Алгебра Примеры

$x^{4} - 5 x^{3} - 9 x^{2} + 81 x - 108$

Этап 1

Перегруппируем члены.

$x^{4} - 9 x^{2} - 5 x^{3} + 81 x - 108$

Этап 2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{4} - 9 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{4}$ .

$x^{2} x^{2} - 9 x^{2} - 5 x^{3} + 81 x - 108$

Этап 2.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- 9 x^{2}$ .

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 9 - 5 x^{3} + 81 x - 108$

Этап 2.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 9$ .

$x^{2} (x^{2} - 9) - 5 x^{3} + 81 x - 108$

Этап 3

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x^{2} (x^{2} - 3^{2}) - 5 x^{3} + 81 x - 108$

Этап 4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 3$ .

$x^{2} ((x + 3) (x - 3)) - 5 x^{3} + 81 x - 108$

Этап 4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x^{2} (x + 3) (x - 3) - 5 x^{3} + 81 x - 108$

Этап 5

Разложим $- 5 x^{3} + 81 x - 108$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 108, \pm 2, \pm 54, \pm 3, \pm 36, \pm 4, \pm 27, \pm 6, \pm 18, \pm 9, \pm 12$

$q = \pm 1, \pm 5$

Этап 5.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.2, \pm 108, \pm 21.6, \pm 2, \pm 0.4, \pm 54, \pm 10.8, \pm 3, \pm 0.6, \pm 36, \pm 7.2, \pm 4, \pm 0.8, \pm 27, \pm 5.4, \pm 6, \pm 1.2, \pm 18, \pm 3.6, \pm 9, \pm 1.8, \pm 12, \pm 2.4$

Этап 5.3

Подставим $3$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $3$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Подставим $3$ в многочлен.

$- 5 \cdot 3^{3} + 81 \cdot 3 - 108$

Этап 5.3.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$- 5 \cdot 27 + 81 \cdot 3 - 108$

Этап 5.3.3

Умножим $- 5$ на $27$ .

$- 135 + 81 \cdot 3 - 108$

Этап 5.3.4

Умножим $81$ на $3$ .

$- 135 + 243 - 108$

Этап 5.3.5

Добавим $- 135$ и $243$ .

$108 - 108$

Этап 5.3.6

Вычтем $108$ из $108$ .

$0$

Этап 5.4

Поскольку $3$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 3$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{- 5 x^{3} + 81 x - 108}{x - 3}$

Этап 5.5

Разделим $- 5 x^{3} + 81 x - 108$ на $x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$3$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$81 x$

$108$

Этап 5.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 5 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				-	$5 x^{2}$
	$x$	-	$3$	-	$5 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$81 x$	-	$108$

Этап 5.5.3

Умножим новое частное на делитель.

			-	$5 x^{2}$
$x$	-	$3$	-	$5 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$81 x$	-	$108$
			-	$5 x^{3}$	+	$15 x^{2}$

Этап 5.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 5 x^{3} + 15 x^{2}$ .

			-	$5 x^{2}$
$x$	-	$3$	-	$5 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$81 x$	-	$108$
			+	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$

Этап 5.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$5 x^{2}$
$x$	-	$3$	-	$5 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$81 x$	-	$108$
			+	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$

Этап 5.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

			-	$5 x^{2}$
$x$	-	$3$	-	$5 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$81 x$	-	$108$
			+	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	+	$81 x$

Этап 5.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 15 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

			-	$5 x^{2}$	-	$15 x$
$x$	-	$3$	-	$5 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$81 x$	-	$108$
			+	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	+	$81 x$

Этап 5.5.8

Умножим новое частное на делитель.

			-	$5 x^{2}$	-	$15 x$
$x$	-	$3$	-	$5 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$81 x$	-	$108$
			+	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	+	$81 x$
					-	$15 x^{2}$	+	$45 x$

Этап 5.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 15 x^{2} + 45 x$ .

