $2$ из $2$ .

$\frac{0}{2}$

Этап 4.6.3

Разделим $0$ на $2$ .

$0$

Этап 5

Поскольку $- \frac{1}{2}$ — известный корень, разделим многочлен на $t + \frac{1}{2}$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{4 t^{3} - 2 t^{2} + 8 t + 5}{t + \frac{1}{2}}$

Этап 6

Затем найдем корни оставшегося многочлена. Порядок многочлена был уменьшен на $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$- \frac{1}{2}$	$4$	$- 2$	$8$	$5$

Этап 6.2

Первое число в делимом $(4)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$- \frac{1}{2}$	$4$	$- 2$	$8$	$5$

	$4$

Этап 6.3

Умножим последний элемент в области результата $(4)$ на делитель $(- \frac{1}{2})$ и запишем их произведение $(- 2)$ под следующим членом делимого $(- 2)$ .

$- \frac{1}{2}$	$4$	$- 2$	$8$	$5$
		$- 2$
	$4$

Этап 6.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- \frac{1}{2}$	$4$	$- 2$	$8$	$5$
		$- 2$
	$4$	$- 4$

Этап 6.5

Умножим последний элемент в области результата $(- 4)$ на делитель $(- \frac{1}{2})$ и запишем их произведение $(2)$ под следующим членом делимого $(8)$ .

$- \frac{1}{2}$	$4$	$- 2$	$8$	$5$
		$- 2$	$2$
	$4$	$- 4$

Этап 6.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- \frac{1}{2}$	$4$	$- 2$	$8$	$5$
		$- 2$	$2$
	$4$	$- 4$	$10$

Этап 6.7

Умножим последний элемент в области результата $(10)$ на делитель $(- \frac{1}{2})$ и запишем их произведение $(- 5)$ под следующим членом делимого $(5)$ .

$- \frac{1}{2}$	$4$	$- 2$	$8$	$5$
		$- 2$	$2$	$- 5$
	$4$	$- 4$	$10$

Этап 6.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- \frac{1}{2}$	$4$	$- 2$	$8$	$5$
		$- 2$	$2$	$- 5$
	$4$	$- 4$	$10$	$0$

Этап 6.9

Все числа, кроме последнего, становятся коэффициентами фактор-многочлена. Последнее значение в строке результатов — это остаток.

$4 t^{2} + - 4 t + 10$

Этап 6.10

Упростим частное многочленов.

$4 t^{2} - 4 t + 10$

Этап 7

Вынесем множитель $2$ из $4 t^{2} - 4 t + 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $2$ из $4 t^{2}$ .

$(t + \frac{1}{2}) (2 (2 t^{2}) - 4 t + 10)$

Этап 7.2

Вынесем множитель $2$ из $- 4 t$ .

$(t + \frac{1}{2}) (2 (2 t^{2}) + 2 (- 2 t) + 10)$

Этап 7.3

Вынесем множитель $2$ из $10$ .

$(t + \frac{1}{2}) (2 (2 t^{2}) + 2 (- 2 t) + 2 (5))$

Этап 7.4

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 t^{2}) + 2 (- 2 t)$ .

$(t + \frac{1}{2}) (2 (2 t^{2} - 2 t) + 2 (5))$

Этап 7.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 t^{2} - 2 t) + 2 (5)$ .

$(t + \frac{1}{2}) (2 (2 t^{2} - 2 t + 5))$

Этап 8

Разложим $4 t^{3} - 2 t^{2} + 8 t + 5$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

$p = \pm 1, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

Этап 8.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 5, \pm 1.25, \pm 2.5$

Этап 8.3

Подставим $- 0.5$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 0.5$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Подставим $- 0.5$ в многочлен.

$4 {(- 0.5)}^{3} - 2 {(- 0.5)}^{2} + 8 \cdot - 0.5 + 5$

Этап 8.3.2

Возведем $- 0.5$ в степень $3$ .

$4 \cdot - 0.125 - 2 {(- 0.5)}^{2} + 8 \cdot - 0.5 + 5$

Этап 8.3.3

Умножим $4$ на $- 0.125$ .

