Алгебра Примеры

$\sqrt{64 x} = x + 12$

Этап 1

Перенесем все выражения в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$\sqrt{64 x} - x = 12$

Этап 1.2

Вычтем $12$ из обеих частей уравнения.

$\sqrt{64 x} - x - 12 = 0$

Этап 2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $64$ в виде $8^{2}$ .

$\sqrt{8^{2} x} - x - 12 = 0$

Этап 2.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$8 \sqrt{x} - x - 12 = 0$

Этап 3

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$8 x^{\frac{1}{2}} - x - 12 = 0$

Этап 4

Перепишем $x$ в виде ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

$8 x^{\frac{1}{2}} - {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} - 12 = 0$

Этап 5

Пусть $u = x^{\frac{1}{2}}$ . Подставим $u$ вместо $x^{\frac{1}{2}}$ для всех.

$8 u - u^{2} - 12 = 0$

Этап 6

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Изменим порядок членов.

$- u^{2} + 8 u - 12 = 0$

Этап 6.2

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 1 \cdot - 12 = 12$ , а сумма — $b = 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вынесем множитель $8$ из $8 u$ .

$- u^{2} + 8 (u) - 12 = 0$

Этап 6.2.2

Запишем $8$ как $2$ плюс $6$

$- u^{2} + (2 + 6) u - 12 = 0$

Этап 6.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- u^{2} + 2 u + 6 u - 12 = 0$

Этап 6.3

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(- u^{2} + 2 u) + 6 u - 12 = 0$

Этап 6.3.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$u (- u + 2) - 6 (- u + 2) = 0$

Этап 6.4

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- u + 2$ .

$(- u + 2) (u - 6) = 0$

Этап 7

Заменим все вхождения $u$ на $x^{\frac{1}{2}}$ .

$(- x^{\frac{1}{2}} + 2) (x^{\frac{1}{2}} - 6) = 0$

Этап 8

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$- x^{\frac{1}{2}} + 2 = 0$

$x^{\frac{1}{2}} - 6 = 0$

Этап 9

Приравняем $- x^{\frac{1}{2}} + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Приравняем $- x^{\frac{1}{2}} + 2$ к $0$ .

$- x^{\frac{1}{2}} + 2 = 0$

Этап 9.2

Решим $- x^{\frac{1}{2}} + 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$- x^{\frac{1}{2}} = - 2$

Этап 9.2.2

Возведем обе части уравнения в степень $2$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(- x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Этап 9.2.3

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1.1

Упростим ${(- x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1.1.1

Применим правило умножения к $- x^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Этап 9.2.3.1.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$1 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Этап 9.2.3.1.1.3

Умножим ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ на $1$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Этап 9.2.3.1.1.4

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1.1.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2)}^{2}$

Этап 9.2.3.1.1.4.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1.1.4.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2)}^{2}$

Этап 9.2.3.1.1.4.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{1} = {(- 2)}^{2}$

Этап 9.2.3.1.1.5

Упростим.

$x = {(- 2)}^{2}$

Этап 9.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.2.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$x = 4$

Этап 10

Приравняем $x^{\frac{1}{2}} - 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Приравняем $x^{\frac{1}{2}} - 6$ к $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} - 6 = 0$

Этап 10.2

Решим $x^{\frac{1}{2}} - 6 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$x^{\frac{1}{2}} = 6$

Этап 10.2.2

Возведем обе части уравнения в степень $2$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 6^{2}$

Этап 10.2.3

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.1.1

Упростим ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 6^{2}$

Этап 10.2.3.1.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 6^{2}$

Этап 10.2.3.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{1} = 6^{2}$

Этап 10.2.3.1.1.2

Упростим.

$x = 6^{2}$

Этап 10.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.2.1

Возведем $6$ в степень $2$ .

$x = 36$

Этап 11

Окончательным решением являются все значения, при которых $(- x^{\frac{1}{2}} + 2) (x^{\frac{1}{2}} - 6) = 0$ верно.

$x = 4, 36$