			-	$5 x^{2}$	-	$15 x$
$x$	-	$3$	-	$5 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$81 x$	-	$108$
			+	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	+	$81 x$
					+	$15 x^{2}$	-	$45 x$

Этап 5.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$5 x^{2}$	-	$15 x$
$x$	-	$3$	-	$5 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$81 x$	-	$108$
			+	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	+	$81 x$
					+	$15 x^{2}$	-	$45 x$
							+	$36 x$

Этап 5.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

			-	$5 x^{2}$	-	$15 x$
$x$	-	$3$	-	$5 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$81 x$	-	$108$
			+	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	+	$81 x$
					+	$15 x^{2}$	-	$45 x$
							+	$36 x$	-	$108$

Этап 5.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $36 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

			-	$5 x^{2}$	-	$15 x$	+	$36$
$x$	-	$3$	-	$5 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$81 x$	-	$108$
			+	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	+	$81 x$
					+	$15 x^{2}$	-	$45 x$
							+	$36 x$	-	$108$

Этап 5.5.13

Умножим новое частное на делитель.

			-	$5 x^{2}$	-	$15 x$	+	$36$
$x$	-	$3$	-	$5 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$81 x$	-	$108$
			+	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	+	$81 x$
					+	$15 x^{2}$	-	$45 x$
							+	$36 x$	-	$108$
							+	$36 x$	-	$108$

Этап 5.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $36 x - 108$ .

			-	$5 x^{2}$	-	$15 x$	+	$36$
$x$	-	$3$	-	$5 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$81 x$	-	$108$
			+	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	+	$81 x$
					+	$15 x^{2}$	-	$45 x$
							+	$36 x$	-	$108$
							-	$36 x$	+	$108$

Этап 5.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$5 x^{2}$	-	$15 x$	+	$36$
$x$	-	$3$	-	$5 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$81 x$	-	$108$
			+	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	+	$81 x$
					+	$15 x^{2}$	-	$45 x$
							+	$36 x$	-	$108$
							-	$36 x$	+	$108$
										$0$

Этап 5.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$- 5 x^{2} - 15 x + 36$

Этап 5.6

Запишем $- 5 x^{3} + 81 x - 108$ в виде набора множителей.

$x^{2} (x + 3) (x - 3) + (x - 3) (- 5 x^{2} - 15 x + 36)$

Этап 6

Вынесем множитель $x - 3$ из $x^{2} (x + 3) (x - 3) + (x - 3) (- 5 x^{2} - 15 x + 36)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель $x - 3$ из $x^{2} (x + 3) (x - 3)$ .

$(x - 3) (x^{2} (x + 3)) + (x - 3) (- 5 x^{2} - 15 x + 36)$

Этап 6.2

Вынесем множитель $x - 3$ из $(x - 3) (x^{2} (x + 3)) + (x - 3) (- 5 x^{2} - 15 x + 36)$ .

$(x - 3) (x^{2} (x + 3) - 5 x^{2} - 15 x + 36)$

Этап 7

Применим свойство дистрибутивности.

$(x - 3) (x^{2} x + x^{2} \cdot 3 - 5 x^{2} - 15 x + 36)$

Этап 8

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$(x - 3) (x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot 3 - 5 x^{2} - 15 x + 36)$

Этап 8.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(x - 3) (x^{2 + 1} + x^{2} \cdot 3 - 5 x^{2} - 15 x + 36)$

Этап 8.2

Добавим $2$ и $1$ .

$(x - 3) (x^{3} + x^{2} \cdot 3 - 5 x^{2} - 15 x + 36)$

Этап 9

Перенесем $3$ влево от $x^{2}$ .

$(x - 3) (x^{3} + 3 x^{2} - 5 x^{2} - 15 x + 36)$

Этап 10

Вычтем $5 x^{2}$ из $3 x^{2}$ .

$(x - 3) (x^{3} - 2 x^{2} - 15 x + 36)$

Этап 11

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Перепишем $x^{3} - 2 x^{2} - 15 x + 36$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Разложим $x^{3} - 2 x^{2} - 15 x + 36$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1.1

$p = \pm 1, \pm 36, \pm 2, \pm 18, \pm 3, \pm 12, \pm 4, \pm 9, \pm 6$

$q = \pm 1$

Этап 11.1.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 36, \pm 2, \pm 18, \pm 3, \pm 12, \pm 4, \pm 9, \pm 6$

Этап 11.1.1.3

Подставим $3$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $3$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1.3.1

Подставим $3$ в многочлен.

$3^{3} - 2 \cdot 3^{2} - 15 \cdot 3 + 36$

Этап 11.1.1.3.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$27 - 2 \cdot 3^{2} - 15 \cdot 3 + 36$

Этап 11.1.1.3.3

Возведем $3$ в степень $2$ .