$- 0.5 - 2 {(- 0.5)}^{2} + 8 \cdot - 0.5 + 5$

Этап 8.3.4

Возведем $- 0.5$ в степень $2$ .

$- 0.5 - 2 \cdot 0.25 + 8 \cdot - 0.5 + 5$

Этап 8.3.5

Умножим $- 2$ на $0.25$ .

$- 0.5 - 0.5 + 8 \cdot - 0.5 + 5$

Этап 8.3.6

Вычтем $0.5$ из $- 0.5$ .

$- 1 + 8 \cdot - 0.5 + 5$

Этап 8.3.7

Умножим $8$ на $- 0.5$ .

$- 1 - 4 + 5$

Этап 8.3.8

Вычтем $4$ из $- 1$ .

$- 5 + 5$

Этап 8.3.9

Добавим $- 5$ и $5$ .

$0$

Этап 8.4

Поскольку $- 0.5$ — известный корень, разделим многочлен на $2 t + 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{4 t^{3} - 2 t^{2} + 8 t + 5}{2 t + 1}$

Этап 8.5

Разделим $4 t^{3} - 2 t^{2} + 8 t + 5$ на $2 t + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$2 t$

$1$

$4 t^{3}$

$2 t^{2}$

$8 t$

$5$

Этап 8.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $4 t^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 t$ .

					$2 t^{2}$
	$2 t$	+	$1$		$4 t^{3}$	-	$2 t^{2}$	+	$8 t$	+	$5$

Этап 8.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$2 t^{2}$
$2 t$	+	$1$		$4 t^{3}$	-	$2 t^{2}$	+	$8 t$	+	$5$
			+	$4 t^{3}$	+	$2 t^{2}$

Этап 8.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $4 t^{3} + 2 t^{2}$ .

				$2 t^{2}$
$2 t$	+	$1$		$4 t^{3}$	-	$2 t^{2}$	+	$8 t$	+	$5$
			-	$4 t^{3}$	-	$2 t^{2}$

Этап 8.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$2 t^{2}$
$2 t$	+	$1$		$4 t^{3}$	-	$2 t^{2}$	+	$8 t$	+	$5$
			-	$4 t^{3}$	-	$2 t^{2}$
					-	$4 t^{2}$

Этап 8.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$2 t^{2}$
$2 t$	+	$1$		$4 t^{3}$	-	$2 t^{2}$	+	$8 t$	+	$5$
			-	$4 t^{3}$	-	$2 t^{2}$
					-	$4 t^{2}$	+	$8 t$

Этап 8.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 4 t^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 t$ .

				$2 t^{2}$	-	$2 t$
$2 t$	+	$1$		$4 t^{3}$	-	$2 t^{2}$	+	$8 t$	+	$5$
			-	$4 t^{3}$	-	$2 t^{2}$
					-	$4 t^{2}$	+	$8 t$

Этап 8.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$2 t^{2}$	-	$2 t$
$2 t$	+	$1$		$4 t^{3}$	-	$2 t^{2}$	+	$8 t$	+	$5$
			-	$4 t^{3}$	-	$2 t^{2}$
					-	$4 t^{2}$	+	$8 t$
					-	$4 t^{2}$	-	$2 t$

Этап 8.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 4 t^{2} - 2 t$ .

				$2 t^{2}$	-	$2 t$
$2 t$	+	$1$		$4 t^{3}$	-	$2 t^{2}$	+	$8 t$	+	$5$
			-	$4 t^{3}$	-	$2 t^{2}$
					-	$4 t^{2}$	+	$8 t$
					+	$4 t^{2}$	+	$2 t$

Этап 8.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$2 t^{2}$	-	$2 t$
$2 t$	+	$1$		$4 t^{3}$	-	$2 t^{2}$	+	$8 t$	+	$5$
			-	$4 t^{3}$	-	$2 t^{2}$
					-	$4 t^{2}$	+	$8 t$
					+	$4 t^{2}$	+	$2 t$
							+	$10 t$

Этап 8.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$2 t^{2}$	-	$2 t$
$2 t$	+	$1$		$4 t^{3}$	-	$2 t^{2}$	+	$8 t$	+	$5$
			-	$4 t^{3}$	-	$2 t^{2}$
					-	$4 t^{2}$	+	$8 t$
					+	$4 t^{2}$	+	$2 t$
							+	$10 t$	+	$5$

Этап 8.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $10 t$ на член с максимальной степенью в делителе $2 t$ .

