Алгебра Примеры

$x^{3} - 14 x^{2} + 49 x$

Этап 1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 0$

$q = \pm 1$

Этап 2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$0$

Этап 3

Подставим возможные корни поочередно в многочлен, чтобы найти фактические корни. Упростим и убедимся, что это значение равно $0$ , значит, это корень.

${(0)}^{3} - 14 {(0)}^{2} + 49 (0)$

Этап 4

Упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $x = 0$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 - 14 {(0)}^{2} + 49 (0)$

Этап 4.1.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 - 14 \cdot 0 + 49 (0)$

Этап 4.1.3

Умножим $- 14$ на $0$ .

$0 + 0 + 49 (0)$

Этап 4.1.4

Умножим $49$ на $0$ .

$0 + 0 + 0$

Этап 4.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$0 + 0$

Этап 4.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$0$

Этап 5

Поскольку $0$ — известный корень, разделим многочлен на $x + 0$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{3} - 14 x^{2} + 49 x}{x + 0}$

Этап 6

Затем найдем корни оставшегося многочлена. Порядок многочлена был уменьшен на $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$0$	$1$	$- 14$	$49$	$0$

Этап 6.2

Первое число в делимом $(1)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$0$	$1$	$- 14$	$49$	$0$

	$1$

Этап 6.3

Умножим последний элемент в области результата $(1)$ на делитель $(0)$ и запишем их произведение $(0)$ под следующим членом делимого $(- 14)$ .

$0$	$1$	$- 14$	$49$	$0$
		$0$
	$1$

Этап 6.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$0$	$1$	$- 14$	$49$	$0$
		$0$
	$1$	$- 14$

Этап 6.5

Умножим последний элемент в области результата $(- 14)$ на делитель $(0)$ и запишем их произведение $(0)$ под следующим членом делимого $(49)$ .

$0$	$1$	$- 14$	$49$	$0$
		$0$	$0$
	$1$	$- 14$

Этап 6.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$0$	$1$	$- 14$	$49$	$0$
		$0$	$0$
	$1$	$- 14$	$49$

Этап 6.7

Умножим последний элемент в области результата $(49)$ на делитель $(0)$ и запишем их произведение $(0)$ под следующим членом делимого $(0)$ .

$0$	$1$	$- 14$	$49$	$0$
		$0$	$0$	$0$
	$1$	$- 14$	$49$

Этап 6.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$0$	$1$	$- 14$	$49$	$0$
		$0$	$0$	$0$
	$1$	$- 14$	$49$	$0$

Этап 6.9

Все числа, кроме последнего, становятся коэффициентами фактор-многочлена. Последнее значение в строке результатов — это остаток.

$1 x^{2} + - 14 x + 49$

Этап 6.10

Упростим частное многочленов.

$x^{2} - 14 x + 49$

Этап 7

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем $49$ в виде $7^{2}$ .

$(x + 0) + x^{2} - 14 x + 7^{2}$

Этап 7.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$14 x = 2 \cdot x \cdot 7$

Этап 7.3

Перепишем многочлен.

$(x + 0) + x^{2} - 2 \cdot x \cdot 7 + 7^{2}$

Этап 7.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 7$ .

$(x + 0) + {(x - 7)}^{2}$

$(x + 0) {(x - 7)}^{2}$

Этап 8

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3} - 14 x^{2} + 49 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} - 14 x^{2} + 49 x = 0$

Этап 8.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- 14 x^{2}$ .

$x \cdot x^{2} + x (- 14 x) + 49 x = 0$

Этап 8.1.3

Вынесем множитель $x$ из $49 x$ .

$x \cdot x^{2} + x (- 14 x) + x \cdot 49 = 0$

Этап 8.1.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{2} + x (- 14 x)$ .

$x (x^{2} - 14 x) + x \cdot 49 = 0$

Этап 8.1.5

Вынесем множитель $x$ из $x (x^{2} - 14 x) + x \cdot 49$ .

$x (x^{2} - 14 x + 49) = 0$

Этап 8.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Перепишем $49$ в виде $7^{2}$ .

$x (x^{2} - 14 x + 7^{2}) = 0$

Этап 8.2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$14 x = 2 \cdot x \cdot 7$

Этап 8.2.3

Перепишем многочлен.

$x (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 7 + 7^{2}) = 0$

Этап 8.2.4

$x {(x - 7)}^{2} = 0$

Этап 9

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

${(x - 7)}^{2} = 0$

Этап 10

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 11

Приравняем ${(x - 7)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Приравняем ${(x - 7)}^{2}$ к $0$ .

${(x - 7)}^{2} = 0$

Этап 11.2

Решим ${(x - 7)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Приравняем $x - 7$ к $0$ .

$x - 7 = 0$

Этап 11.2.2

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$x = 7$

Этап 12

Окончательным решением являются все значения, при которых $x {(x - 7)}^{2} = 0$ верно.

$x = 0, 7$

Этап 13