$27 - 2 \cdot 9 - 15 \cdot 3 + 36$

Этап 11.1.1.3.4

Умножим $- 2$ на $9$ .

$27 - 18 - 15 \cdot 3 + 36$

Этап 11.1.1.3.5

Вычтем $18$ из $27$ .

$9 - 15 \cdot 3 + 36$

Этап 11.1.1.3.6

Умножим $- 15$ на $3$ .

$9 - 45 + 36$

Этап 11.1.1.3.7

Вычтем $45$ из $9$ .

$- 36 + 36$

Этап 11.1.1.3.8

Добавим $- 36$ и $36$ .

$0$

Этап 11.1.1.4

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 15 x + 36}{x - 3}$

Этап 11.1.1.5

Разделим $x^{3} - 2 x^{2} - 15 x + 36$ на $x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1.5.1

$x$

$3$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$15 x$

$36$

Этап 11.1.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$15 x$	+	$36$

Этап 11.1.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$15 x$	+	$36$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Этап 11.1.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} - 3 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$15 x$	+	$36$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Этап 11.1.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$15 x$	+	$36$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$x^{2}$

Этап 11.1.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$15 x$	+	$36$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$15 x$

Этап 11.1.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$15 x$	+	$36$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$15 x$

Этап 11.1.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$15 x$	+	$36$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$15 x$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$

Этап 11.1.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{2} - 3 x$ .

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$15 x$	+	$36$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$15 x$
					-	$x^{2}$	+	$3 x$

Этап 11.1.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$15 x$	+	$36$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$15 x$
					-	$x^{2}$	+	$3 x$
							-	$12 x$

Этап 11.1.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$15 x$	+	$36$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$15 x$
					-	$x^{2}$	+	$3 x$
							-	$12 x$	+	$36$

Этап 11.1.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 12 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	+	$x$	-	$12$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$15 x$	+	$36$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$15 x$
					-	$x^{2}$	+	$3 x$
							-	$12 x$	+	$36$

Этап 11.1.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	+	$x$	-	$12$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$15 x$	+	$36$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$15 x$
					-	$x^{2}$	+	$3 x$
							-	$12 x$	+	$36$
							-	$12 x$	+	$36$

Этап 11.1.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 12 x + 36$ .

				$x^{2}$	+	$x$	-	$12$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$15 x$	+	$36$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$15 x$
					-	$x^{2}$	+	$3 x$
							-	$12 x$	+	$36$
							+	$12 x$	-	$36$

Этап 11.1.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	+	$x$	-	$12$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$15 x$	+	$36$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$15 x$
					-	$x^{2}$	+	$3 x$
							-	$12 x$	+	$36$
							+	$12 x$	-	$36$
										$0$

Этап 11.1.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} + x - 12$

Этап 11.1.1.6

Запишем $x^{3} - 2 x^{2} - 15 x + 36$ в виде набора множителей.

$(x - 3) ((x - 3) (x^{2} + x - 12))$

Этап 11.1.2

Разложим $x^{2} + x - 12$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.2.1

Разложим $x^{2} + x - 12$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 12$ , а сумма — $1$ .

$- 3, 4$

Этап 11.1.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 3) ((x - 3) ((x - 3) (x + 4)))$

Этап 11.1.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x - 3) ((x - 3) (x - 3) (x + 4))$

Этап 11.1.3

Объединим подобные множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.3.1

Возведем $x - 3$ в степень $1$ .

$(x - 3) ({(x - 3)}^{1} (x - 3) (x + 4))$

Этап 11.1.3.2

Возведем $x - 3$ в степень $1$ .

$(x - 3) ({(x - 3)}^{1} {(x - 3)}^{1} (x + 4))$

Этап 11.1.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(x - 3) ({(x - 3)}^{1 + 1} (x + 4))$

Этап 11.1.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$(x - 3) ({(x - 3)}^{2} (x + 4))$

Этап 11.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x - 3) {(x - 3)}^{2} (x + 4)$

Этап 12

Умножим $x - 3$ на ${(x - 3)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Умножим $x - 3$ на ${(x - 3)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Возведем $x - 3$ в степень $1$ .

${(x - 3)}^{1} {(x - 3)}^{2} (x + 4)$

Этап 12.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${(x - 3)}^{1 + 2} (x + 4)$

Этап 12.2

Добавим $1$ и $2$ .

${(x - 3)}^{3} (x + 4)$