Алгебра Примеры

$f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$

Этап 1

Запишем $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$ в виде уравнения.

$y = {(\frac{1}{2})}^{x}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = {(\frac{1}{2})}^{y}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде ${(\frac{1}{2})}^{y} = x$ .

${(\frac{1}{2})}^{y} = x$

Этап 3.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln ({(\frac{1}{2})}^{y}) = \ln (x)$

Этап 3.3

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Развернем $\ln ({(\frac{1}{2})}^{y})$ , вынося $y$ из логарифма.

$y \ln (\frac{1}{2}) = \ln (x)$

Этап 3.3.2

Перепишем $\ln (\frac{1}{2})$ в виде $\ln (1) - \ln (2)$ .

$y (\ln (1) - \ln (2)) = \ln (x)$

Этап 3.3.3

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$y (0 - \ln (2)) = \ln (x)$

Этап 3.3.4

Вычтем $\ln (2)$ из $0$ .

$y (- \ln (2)) = \ln (x)$

Этап 3.4

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Изменим порядок множителей в $y (- \ln (2))$ .

$- y \ln (2) = \ln (x)$

Этап 3.5

Разделим каждый член $- y \ln (2) = \ln (x)$ на $- \ln (2)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Разделим каждый член $- y \ln (2) = \ln (x)$ на $- \ln (2)$ .

$\frac{- y \ln (2)}{- \ln (2)} = \frac{\ln (x)}{- \ln (2)}$

Этап 3.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (x)}{- \ln (2)}$

Этап 3.5.2.2

Сократим общий множитель $\ln (2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (x)}{- \ln (2)}$

Этап 3.5.2.2.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\ln (x)}{- \ln (2)}$

Этап 3.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{\ln (x)}{\ln (2)}$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (x)}{\ln (2)}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (x)}{\ln (2)}$ обратной к $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x}) = - \frac{\ln ({(\frac{1}{2})}^{x})}{\ln (2)}$

Этап 5.2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x}) = - \frac{\ln (\frac{1^{x}}{2^{x}})}{\ln (2)}$

Этап 5.2.3.2

Единица в любой степени равна единице.

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x}) = - \frac{\ln (\frac{1}{2^{x}})}{\ln (2)}$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (- \frac{\ln (x)}{\ln (2)})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = {(\frac{1}{2})}^{- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}}$

Этап 5.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = \frac{1^{- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}}}{2^{- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}}}$

Этап 5.3.3.2

Единица в любой степени равна единице.

$f (- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = \frac{1}{2^{- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}}}$

Этап 5.3.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Используем изменение основного правила $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = \frac{1}{2^{- \log_{2} (x)}}$

Этап 5.3.4.2

Упростим $- \log_{2} (x)$ путем переноса $- 1$ под логарифм.

$f (- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = \frac{1}{2^{\log_{2} (x^{- 1})}}$

Этап 5.3.4.3

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$f (- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = \frac{1}{x^{- 1}}$

Этап 5.3.4.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = \frac{1}{\frac{1}{x}}$

Этап 5.3.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = 1 x$

Этап 5.3.6

Умножим $x$ на $1$ .

$f (- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (x)}{\ln (2)}$ — обратная к $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (x)}{\ln (2)}$