				$2 t^{2}$	-	$2 t$	+	$5$
$2 t$	+	$1$		$4 t^{3}$	-	$2 t^{2}$	+	$8 t$	+	$5$
			-	$4 t^{3}$	-	$2 t^{2}$
					-	$4 t^{2}$	+	$8 t$
					+	$4 t^{2}$	+	$2 t$
							+	$10 t$	+	$5$

Этап 8.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$2 t^{2}$	-	$2 t$	+	$5$
$2 t$	+	$1$		$4 t^{3}$	-	$2 t^{2}$	+	$8 t$	+	$5$
			-	$4 t^{3}$	-	$2 t^{2}$
					-	$4 t^{2}$	+	$8 t$
					+	$4 t^{2}$	+	$2 t$
							+	$10 t$	+	$5$
							+	$10 t$	+	$5$

Этап 8.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $10 t + 5$ .

				$2 t^{2}$	-	$2 t$	+	$5$
$2 t$	+	$1$		$4 t^{3}$	-	$2 t^{2}$	+	$8 t$	+	$5$
			-	$4 t^{3}$	-	$2 t^{2}$
					-	$4 t^{2}$	+	$8 t$
					+	$4 t^{2}$	+	$2 t$
							+	$10 t$	+	$5$
							-	$10 t$	-	$5$

Этап 8.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$2 t^{2}$	-	$2 t$	+	$5$
$2 t$	+	$1$		$4 t^{3}$	-	$2 t^{2}$	+	$8 t$	+	$5$
			-	$4 t^{3}$	-	$2 t^{2}$
					-	$4 t^{2}$	+	$8 t$
					+	$4 t^{2}$	+	$2 t$
							+	$10 t$	+	$5$
							-	$10 t$	-	$5$
										$0$

Этап 8.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$2 t^{2} - 2 t + 5$

Этап 8.6

Запишем $4 t^{3} - 2 t^{2} + 8 t + 5$ в виде набора множителей.

$(2 t + 1) (2 t^{2} - 2 t + 5) = 0$

Этап 9

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 t + 1 = 0$

$2 t^{2} - 2 t + 5 = 0$

Этап 10

Приравняем $2 t + 1$ к $0$ , затем решим относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Приравняем $2 t + 1$ к $0$ .

$2 t + 1 = 0$

Этап 10.2

Решим $2 t + 1 = 0$ относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 t = - 1$

Этап 10.2.2

Разделим каждый член $2 t = - 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Разделим каждый член $2 t = - 1$ на $2$ .

$\frac{2 t}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 10.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 t}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 10.2.2.2.1.2

Разделим $t$ на $1$ .

$t = \frac{- 1}{2}$

Этап 10.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$t = - \frac{1}{2}$

Этап 11

Приравняем $2 t^{2} - 2 t + 5$ к $0$ , затем решим относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Приравняем $2 t^{2} - 2 t + 5$ к $0$ .

$2 t^{2} - 2 t + 5 = 0$

Этап 11.2

Решим $2 t^{2} - 2 t + 5 = 0$ относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 11.2.2

Подставим значения $a = 2$ , $b = - 2$ и $c = 5$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $t$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 5)}}{2 \cdot 2}$

Этап 11.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$t = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Этап 11.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 2 \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $2$ .

$t = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Этап 11.2.3.1.2.2

Умножим $- 8$ на $5$ .

$t = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 40}}{2 \cdot 2}$

Этап 11.2.3.1.3

Вычтем $40$ из $4$ .

$t = \frac{2 \pm \sqrt{- 36}}{2 \cdot 2}$

Этап 11.2.3.1.4

Перепишем $- 36$ в виде $- 1 (36)$ .

$t = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 36}}{2 \cdot 2}$

Этап 11.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (36)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}$ .

$t = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}}{2 \cdot 2}$

Этап 11.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$t = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{36}}{2 \cdot 2}$

Этап 11.2.3.1.7

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$t = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{6^{2}}}{2 \cdot 2}$

Этап 11.2.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$t = \frac{2 \pm i \cdot 6}{2 \cdot 2}$

Этап 11.2.3.1.9

Перенесем $6$ влево от $i$ .

$t = \frac{2 \pm 6 i}{2 \cdot 2}$

Этап 11.2.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$t = \frac{2 \pm 6 i}{4}$

Этап 11.2.3.3

Упростим $\frac{2 \pm 6 i}{4}$ .

$t = \frac{1 \pm 3 i}{2}$

Этап 11.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$t = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Этап 11.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 2 \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $2$ .

$t = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Этап 11.2.4.1.2.2

Умножим $- 8$ на $5$ .

$t = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 40}}{2 \cdot 2}$

Этап 11.2.4.1.3

Вычтем $40$ из $4$ .

$t = \frac{2 \pm \sqrt{- 36}}{2 \cdot 2}$

Этап 11.2.4.1.4

Перепишем $- 36$ в виде $- 1 (36)$ .

$t = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 36}}{2 \cdot 2}$

Этап 11.2.4.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (36)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}$ .

$t = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}}{2 \cdot 2}$

Этап 11.2.4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$t = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{36}}{2 \cdot 2}$

Этап 11.2.4.1.7

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$t = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{6^{2}}}{2 \cdot 2}$

Этап 11.2.4.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$t = \frac{2 \pm i \cdot 6}{2 \cdot 2}$

Этап 11.2.4.1.9

Перенесем $6$ влево от $i$ .

$t = \frac{2 \pm 6 i}{2 \cdot 2}$

Этап 11.2.4.2

Умножим $2$ на $2$ .

$t = \frac{2 \pm 6 i}{4}$

Этап 11.2.4.3

Упростим $\frac{2 \pm 6 i}{4}$ .

$t = \frac{1 \pm 3 i}{2}$

Этап 11.2.4.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$t = \frac{1 + 3 i}{2}$

Этап 11.2.4.5

Разобьем дробь $\frac{1 + 3 i}{2}$ на две дроби.

$t = \frac{1}{2} + \frac{3 i}{2}$

Этап 11.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.5.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$t = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Этап 11.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 2 \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $2$ .

$t = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Этап 11.2.5.1.2.2

Умножим $- 8$ на $5$ .

$t = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 40}}{2 \cdot 2}$

Этап 11.2.5.1.3

Вычтем $40$ из $4$ .

$t = \frac{2 \pm \sqrt{- 36}}{2 \cdot 2}$

Этап 11.2.5.1.4

Перепишем $- 36$ в виде $- 1 (36)$ .

$t = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 36}}{2 \cdot 2}$

Этап 11.2.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (36)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}$ .

$t = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}}{2 \cdot 2}$

Этап 11.2.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$t = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{36}}{2 \cdot 2}$

Этап 11.2.5.1.7

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$t = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{6^{2}}}{2 \cdot 2}$

Этап 11.2.5.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$t = \frac{2 \pm i \cdot 6}{2 \cdot 2}$

Этап 11.2.5.1.9

Перенесем $6$ влево от $i$ .

$t = \frac{2 \pm 6 i}{2 \cdot 2}$

Этап 11.2.5.2

Умножим $2$ на $2$ .

$t = \frac{2 \pm 6 i}{4}$

Этап 11.2.5.3

Упростим $\frac{2 \pm 6 i}{4}$ .

$t = \frac{1 \pm 3 i}{2}$

Этап 11.2.5.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$t = \frac{1 - 3 i}{2}$

Этап 11.2.5.5

Разобьем дробь $\frac{1 - 3 i}{2}$ на две дроби.

$t = \frac{1}{2} + \frac{- 3 i}{2}$

Этап 11.2.5.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$t = \frac{1}{2} - \frac{3 i}{2}$

Этап 11.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$t = \frac{1}{2} + \frac{3 i}{2}, \frac{1}{2} - \frac{3 i}{2}$

Этап 12

Окончательным решением являются все значения, при которых $(2 t + 1) (2 t^{2} - 2 t + 5) = 0$ верно.

$t = - \frac{1}{2}, \frac{1}{2} + \frac{3 i}{2}, \frac{1}{2} - \frac{3 i}{2}$

Этап 13